高中数学必修四公式总结

1

高一数学公式总结

基本三角函数

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Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合:?????,??z? ? 终边落在y轴上的角的集合:??????? 终边落在坐标轴上的角的集合:??????,??z???,??z???? 22????

1?

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?弧度? 112180S?l r? r221801 弧度?度?

180??? 弧度l? r360度?2? 弧度?.

tan?cot??1

?倒数关系:Sin?Csc??

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1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1

Cos?Sec??1

tan2??1?Sec2?

平方关系:Sin2??

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Cos?2?11?Cot2??Csc2?

乘积关系:Sin??tan?Cos? , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积

Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等

Sin???2k???Sin? , k?z Cos???2k???Cos? , k?z

tan???2k???tan? , k?z

? 角?与角??关于x轴对称 Sin??????Sin? Cos?????Cos?

tan??????tan?

? 角???与角?关于y轴对称

Sin??????Sin?Cos???????Cos?tan???????tan?

2

? 角???与角?关于原点对称

Sin???????Sin?Cos???????Cos?tan??????tan?

?角

?

2

??与角?关于y?x对称

??????Sin?????Cos?Sin?????Cos??2?2??

? ??????Cos?????Sin?Cos??????Sin?

?2??2????

tan?????cot??2?

???

tan??????cot??2?

上述的诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”

Ⅳ 周期问题

2?

y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?

??

?

y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?

??

y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?

y?ASin??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b ?0 , T?

2?

y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?

2?

?

2?

y?ACos??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b?0 , T?

???T?? y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 ,

?

y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?

?

??

y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?

?

Ⅴ 三角函数的性质

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y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?

3

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? 怎样由y?Sinx变化为y?ASin??x????k ?

振幅变化:y?Sinxy?ASinx 左右伸缩变化:

y?ASin?x 左右平移变化y?ASin(?x??) 上下平移变化y?ASin(?x??)?k

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量 ,?,,如果有 4

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?

一个实数?,使得??,?,则与与是共线向量 那么又且只有一个实数?,使得??.

Ⅶ 线段的定比分点

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? ?

?当??1时 ?当??1时

Ⅷ 向量的一个定理的类似推广

向量共线定理: ?? ??

?推广

? 其中e1,e2为该平面内的两个 平面向量基本定理: a??e ??e , ???1122???不共线的向量?

?推广

??1e1 ??2e2 ??3e3,

空间向量基本定理: ?? 其中e,e,e为该空间内的三个123???不共面的向量???

Ⅸ一般地,设向量a??x1,y1?,b??x2,y2?且a?0,如果a∥b那么x1y2?x2y1?0 反过来,如果x1y2?x2y1?0,则∥. 5

Ⅹ 一般地,对于两个非零向量a,b 有

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???,其中θ为两向量的夹角。

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Cos???x1x2?y1y2

x12?y12x22?y22

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特别的,a?a?a? ?

Ⅺ 2 如果 ??x1,y1? , ??x2,y2? 且? , 则??x1x2?y1y2

特别的 , a?b?x1x2?y1y2?0

Ⅻ 若正n边形A1A2???An的中心为O , 则OA1?OA2?????OAn?

三角形中的三角问题

A?B?C ? A?B?C?? ,A?B?C??,?-22222

?A?B??C?Sin?A?B??Sin?C? Cos?A?B???Cos?C? Sin???Cos?? ?2??2?

?A?B??C?Cos???Sin???2??2?

? 正弦定理:abca?b?c???2R? SinASinBSinCSinA?SinB?SinC

余弦定理:a2?b2?c2?2bcCosA , b2?a2?c2?2acCosB

c?a?b?2abCosC 222

b2?c2?a2a2?c2?b2

CosA ? , CosB ?2bc2ac 变形: 222a?b?c CosC ? 2ab

? tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC

三角公式以及恒等变换

? 两角的和与差公式:Sin??????Sin?Cos??Cos?Sin? , S(???)

Sin??????Sin?Cos??Cos?Sin? , S(???)

