高一数学必修一知识点总结

来源:m.fanwen118.com时间:2021.9.17

高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性:

(1) 元素的确定性如:世界上最高的山

(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西

洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。

? 注意:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集) 记作:N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1) 列举法:{a,b,c……}

2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内

表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4) Venn图:

4、集合的分类:

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

2(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-5}

二、集合间的基本关系

1.?包含?关系—子集

注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同

一集合。

?B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

?A 或B?

2.?相等?关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)

2实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等?

即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

nn-1? 有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集

三、集合的运算

高一数学必修一知识点总结

例题:

1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个

3.若集合M={y|y=x-2x+1,x?R},N={x|x≥0},则M与N的关系是 .

2

4.设集合A=x?x?2,B=xx?a,若A?B,则a的取值范围是??

?

?

5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,

两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .

7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

2

2

2

2

高一数学必修一知识点总结

二、函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

? 值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .

(2) 画法

A、 描点法:

B、 图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换

2) 伸缩变换

3) 对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯

一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f(对应关系):A(原象)?B(象)? 对于映射f:A→B来说,则应满足:

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

补充:复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意:函数的单调性是函数的局部性质;

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法:

1 任取x,x∈D,且x<x; ○

2 作差f(x)-f(x); ○

3 变形(通常是因式分解和配方); ○

4 定号(即判断差f(x)-f(x)的正负); ○

5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). ○12121212

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:?同增异减?

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:

1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○

2确定f(-x)与f(x)的关系; ○

3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,○

则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有:

1) 凑配法

2) 待定系数法

3) 换元法

4) 消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○

2 利用图象求函数的最大(小)值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

例题:

1.求下列函数的定义域:

高一数学必修一知识点总结

⑴y?

高一数学必修一知识点总结

⑵y第 5 页 共 10 页

2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为_ _

3.若函数f(x?1)的定义域为[?2,3],则函数f(2x?1)的定义域是

?x?2(x??1)?4.函数 ,若f(x)?3,则x= f(x)??x2(?1?x?2)

?2x(x?2)?

5.求下列函数的值域:

⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2]

高一数学必修一知识点总结

(3)y?x

高一数学必修一知识点总结

y6.已知函数f(x?1)?x2?4x,求函数

7.已知函数f(x),f(2x?1)的解析式 f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4,则f(x)= 。

8.设f(x)是R上的奇函数,且当x?[0,??)时

高一数学必修一知识点总结

,f(x)?x(1,则当x?(??,0)时 f(x)在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间:

⑴ y?x2?2x?3

高一数学必修一知识点总结

⑵f(x)= y?⑶ y?x2?6x?1

10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论.

11.设函数f(x)?1?x2

判断它的奇偶性并且求证:1f()??f(x). 21?xx

第二章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果x?a,那么x叫做a的n次方根,

*其中n>1,且n∈N.

? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作?0。 当nan?a,当na?|a|??nnn?a(a?0) ?a(a?0)?

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)

a?m

nmn,?1

am

n?1am(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

3.实数指数幂的运算性质

(1)a〃a?a

rrr?s

(a?0,r,s?R); (a?0,r,s?R); (a?0,r,s?R).

rsrs(a)?a(2) rrs(ab)?aa (3)

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

高一数学必修一知识点总结

高一数学必修一知识点总结

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1)在[a,b]上,f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];

(2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R; (3)对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1),总有f(1)?a; 二、对数函数 (一)对数

1.对数的概念:一般地,如果a?N(a?0,a?1),那么数x叫做以.a为底..N的对数,记作:x?logaN(a— 底数,N— 真数,logaN— 对数式)

说明:○1 注意底数的限制a?0,且a?1;

x

2 a?N?logaN?x; ○

3 注意对数的书写格式. ○

x

x

两个重要对数:

1 常用对数:以10为底的对数lgN; ○

2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN. ○

? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

高一数学必修一知识点总结

高一数学必修一知识点总结

(二)对数的运算性质

如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么: 1 loga(M〃N)?logaM+logaN; ○

M

?logaM-logaN; N

3 logaMn?nlogaM (n?R). ○

2 loga○

注意:换底公式

logab?

logcb

(a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0).

logca

1n

(2)logab?. logab;

mlogba

利用换底公式推导下面的结论 (1)logambn?

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+≦).

注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:y?2log2x,y?log5x 都不是对数函数,而只能

5

称其为对数型函数.

2 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1). ○

(三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义并且图象都过点(1,1);

(2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,

高一数学必修一知识点总结

??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸;

(3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

例题:

1. 已知a>0,a0,函数y=a与y=loga(-x)的图象只能是 ( ) x

log27?2log522.计算: ①log32?②24?log23= ;35= ;

log27641③0.064??(?7)0?[(?2)3]??16?0.75?0.01 = 1

418

3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为 2

2

4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=

f(x)?0的5.已知f(x)?log1?x(a?0且a?1),(1)求f(x)的定义域(2)求使a1?xx的取值范围

高一数学必修一知识点总结

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即:方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点.

3、函数零点的求法:

1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数○

y?f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数y?ax2?bx?c(a?0).

(1)△>0,方程ax?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.

(2)△=0,方程ax?bx?c?0有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△<0,方程ax?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.

5.函数的模型

高一数学必修一知识点总结

222第 10 页 共 10 页

更多类似范文
┣ 高一数学必修1各章知识点总结[1] 7400字
┣ 高一数学必修一函数知识点总结 5600字
┣ 高中数学必修一知识点总结完整版 4100字
┣ 高中数学必修一知识点总结 8400字
┣ 更多高一数学必修一知识点总结
┗ 搜索类似范文