20xx人教版高中数学必修1知识点总结(6900字)

来源:m.fanwen118.com时间:2021.9.10

高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性:

(1) 元素的确定性如:世界上最高的山

(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰

洋}

(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。

? 注意:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集) 记作:N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1) 列举法:{a,b,c……}

2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。

{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4) Venn图:

4、集合的分类:

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

2(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-5}

二、集合间的基本关系

1.?包含?关系—子集

注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

2.?相等?关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)

2实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等?

即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或B③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

nn-1? 有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集

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A)

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例题:

1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c }的真子集共有 个

3.若集合M={y|y=x-2x+1,x?R},N={x|x≥0},则M与N的关系是 . 2

4.设集合A=x?x?2,B=xx?a,若A?B,则a的取值范围是 ????

5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化

正确得有31人,

两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。

6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合

M= .

7.已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若

∩C=Φ,求m的值

2222学实验做得B∩C≠Φ,A

二、函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

? ;

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②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

2.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .

(2) 画法

A、 描点法:

B、 图象变换法

常用变换方法有三种

1) 平移变换

2) 伸缩变换

3) 对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f(对应关系):A(原象)?B(象)?

对于映射f:A→B来说,则应满足:

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质;

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法:

1 任取x,x∈D,且x<x; ○

2 作差f(x)-f(x); ○

3 变形(通常是因式分解和配方); ○

4 定号(即判断差f(x)-f(x)的正负); ○

5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). ○12121212

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:?同增异减?

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤:

1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○

2确定f(-x)与f(x)的关系; ○

3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函○

数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有:

1) 凑配法

2) 待定系数法

3) 换元法

4) 消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○

2 利用图象求函数的最大(小)值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

例题:

1.求下列函数的定义域:

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⑴y?

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⑵y2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为_ _

3.若函数f(x?1)的定义域为[?2,3],则函数f(2x?1)的定义域是

?x?2(x??1)?4.函数 ,若f(x)?3,则x= f(x)??x2(?1?x?2)

?2x(x?2)?

5.求下列函数的值域:

⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2]

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(3)y?x

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y6.已知函数f(x?1)?x2?4x,求函数

7.已知函数f(x),f(2x?1)的解析式 f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4,则f(x)= 。

8.设f(x)是R上的奇函数,且当x?[0,??)时

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,f(x)?x(1,则当x?(??,0)时 f(x)在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间:

⑴ y?x2?2x?3

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⑵y?f(x)= ⑶ y?x2?6x?1

10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论.

11.设函数f(x)?1?x2

判断它的奇偶性并且求证:1f()??f(x). 21?xx

第二章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果x?a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.

? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0?0。 n

?a(a?0)当n是奇数时,a?a,当n是偶数时,a?|a|?? ?a(a?0)?nn

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)

a?m

nmn,?1

a

rmn?1am(a?0,m,n?N*,n?1) ? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)a〃a?a

(a?0,r,s?R);

rsrs(a)?a(2) rr?s

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(a?0,r,s?R);

rrs(ab)?aa (3)

(a?0,r,s?R).

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

2

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];

(2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;

(3)对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1),总有f(1)?a;

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念:一般地,如果a?N(a?0,a?1),那么数x叫做以.a为底..N的对数,记作:x?logaN(a— 底数,N— 真数,logaN— 对数式) 说明:○1 注意底数的限制a?0,且a?1;

2 ax?N?logaN?x; ○

3 注意对数的书写格式. ○

两个重要对数:

1 常用对数:以10为底的对数lgN; ○

2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN. ○

? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

xxx

指数 对数

(二)对数的运算性质

如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么: 1 loga(M〃N)?logaM+logaN; ○

M

?logaM-logaN; N

3 logaMn?nlogaM (n?R). ○

2 loga○

注意:换底公式

logab?

logcb

(a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0).

logca

1n

(2)logab?. logab;

mlogba

利用换底公式推导下面的结论 (1)logambn?

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+≦).

注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:

y?2log2x,y?log5x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

5

2 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1). ○

2

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(三)幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如y?x(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数. 2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸;

(3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 例题:

1. 已知a>0,a

0,函数y=a与y=loga(-x)的图象只能是 ( )

x

?

