一元二次方程知识点总结

考点一、一元二次方程

  1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法

 

1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

5、韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

考点三、一元二次方程根的判别式

根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时，一元二次方程没有实数根

考点四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

考点五、一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了

一元二次方程易错题

一、选择题

1、若关于x的一元二次方程(m-1)x²+5x+m²-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（    ）

   A、1         B、2             C、1或2          D、0

2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

3、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（    ）

A．   B．        C．           D．

4、 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x² + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（    ）

A．没有实数根                          B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根                 D．有两个不相等的实数根

5、已知是方程的两根，且，则的值等于 （      ）

A．－5            B.5              C.-9             D.9

6、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（    ）

A．        B．     C．        D．

7、的估计正确的是 （    ）

    A．  B．   C．     D．

8、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（    ）

A．1                   B．12            C．13                    D．25

9、中江县20##年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片

向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据

题意，列出方程为(   )

       A、 B、 C、 D、

10、若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 (     )

       A．－1          B．           C．1              D．或

11、设是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A．2006     B．2007        C．2008        D．2009

12、对于一元二次方程ax²+bx+c=O(a≠0)，下列说法：

  ①若a+c=0，方程ax²+bx+c=O必有实数根；

  ②若b2+4ac<0，则方程ax²+bx+c=O一定有实数根；

    ③若a-b+c=0，则方程ax²+bx+c=O一定有两个不等实数根；

④若方程ax²+bx+c=O有两个实数根，则方程cx²+bx+a=0一定有两个实数根．

 其中正确的是(   )

  A．①②    B．①③    C．②③    D．①③④

二、填空题

1、若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=   ．

2、设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，

2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a=    ．

3、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是                   ．

4、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值为__________．

5、在等腰△ABC中，三边分别为、、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，则△ABC的周长为__________．

6、已知关于的一元二次方程（为常数）．

  设，为方程的两个实数根，且，则K的值为__________． 

7、已知m、n是方程的两根，则与的积是          .  

三、简答题

1、已知x是一元二次方程的实数根，求代数式：的值．

2、已知关于x的一元二次方程有两个实数根和。

（1）求实数m的取值范围；

（2）当时，求m的值。

（友情提示：若、是一元二次方程两根，则有，）

3、某产品第一季度每件成本为50元，第二、三季度每件产品平均降低成本的百分率为x。

（1）衣用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本；

（2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少9.5元，试求x的值；

4、若关于的一元二次方程有实数根．

求实数k的取值范围；

设，求t的最小值．

 

第二篇：一元二次方程知识点和易错点总结

一元二次方程知识点总结

知识结构梳理

知识点归类

  建立一元二次方程模型

知识点一  一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例  下列关于的方程，哪些是一元二次方程？

⑴；⑵；（3）；（4）；（5）

知识点二一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）；  （2）； （3）

例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则       

知识点三  一元二次方程的解

   使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

知识点四  建立一元二次方程模型

建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场，

鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，

若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？              

（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。）

 

 因式分解法、直接开平方法

知识点一  因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

     例  用因式分解法解下列方程：

（1）；    （2）；  （3）。

知识点二  直接开平方法解一元二次方程

若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。

例  用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）； （2）； （3）

知识点三  灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

例  运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。

（1）；    （2）

知识点四  用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

如：，将原方程变形为，由此可得出

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五  形如“”的方程的解法。

对于形如“”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“”型方程的特征。

例解下列方程：（1）；        （2）

配方法

知识点一  配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例  用配方法解下列方程：

（1）；    （2）

知识点二    用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）    在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2）    把原方程变为的形式。

（3）    若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。

例解下列方程：

知识点三    用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

         (2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；

（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例  用配方法解下列方程：

（1）；     （2）

公式法

知识点一  一元二次方程的求根公式

一元二次方程的求根公式是：

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。

例  用公式法解下列方程

（1）；  （2）； （3）

知识点二  选择适合的方法解一元二次方程

   直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例  用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）；（2）；（3）

知识点三   一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式 △=

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1）    △=﹥0方程有两个不相等的实数根；

（2）    △==0方程有两个相等的实数根；

（3）    △=﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。

例  不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）；（2）；（3）

知识点四  根的判别式的逆用

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0

（2）方程有两个相等的实数根=0

                      （3）方程没有实数根﹤0

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例  为何值时，方程的根满足下列情况：

（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根；  （3）没有实数根；

知识点五  一元二次方程的根与系数的关系

若是一元二次方程的两个根，则有，  

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：

（1）        （2）

（3）；

（4）││==

例  已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。

（1）；              （2）。

知识点六  根据代数式的关系列一元二次方程

   利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

例  当取什么值时，代数式与代数式的值相等？

一元二次方程的应用

知识点一    列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）    审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。

关键点：找出题中的等量关系。

知识点二   用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。

例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为                                    

知识点三   用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量

例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

易错知识辨析：

（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.

（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.

（3）用配方法时二次项系数要化1.

（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.

一元二次方程测试题

一、选择题

1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（    ）

   A、1         B、2             C、1或2          D、0

2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

3、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（    ）

A．          B．        C．           D．

4、 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（    ）

A．没有实数根                        B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根                D．有两个不相等的实数根

5、已知是方程的两根，且，则的值等于 （      ）

A．－5            B.5              C.-9             D.9

6、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（    ）

A．        B．     C．        D．

7、的估计正确的是 （    ）

    A．  B．   C．     D．

8、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（    ）

A．1                  B．12           C．13                   D．25

9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据

题意，列出方程为(   )

       A、 B、 C、 D、

10、若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 (     )

       A．－1          B．           C．1              D．或

11、设是方程的两个实数根，则的值为（    ）

A．2006    B．2007       C．2008       D．2009

12、对于一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)，下列说法：

  ①若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有实数根；

  ②若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c=O一定有实数根；

    ③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根；

④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根．

 其中正确的是(   )

  A．①②    B．①③    C．②③    D．①③④

二、填空题

1、若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=   ．

2、设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，

2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a=    ．

3、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是                   ．

4、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值为__________．

5、在等腰△ABC中，三边分别为、、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，则△ABC的周长为__________．

6、已知关于的一元二次方程（为常数）．

  设，为方程的两个实数根，且，则K的值为__________． 

7、已知m、n是方程的两根，则与的积是          .  

三、简答题

1、已知x是一元二次方程的实数根，求代数式：的值．

2、已知关于x的一元二次方程有两个实数根和。

（1）求实数m的取值范围；

（2）当时，求m的值。

（友情提示：若、是一元二次方程两根，则有，）

3、某产品第一季度每件成本为50元，第二、三季度每件产品平均降低成本的百分率为x。

（1）衣用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本；

（2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少9.5元，试求x的值；

4、若关于的一元二次方程有实数根．

求实数k的取值范围；

设，求t的最小值．