第二篇：数学分析知识点总结第二章 (1)

  

          
第二章

1数列极限的概念

定义（1）；设{}为数列，a为定数。若对任给的的正数，总存在正整数n.使得当nN时，有|a-a|<,则称数列{a}的极限，记作a=a.( >0.N,当nN时，有|a-a|<成立，则)。

注意：1：为任意正数，可以随意小，但一经给出，就被确定下来，有时还用表示。2：N的依赖性但不唯一性，N是依赖于，但不由唯一确定。比如n>N时，N=100，自然N=|0|也成立，所以，N不是唯一确定的。

1.     

1.      ,dangianhu 定义（1）；。则称数列收敛于。定义1的否定：存在，若在，而不能说明。

注意：定义1 通常用来说明数列无极限，而定义1 的否定只说明。

定义（2）：若。

定理2.1；数列{}收敛于a的充要条件是：。定义

则称数列。

注意：无穷大数列只是无极限的一种。随记坐仍为发散数列，无极限给定数列，得到数列。则数列与

{b}同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相同。

                2收敛的性质

定理2.2：唯一性，若数列。

定理2.3：有界性，若数列，则{a}为有界数列，则存在正数M，使得对一切正整数n 有|

收敛数列一定有界，而有界数列不一定收敛。

定理2.4:若，都存在N，使得（保号性）当n >N时，有

摧论：设，则存在N，使得当n>N时有。

证明：

由定理2.4，保号性知：

                     

                   

 定理2.5（保不等式性），设{，若存在正数时有

证明

设

     

取N=max

定理2.6（迫敛性）设收敛数列{，当n>