初中数学概念总结

第一章 实数

第二章

1．1实数的有关概念及实数的分类

知识要点

一、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。　数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系。

二、

三、在数轴上，原点两旁且与原点距离相等的两个点所表示的数是互为相反数。

四、两个互为相反数的和等于零；互为倒数的两个数的积等于1；零没有倒数。

五、偶数一般用（为整数）来表示，奇数一般用来表示。

六、有理数都可以表示为（，为整数且，互质）的形式；任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式。

七、绝对值

八、非负数　像，，形式的数都表示非负数。

非负数性质　①最小的非负数是0；②若几个非负数的和是0，则每个非负数都是0。

九、近似数与有效数字　一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字。

十．科学记数法　把一个数记成的形式叫做科学记数法，其中，为整数。

命题热点

本节是中考必考内容，在考点上有实数、相反数、绝对值、倒数、数轴、近似数与有效数字、科学记数法等。在题型上多以填空、选择题出现，近年则比较注重实际应用与创新能力方面的考查。

1．2实数的运算与实数的大小比较

知识要点

一、实数运算　在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，但是，除数不能为0，开偶次方时被开方数为非负数。其中加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算，同级运算从左到右依次进行；无括号的不同级运算先算高级运算；有括号时，先算小括号，再算中括号的，后算大括号的。

二、实数的大小比较　三种比较方法：数轴比较法，将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，两数表示同一点则相等。差值比较法，设，是任意两实数，则；；。商值比较法，设，是任意两正实数，则；；。

命题热点

对本节知识的考查，多以填空、选择题　和计算题等题型为主，近年还出现了大量的以阅读理解与探索猜想为形式的新题型。命题者往往在易错点设置陷阱，对学生的创新能力、自学能力有较高的要求，希望能引起同学们的重视。

第二章　代数式

2．1整式

知识要点

一、代数式的分类

二、同类项　所含的字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，合并同类项时，只把系数相加，所含字母和字母的指数不变。

三、整式的运算

（1）整式的加减　先去括号或添括号，再合并同类项。

（2）整式的乘除　幂的运算性质①（，为整数，）；②（，为整数，）；③（为整数且）；④（，为整数，）。

乘法公式（1）平方差：。（2）完全平方公式：。（3）立方和（差）：

四、代数式的值　用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

命题热点

中考中考查本节的内容主要有与整式相关的概念、整式的混合运算法则及灵活运用三个乘法公式进行计算，在试卷中多以填空、选择及求值等题型出现。

2．2因式分解

知识要点

一、因式分解　把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

二、因式分解的基本方法　（1）提取公因式法。（2）公式法。（3）分组分解法。

三、因式分解的其它方法　（1）配方法。（2）求根公式法。（3）换元法。

四、因式分解常用的公式如下

（1）；

（2）；

（3）。

命题热点

考查内容涉及本节的主要有因式分解的意义及分解方法，每份试卷上都有与因式分解相关的考题，但更多的是将因式分解作为一种方法在分式、二次根式及其它方面进行变形、求值中的运用，因此，我们应掌握因式分解及分解，更应掌握它在其它知识中的运用。

2．3分式

知识要点

一、分式　如果中含有字母，式子叫做分式，分式中字母取值必须使分母的值不为零。

二、分式的基本性质　（为不等于0的整式）。

三、分式的运算

（1）加减法：，；

（2）乘除法：，；

（3）乘方：（为正整数）；

（4）符号法则：。

四、约分　根据分式的基本性质，把分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

五、通分　根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分。

命题热点

本节内容中，分式的概念与基本性质、分式的运算法则、分式的计算与化简求值是命题热点，也是重点。

2．4二次根式

知识要点

一、二次根式　式子叫做二次根式。

二、最简二次根式　

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

三、同类二次根式　几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

四、二次根式的主要性质

（1）

（2）

（3）

（4）

五、二次根式的运算

（1）因式的外移和内移，如果被开方数中有的因式能开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

（2）有理化因式与分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（3）二次根式的加减法　先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