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log27?2log522.计算: ①log32? ;②24?log23= ;35= ;

log27641

③0.064??(?7)0?[(?2)3]??16?0.75?0.01 = 1

418

3.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为 2

2

4.若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=

f(x)?0的5.已知f(x)?log1?x(a?0且a?1),(1)求f(x)的定义域(2)求使a1?xx的取值范围

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即:方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点.

3、函数零点的求法:

1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y?○

系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数y?ax2?bx?c(a?0).

(1)△>0,方程ax?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.

(2)△=0,方程ax?bx?c?0有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△<0,方程ax?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.

222f(x)的图象联

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第二篇:高中数学必修1知识点总结 8000字

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第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性:

1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性

说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列举法与描述法。

非负整数集(即自然数集)记作:N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A

列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分类:

(1).有限集 含有有限个元素的集合

(2).无限集 含有无限个元素的集合

(3).空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

- 1 -

实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B

任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集,记作A? B(或B? A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

四、函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数

- 2 -

不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域

注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. 集合C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法(请参考必修4三角函数)

常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用:

1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

4.了解区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

5.什么叫做映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,

- 3 -

那么就称对应f:A→ B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A→ B” 给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点:

1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值.

补充一:分段函数 (参见课本P24-25)

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

补充二:复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g 的复合函数。

例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)

7.函数单调性

(1).增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a,b,当a<b时,都有f(a)<f(b),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)

如果对于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当a<b 时,都有f(a)>f(b),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a,b;当a<b时,总有f(a)<f(b) 。

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

- 4 -

(A) 定义法:任取a,b∈D,且a<b;2 作差f(a)-f(b);3 变形(通常是因式分解和配方);4 定号(即判断差f(a)-f(b)的正负);5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关

注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?

8.函数的奇偶性

(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

(1)、 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. (2)、 利

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用图象求函数的最大(小)值 (3)、 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

第二章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果xn?a,那么x叫做a的n次方根(n th root),其中n>1,且n∈N*.

当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.此时,a的n次方根用符号a表示.式子a叫做根式(radical),这里n叫做根指数(radical exponent),a叫做被开方数(radicand).

当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a的正的n次方根用符号a表示,负的n次方根用符号-a表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成±a(a>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0?0。

?a(a?0)nna?a注意:当n是奇数时,,当n是偶数时,a?|a|?? ?a(a?0)?

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

a?a(a?0,m,n?N,n?1),amnm*?m

n?1

m

n?1a

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

3.实数指数幂的运算性质

rsrsrrr?s(a)?aa?aa(1)·(2)(a?0,r,s?R);(a?0,r,s?R);

rrs(ab)?aa(a?0,r,s?R). (3)

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数(exponential function),其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

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am(a?0,m,n?N*,n?1)

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(1)在[a,b]上,f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]; (2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R; (3)对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1),总有f(1)?a; (4)当a?1时,若x1?x2,则f(x1)?f(x2); 二、对数函数 (一)对数

1.对数的概念:一般地,如果ax?N(a?0,a?1),那么数x叫做以.a为.底.N的对数,记作:x?logaN(a— 底数,N— 真数,logaN— 对数式)

1 注意底数的限制a?0,且a?1; 说明:○

2 ax?N?logaN?x; ○

3 注意对数的书写格式. ○

两个重要对数:

1 常用对数:以10为底的对数○

2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN. ○

对数式与指数式的互化 logaN?x ? ax?N 对数式 ? 指数式

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对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 (二)对数的运算性质

如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么:(1)loga(M·N)?logaM

M

+logaN;(2)loga(3)logaMn?nlogaM ?logaM-logaN;

N

(n?R).

logcb

注意:换底公式logab?a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0).

logca

1n

利用换底公式推导下面的结论(1)(2). logab?logambn?logab;

logbam

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中. x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)

1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 注意:○

x

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5

2 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1).

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如:y?2log2x,y?log5

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三、幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);

(2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸;

(3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时, 图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x 叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。

2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即:

方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点.

3、函数零点的求法:

求函数y?f(x)的零点:

1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y?f(x)的○

图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数y?ax2?bx?c(a?0).

1)△>0,方程ax2?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点.

2)△=0,方程ax2?bx?c?0有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程ax2?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.

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