1
高一数学公式总结
基本三角函数
Ⅰ
Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合:?????,??z? ? 终边落在y轴上的角的集合:??????? 终边落在坐标轴上的角的集合:??????,??z???,??z???? 22????
1?
?弧度? 112180S?l r? r221801 弧度?度?
180??? 弧度l? r360度?2? 弧度?.
tan?cot??1
?倒数关系:Sin?Csc??
1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1
Cos?Sec??1
tan2??1?Sec2?
平方关系:Sin2??
Cos?2?11?Cot2??Csc2?
乘积关系:Sin??tan?Cos? , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等
Sin???2k???Sin? , k?z Cos???2k???Cos? , k?z
tan???2k???tan? , k?z
? 角?与角??关于x轴对称 Sin??????Sin? Cos?????Cos?
tan??????tan?
? 角???与角?关于y轴对称
Sin??????Sin?Cos???????Cos?tan???????tan?
2
? 角???与角?关于原点对称
Sin???????Sin?Cos???????Cos?tan??????tan?
?角
?
2
??与角?关于y?x对称
??????Sin?????Cos?Sin?????Cos??2?2??
? ??????Cos?????Sin?Cos??????Sin?
?2??2????
tan?????cot??2?
???
tan??????cot??2?
上述的诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”
Ⅳ 周期问题
2?
y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
??
?
y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
??
y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
y?ASin??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b ?0 , T?
2?
y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
2?
?
2?
y?ACos??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b?0 , T?
???T?? y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 ,
?
y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
?
??
y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
?
Ⅴ 三角函数的性质
y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
3
? 怎样由y?Sinx变化为y?ASin??x????k ?
振幅变化:y?Sinxy?ASinx 左右伸缩变化:
y?ASin?x 左右平移变化y?ASin(?x??) 上下平移变化y?ASin(?x??)?k
Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量 ,?,,如果有 4
?
一个实数?,使得??,?,则与与是共线向量 那么又且只有一个实数?,使得??.
Ⅶ 线段的定比分点
? ?
?当??1时 ?当??1时
Ⅷ 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理: ?? ??
?推广
? 其中e1,e2为该平面内的两个 平面向量基本定理: a??e ??e , ???1122???不共线的向量?
?推广
??1e1 ??2e2 ??3e3,
空间向量基本定理: ?? 其中e,e,e为该空间内的三个123???不共面的向量???
Ⅸ一般地,设向量a??x1,y1?,b??x2,y2?且a?0,如果a∥b那么x1y2?x2y1?0 反过来,如果x1y2?x2y1?0,则∥. 5
Ⅹ 一般地,对于两个非零向量a,b 有
???,其中θ为两向量的夹角。
Cos???x1x2?y1y2
x12?y12x22?y22
特别的,a?a?a? ?
Ⅺ 2 如果 ??x1,y1? , ??x2,y2? 且? , 则??x1x2?y1y2
特别的 , a?b?x1x2?y1y2?0
Ⅻ 若正n边形A1A2???An的中心为O , 则OA1?OA2?????OAn?
三角形中的三角问题
A?B?C ? A?B?C?? ,A?B?C??,?-22222
?A?B??C?Sin?A?B??Sin?C? Cos?A?B???Cos?C? Sin???Cos?? ?2??2?
?A?B??C?Cos???Sin???2??2?
? 正弦定理:abca?b?c???2R? SinASinBSinCSinA?SinB?SinC
余弦定理:a2?b2?c2?2bcCosA , b2?a2?c2?2acCosB
c?a?b?2abCosC 222
b2?c2?a2a2?c2?b2
CosA ? , CosB ?2bc2ac 变形: 222a?b?c CosC ? 2ab
? tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC
三角公式以及恒等变换
? 两角的和与差公式:Sin??????Sin?Cos??Cos?Sin? , S(???)
Sin??????Sin?Cos??Cos?Sin? , S(???)