（4）二次根式的乘除法　二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式。

（5）有理数的加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

命题热点

本节知识一直是中考的重点内容，涉及题型有填空、选择、计算、阅读等，特别是二次根式及其性质，二次根式与整式、分式的混合运算。

第三章　不等式（组）

知识要点

一、不等式的基本性质

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

二、不等式（组）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

（2）解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集。

三、设，那么：（1）不等式组的解集是；（2）不等式组的解集是；（3）不等式组的解集是；（4）不等式组的解集是空集。

命题热点

中考试卷中，本节内容的考点主要有：不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法及在数轴上表示其解集，求不等式组的特殊解，与其它代数的综合应用，简单的不等式应用题等。

第四章　方程（组）

4．1整式方程

知识要点

一、等式和方程的有关概念，等式的基本性质。

二、一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1；

（2）方程的解有以下三种情况：①当时，方程有且仅有一个解；②当时，方程无解；③当时，方程有无穷多个解。

三、一元二次方程的一般形式是，其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法。

四、一元二次方程的求根公式是

。

注意：求根公式成立的条件为（1），（2）。

命题热点

中考对本节内容的考查重点在根的意义、一元一次方程及一元二次方程的解法。主要题型有填空、选择，但主要都是考查学生的运算且难度不大。

4．2分式方程

知识要点

一、分式方程的概念。

二、解分式方程的基本思想方法是：

分式方程整式方程

三、解分式方程产生增根的原因，验根的方法。

命题热点

各地中考中对本节知识的考查重点是分式方程的解法及增根问题，近年还出现分式方程的根、一元二次方程根与系数的关系及实际应用题相结合的新题型。

4．3方程组

知识要点

一、解二元（或三元）一次方程组的基本思路是消元，变二元（或三元）为一元（或二元），常用的方法是加减消元法和代入消元法。

二、解二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”，基本要求有以下两类：（1）方程组中有一个方程是一次方程的（第一型的二元二次方程组），一般用代入法求解；（2）方程组中有一个方程可以分解成两个一次方程的（第二型的二元二次方程组），可将原方程组化为两个简单的方程组。

三、简单的二元分式方程组，一般用代入法或用换元法来解，并注意验根。

四、方程组的解的存在性问题，转化为方程的解的存在性问题来研究。

命题热点

本节考查重点是二元一次方程组、二元二次方程组的解的意义及解法，用换元法解简单的分式、无理方程组也在中考试卷中时有出现，在题型上以填空、选择为多见，少数出现在大题中，甚至是与其它知识的综合题中。

4．4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

知识要点

一、一元二次方程的根的判别式是。当时，方程有两个不相等的实数根，；时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程没有实数根，反之成立。

三、若一元二次方程的两根为，那么

三、以两数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。

四、注意：根与系数的关系成立的两个条件：（1）（2）。

五、根的定义：若是的两根，则，；反之，若，且，则是方程的两个根。

命题热点

本节知识是初中数学的重点内容，作为中考的必考内容，是各地中考的热门内容，主要题型有：（1）不解方程判断一元二次方程根的情况；（2）求方程中字母系数的取值范围；（3）确定抛物线与轴的交点情况；（4）验根、求根与确定根的符号；（5）求关于一元二次方程两根的代数式的值；（6）求作新方程；（7）解特殊方程和方程组；（8）确定字母系数之间的关系。另外本节知识与其它代数知识、几何知识的结合点与是各地中考的考查对象。在填空、选择、计算、证明、阅读理解等题型中，随处可见本节知识的身影。

4．5列方程（组）解应用题（1）

知识要点

一、列方程（组）解应用题的步骤：审、找、设、列、解、验、答。

二、行程问题等量关系：（1）；（2）相向而行的相遇问题：，相遇前运动的时间相等或差＝提前时间；（3）同向追及问题：同时不同地则快车与慢车行程之差＝原相距距离；同地不同时则慢车与快车时间之差＝慢车多用时间；（4）水流问题：顺速＝静速＋水速；逆速＝静速－水速。

三、增长率等量关系：（1）增长率＝增量÷基础量，（2）为原来的量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则。为下降率时，。