Cos??????Cos?Cos??Sin?Sin? , C(???)Cos??????Cos?Cos??Sin?Sin? , C(???)

6

tan??tan?

, T(???)

1?tan?tan?tan??tan?

tan?????? , T(???)

1?tan?tan?tan??????

? 二倍角公式:

Sin2??2Sin?Cos?

tan??tan??tan??????1?tan?tan??

变形: tan??tan??tan??????1?tan?tan??

tan??tan??tan??tan?tan?tan?

其中?,?,?为三角形的三个内角

Cos2??2Cos2??1?1?2Sin2??Cos2??Sin2?

2tan?

tan2??

1?tan2?

? 半角公式:

Sin

?

2

??

?Cos2

1?Cos?

Cos??

22

2

?

tan

?

2

??

1?CosSin?1?Cos?

??

1?Cos?1?Cos?Sin?

? 降幂扩角公式:Cos2??1?Cos2?, Sin2??1?Cos2?

2

1

?Sin??????Sin??????21

? 积化和差公式:Cos?Sin???Sin??????Sin??????

21

Cos?Cos???Cos??????Cos??????

21

Sin?Sin????Cos??????Cos??????

2

Sin?Cos??

??????????

Sin??Sin??2Sin??Cos??

22??????????????

Sin??Sin??2Cos??Sin??

? 和差化积公式:?2??2?

?????????

Cos??Cos??2Cos??Cos?

?2??2?????????

Cos??Cos???2Sin??Sin?

?2??2

2tan

Sin??

S?S?2SC

( S?S?2CS)

C?C?2CC??C?C??2SS

?

???

?

1?tan2

2

? 万能公式:

1?tan2

Cos??

1?tan2

?

S (

2

?T?C?? )

tan??

2tan

?

1?tan2

2

3

? 三倍角公式:Sin3??3Sin??4Sin?

3

3tan??tan? tan3??

2

1?3tan?Cos3??4Cos3??3Cos?

“三四立,四立三,中间横个小扁担”

?

1. y?aSin??bCos??b

a

a2. y?aCos??bSin??a2?b2Sin????? 其中 , tan??b

b ? a2?b2Cos????? 其中 , tan??a

b3. y?aSin??bCos??a2?b2Sin????? 其中 , tan?? a

a ??a2?b2Cos????? 其中 , tan??ba2?b2Sin????? 其中 , tan??

4. y?aCos??bSin??a2?b2Sin?????

ab

b ?a2?b2Cos????? 其中 , tan??a

注:不同的形式有不同的化归,相同的形式也有不同的化归,进而可以 ??a2?b2Sin????? 其中 , tan??求解最值问题. 不需要死记公式,只要记忆 1. 的推导即表达技巧,其它的就可以直接写出.

一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠,第一项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.

tan??tan? , T(???)? 补充: 1. 由公式 1?tan?tan?

tan??tan?tan?????? , T(???)1?tan?tan?tan??????7

可以推导 : 当???????

在有些题目中应用广泛。 ?4 时, ??z , ?1?tan???1?tan???2

2. tan??tan??tan?????tan?tan??tan?????

3. 柯西不等式(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.

补充

1.常见三角不等式:(1)若x?(0,

(2) 若x?

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(0,22222?2),则sinx?x?tanx. ?

2

222. sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式); ),则1?sinx?cosx?|sinx|?|cosx|?1.

cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

asin??

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bcos????)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan?? ). a

3. 三倍角公式 :sin3??3sin??4sin??4sin?sin(3???)sin(??). 33?

cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??).338 ??

3tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??). 1?3tan2?33

4.三角形面积定理:(1)S?111aha?bhb?chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边222

上的高).

(2)S?111absinC?bcsinA?casinB.

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222(3)S?OAB?C?A?B???2C?2??2(A?B). 222

k??5.三角形内角和定理 在△ABC中,有A?B?C???C???(A?B)??