Cos??????Cos?Cos??Sin?Sin? , C(???)Cos??????Cos?Cos??Sin?Sin? , C(???)
6
tan??tan?
, T(???)
1?tan?tan?tan??tan?
tan?????? , T(???)
1?tan?tan?tan??????
? 二倍角公式:
Sin2??2Sin?Cos?
tan??tan??tan??????1?tan?tan??
变形: tan??tan??tan??????1?tan?tan??
tan??tan??tan??tan?tan?tan?
其中?,?,?为三角形的三个内角
Cos2??2Cos2??1?1?2Sin2??Cos2??Sin2?
2tan?
tan2??
1?tan2?
? 半角公式:
Sin
?
2
??
?Cos2
1?Cos?
Cos??
22
2
?
tan
?
2
??
1?CosSin?1?Cos?
??
1?Cos?1?Cos?Sin?
? 降幂扩角公式:Cos2??1?Cos2?, Sin2??1?Cos2?
2
1
?Sin??????Sin??????21
? 积化和差公式:Cos?Sin???Sin??????Sin??????
21
Cos?Cos???Cos??????Cos??????
21
Sin?Sin????Cos??????Cos??????
2
Sin?Cos??
??????????
Sin??Sin??2Sin??Cos??
22??????????????
Sin??Sin??2Cos??Sin??
? 和差化积公式:?2??2?
?????????
Cos??Cos??2Cos??Cos?
?2??2?????????
Cos??Cos???2Sin??Sin?
?2??2
2tan
Sin??
S?S?2SC
( S?S?2CS)
C?C?2CC??C?C??2SS
?
???
?
1?tan2
2
? 万能公式:
1?tan2
Cos??
1?tan2
?
S (
2
?T?C?? )
tan??
2tan
?
1?tan2
2
3
? 三倍角公式:Sin3??3Sin??4Sin?
3
3tan??tan? tan3??
2
1?3tan?Cos3??4Cos3??3Cos?
“三四立,四立三,中间横个小扁担”
?
1. y?aSin??bCos??b
a
a2. y?aCos??bSin??a2?b2Sin????? 其中 , tan??b
b ? a2?b2Cos????? 其中 , tan??a
b3. y?aSin??bCos??a2?b2Sin????? 其中 , tan?? a
a ??a2?b2Cos????? 其中 , tan??ba2?b2Sin????? 其中 , tan??
4. y?aCos??bSin??a2?b2Sin?????
ab
b ?a2?b2Cos????? 其中 , tan??a
注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以 ??a2?b2Sin????? 其中 , tan??求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它的就可以直接写出.
一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.
tan??tan? , T(???)? 补充: 1. 由公式 1?tan?tan?
tan??tan?tan?????? , T(???)1?tan?tan?tan??????7
可以推导 : 当???????
在有些题目中应用广泛。 ?4 时, ??z , ?1?tan???1?tan???2
2. tan??tan??tan?????tan?tan??tan?????
3. 柯西不等式(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.
补充
1.常见三角不等式:(1)若x?(0,
(2) 若x?
(0,22222?2),则sinx?x?tanx. ?
2
222. sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式); ),则1?sinx?cosx?|sinx|?|cosx|?1.
cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.
asin??
bcos????)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决
b定,tan?? ). a
3. 三倍角公式 :sin3??3sin??4sin??4sin?sin(3???)sin(??). 33?
cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??).338 ??
3tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??). 1?3tan2?33
4.三角形面积定理:(1)S?111aha?bhb?chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边222
上的高).
(2)S?111absinC?bcsinA?casinB.
222(3)S?OAB?C?A?B???2C?2??2(A?B). 222
k??5.三角形内角和定理 在△ABC中,有A?B?C???C???(A?B)??
6. 正弦型函数y?Asin(?x??)的对称轴为x????(k?Z);对称中心为(k???,0)(k?Z);类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心; ?