命题热点

中考试卷中关于本节内容的考查有填空题、选择题、解答题，与生活实际紧密联系，取材于学生身边的行程问题，是近几年中考热点题之一。

4．6列方程解应用题（2）

知识要点

一、工程问题等量关系：；甲乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率。注：（1）工作总量常看作“1”；（2）踟问题有时可当作工程问题解。

二、浓度问题等量关系：溶质质量＝溶液质量×浓度，溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量。

三、数字问题等量关系：

位数。

命题热点

中考时对本节知识的考查往往与经济建设、环境保护等日常生活中的问题紧密联系在一起，有时也与其它学科及本学科中的几何等一起出现在试卷中，很受命题者的青睐。

4．7列方程（组）解应用题（3）

知识要点

一、利率等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数。

二、利润等量关系：毛利润＝售出价－进货价，利润＝售出价－进货价－其它费用。

三、注意关键词的意义：盈、亏、涨、收益、赚、年利、月利、折扣等的确切意义要理解准确。

命题热点

有关本节知识的考查，几乎每一份中考试卷都有涉及，内容包括纳税、利润、利息等，题型多样，内容贴近生活实际，直击社会热点，是中考的大热门考点之一。

第五章　函数及其图象

5．1平面直角坐标系与函数的概念

知识要点

一、平面直角坐标系中特殊点的坐标的特征

坐标轴上点的坐标的特征：轴上的点，其纵坐标为0；轴上的点，其横坐标为0；原点的坐标为。

二、各象限点的坐标的符号特征

第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：。

三、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征

平行于轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于轴的直线上任意两点的横坐标相同。

四、象限角平分线上的点的坐标特征

第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。

五、对称点的坐标特征

坐标系中关于轴的对称点坐标为，即横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴的对称点坐标为，即横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点的对称点坐标为，即横、纵坐标都分别互为相反数。

六、对函数概念的理解

理解函数概念时，应注意：（1）在某一变化过程中有两个变量与；（2）变量的值随变量的值变化而变化；（3）对于的每一个值，都有惟一的值与它对应。

七、函数自变量的取值范围

（1）整式函数，其自变量的取值范围是全体实数；（2）分式函数，其自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）偶次根式表示的函数，其自变量的取值范围是使被开方数为非负实数；（4）对实际问题，其自变量的取值范围是必须使实际问题有意义。

命题热点

本节重点是直角坐标系的应用，函数的概念、自变量的取值范围及函数值，在各地中考题中主要以填空、选择的形式出现，有时也在综合题中出现，其中主要考查原点、坐标轴上的点、对称点、各象限内的点、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，自变量的取值范围、函数值及写出实际问题中的函数关系式等，函数的列表、图象等表示方法也是热点之一。

5．2正比例函数与反比例函数的图象和性质

知识要点

一、正比例函数定义　形如的函数叫做正比例函数，自变量的取值范围是：全体实数。

二、正比例函数的图象是经过原点的一条直线。

三、正比例函数的性质：（1）时，随的增大而增大，图象是经过第一、三象限的一条直线；（2）时，随的增大而减小，图象是经过第二、四象限的一条直线。

四、反比例函数定义　形如的函数叫做反比例函数，自变量的取值范围是：。

五、反比例函数的图象是双曲线。

六、反比例函数的性质：（1）时，图象两分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；（2）时，图象两分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大。

命题热点

正比例函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质内容在中考中常常出现在填空、选择等低档题，而反比例函数有时也与一次函数一起出现在部分中档题中，近年各地对反比例函数的考查力度有加大的趋势。

5．3一次函数的图象和性质

知识要点

一、一次函数的定义　形如的函数叫做一次函数。

二、正比例函数是一次函数的特例。

三、一次函数的图象是一条经过点及点的一条直线。

四、一次函数图象性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小。

命题热点

由于二次函数要求降低，一次函数就显得相当受宠，在中考中，一次函数的概念，字母系数的条件，一次函数的解析式与图象，实际问题中一次函数自变量的取值范围及图象，一次函数应用题，一次函数的性质等都是考查的重点内容，也是热点，题型有填空、选择、解答题与综合应用，层出不穷，花样年年翻新，特别是与几何知识的综合应用，精题、巧题令人目不暇接，一次函数应用题则更是高潮迭起，让人拍案叫绝。

5．4二次函数的图象性质