6. 正弦型函数y?Asin(?x??)的对称轴为x????(k?Z);对称中心为(k???,0)(k?Z);类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心; ?

〈三〉易错点提示:

1. 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、

余弦函数的有界性了吗?

2. 在三角中,你知道1等于什么吗?(

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这些统称为1的代换) 常数 “1”

的种种代换有着广泛的应用.

3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次)

4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?()

 

第二篇:高中数学必修4、5公式总结

高中必修4、5公式定理及常见规律

1.三角函数

1.1终边相同的角

表示终边相同的角度;

⑵终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同;

⑶而表示终边共线的角.

⑷终边相同的角的集合表示:或者

1.2特殊位置的角的集合的表示

1.3孤独之与角度制互化

(弧度)

1.4扇形有关公式

⑴弧长公式:;

⑵扇形面积公式:(注  想象成三角形面积计算公式)

1.5任意角的三角函数定义

以角的顶点为坐标原点,始边为轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点,点到原点的距离记为,则.

1.6三角函数的同角关系

⑴商数关系: , 其中.

⑵平方和关系: ;

1.7三角函数的诱导公式

诱导公式(一);    ;   ;

诱导公式(二);     ;    ;

诱导公式(三);       ;    ;

诱导公式(四);        ;         ;

诱导公式(五);   

诱导公式(六);   

1.8特殊的三角函数值

1.9三角函数的图象与性质

2.三角恒等变换

2.1三角函数呵、差公式(要记住

; 

 ;

2.2三角函数二倍角公式(要记住

;  

2.3三角函数降幂公式(要记住

  ;  

2.4三角函数半角公式(要记住

 ;     ;   ;   ;

;  

2.5辅助角公式(也称化一公式)(会用

其中辅助角与点在同一象限,且;特殊情况:

,

2.6三角函数求值常见公式变形(会用

2.7三角变换的一般方法

⑴角的变换:包括角的分解和角的组合,如

等.

⑵三角函数名、次的变换:切化弦与升幂、降幂公式;

⑶常值代换:如“1”的活用.等.

2.8三角函数化简、求值或证明的解题原则

基本原则:由繁到简、减名化角

函数种类最少、项数最少、函数次数最低、能求值的求出值、尽量使分母不含三角函数、尽量使分母不含根式.

3.解三角形

3.1正余弦定理

⑴正弦定理:,(其中为三角形ABC外接圆的半径)

      变式:

⑵余弦定理:       变形公式:

⑶余弦定理的常见结论:

⑷判断三角形形状:正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形,判断形状时,将已知条件转化为边边关系,或将已知条件转化为角角关系.若为最大边,

为锐角三角形; 是直角三角形;

   为钝角三角形;

中,若,可以得出;而,可以得出,即

3.2三角形面积公式

,、C

3.3三角形中常见规律

⑴三角形中的射影定理:在中,;

⑵在中,角成等差数列;为正三角形成等差数列,边成等比数列.

3.4三角形中的边角关系

⑴角的关系:

⑵边的关系:

⑶边角关系:大边对大角、大角对大边

4.平面向量

4.1向量共线与垂直的坐标表示——设,

①则;

                                    ②则;

4.2非零向量的夹角的计算公式

5.数列

5.1数列通项与前项和

5.2等差数列

5.3等比数列

6.不等式

6.1一元二次不等式的解集

6.2型和型不等式的解法

型不等式的解法:

        ;.

       这样,就将一个医院二次不等式问题归化为一个一元一次不等式组问题.

型不等式的解法

        同解; 同解.

6.3基本不等式

6.4极值定理——“一正二定三项等,和定积最大,积定和最小.”

已知都是正数:

⑴若是定值,则当时,有最小值;

⑵若是定值,则当时,有最大值.

6.5不等式与线性规划

线性规划问题的解题方法与步骤

⑴设未知数,列出约束条件,建立目标函数;

⑵画出可行域(或不等式组所表示的平面区域);

⑶作平行线,使直线与可行域有交点;

⑷求出最优解,并作答.

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