〈三〉易错点提示:
1. 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、
余弦函数的有界性了吗?
2. 在三角中,你知道1等于什么吗?(
这些统称为1的代换) 常数 “1”
的种种代换有着广泛的应用.
3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次)
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?()
高中必修4、5公式定理及常见规律
1.三角函数
1.1终边相同的角
⑴与表示终边相同的角度;
⑵终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同;
⑶而与表示终边共线的角.
⑷终边相同的角的集合表示:或者
1.2特殊位置的角的集合的表示
1.3孤独之与角度制互化
(弧度)度
1.4扇形有关公式
⑴弧长公式:;
⑵扇形面积公式:(注 想象成三角形面积计算公式)
1.5任意角的三角函数定义
以角的顶点为坐标原点,始边为轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点,点到原点的距离记为,则.
1.6三角函数的同角关系
⑴商数关系: , 其中.
⑵平方和关系: ;
1.7三角函数的诱导公式
诱导公式(一); ; ;
诱导公式(二); ; ;
诱导公式(三); ; ;
诱导公式(四); ; ;
诱导公式(五); ;
诱导公式(六); ;
1.8特殊的三角函数值
1.9三角函数的图象与性质
2.三角恒等变换
2.1三角函数呵、差公式(要记住)
;
; ;
2.2三角函数二倍角公式(要记住)
; ;
2.3三角函数降幂公式(要记住)
; ;
2.4三角函数半角公式(要记住)
; ; ; ;
; ;
2.5辅助角公式(也称化一公式)(会用)
注其中辅助角与点在同一象限,且;特殊情况:
,
2.6三角函数求值常见公式变形(会用)
⑴
⑵
⑶
2.7三角变换的一般方法
⑴角的变换:包括角的分解和角的组合,如
等.
⑵三角函数名、次的变换:切化弦与升幂、降幂公式;
⑶常值代换:如“1”的活用.等.
2.8三角函数化简、求值或证明的解题原则
基本原则:由繁到简、减名化角
函数种类最少、项数最少、函数次数最低、能求值的求出值、尽量使分母不含三角函数、尽量使分母不含根式.
3.解三角形
3.1正余弦定理
⑴正弦定理:,(其中为三角形ABC外接圆的半径)
变式:
⑵余弦定理: 变形公式:
⑶余弦定理的常见结论:
⑷判断三角形形状:正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形,判断形状时,将已知条件转化为边边关系,或将已知条件转化为角角关系.若为最大边,
为锐角三角形; 是直角三角形;
为钝角三角形;
注中,若,可以得出或;而,可以得出,即
3.2三角形面积公式
,、C
3.3三角形中常见规律
⑴三角形中的射影定理:在中,;
⑵在中,角、、成等差数列;为正三角形角、、成等差数列,边、、成等比数列.
3.4三角形中的边角关系
⑴角的关系:
⑵边的关系:
⑶边角关系:大边对大角、大角对大边
4.平面向量
4.1向量共线与垂直的坐标表示——设,
①则;
②则;
4.2非零向量、的夹角的计算公式
5.数列
5.1数列通项与前项和
5.2等差数列
5.3等比数列
6.不等式
6.1一元二次不等式的解集
6.2型和型不等式的解法
⑴型不等式的解法:
或;或.
这样,就将一个医院二次不等式问题归化为一个一元一次不等式组问题.
⑵ 型不等式的解法
与同解; 与同解.
6.3基本不等式
6.4极值定理——“一正二定三项等,和定积最大,积定和最小.”
已知、都是正数:
⑴若是定值,则当时,有最小值;
⑵若是定值,则当时,有最大值.
6.5不等式与线性规划
线性规划问题的解题方法与步骤
⑴设未知数,列出约束条件,建立目标函数;
⑵画出可行域(或不等式组所表示的平面区域);
⑶作平行线,使直线与可行域有交点;
⑷求出最优解,并作答.
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