高三数学第一轮复习不等式讲义（小结）    

一．复习目标：

1．进一步巩固不等式的解法、证明不等式的一般方法、利用不等式求最值的方法；

2．能熟练运用不等式的思想方法解决有关应用问题．

二．课前预习：

1．已知，，下列不等式中必成立的一个是                              （           ）

                                    

2．设满足的正数，则的最大值是               （      ）

                                                                  

3．设，，，则的取值范围是     （      ）

                                                         

4．设，则函数的最小值是          ，此时           ．

5．关于的不等式的解集不是空集，且区间长度不超过5，则实数的取值范围是                ．

6．使成立的的取值范围是           ．

7．锐角三角形中，已知边，则边的取值范围是           ．

三．例题分析：

例1．（1）已知，且，求的最小值及相应的的值；

（2）已知，且，求的最大值及相应的的值．

例2．设绝对值小于的全体实数的集合为，在中定义一种运算，使得，

求证：如果与属于，那么也属于．

例3．证明：．

例4．某种商品原来定价每件元，每月将卖出件．若定价上涨成（注：成即，），每月卖出数量将减少成，而售货金额变成原来的倍．

（1）若，其中是满足的常数，用来表示当售货金额最大时的值；

（2）若，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围．

四．课后作业：                           班级      学号      姓名           

1．已知，则不等式等价于                                        （           ）

或                                     或

或                         或

2．一批货物随17列火车从市以的速度匀速直达市，已知两地铁路线长为，为了安全，两列货车的距离不得小于（货车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到市，最快需要                                                                  （           ）

                                                                    

3．若是实数，且，则在下面三个不等式：①；②；③，其中不成立的有           个．

4．设都是大于0的常数，则当时，函数的最小值是       ．

5．已知，当时，的值有正有负，则的取值范围为      ．

6．已知，且，则的最大值是             ．

7．设，实数满足，求证：．

8．已知都是正数，求证：．

9．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入台，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用运输和保管费用总计43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．

 

第二篇：20xx高三数学第一轮复习(不等式的应用)

2011高三数学第一轮复习（不等式的应用）

★★★高考在考什么

【考题回放】

?x?0

?1.（2008安徽文） 若A为不等式组?y?0表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x?y?a 扫

?y?x?2?

过A中的那部分区域的面积为 ( C )

A．3

4 B．1 C．7

4 D．5

?x?y?1≥0，

?2．（2008北京文）若实数x，y满足?x?y≥0，则z?x?2y的最小值是（ A ）

??x≤0，

1 (A)0 (B) (C) 1 (D)2 2

?x?y?1≥0，

?3．（2008北京理）若实数x，y满足?x?y≥0，则z?3x?2y的最小值是（ B

）

??x≤0，

A．0 B．1 C D．9

?x?y??0y?x?04．(2008福建文)若实数x,y满足 ?，则的取值范围是（ D ） x?y?2?

Ａ．(0,2) Ｂ．(0,2] Ｃ．(2,??) Ｄ．[2,??)

5.(2008福建理) 若实数x、y满足?

A.(0,1) B.?0,1? ?x?y?1?0?x?0，则yx的取值范围是（C ） C.(1,+?) D.?1,???

?x?0

?6.（2008安徽理）若A为不等式组?y?0表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x?y?a 扫过

?y?x?2?A中的那部分区域的面积为7

4?x?y≥0?7、.(2008全国Ⅰ卷文、理)若x，y满足约束条件?x?y?3

??0≤x≤则z?2x?y的最大值为 9 ． 7.答案：9．如图，作出可行域， 作出直线l0:x?2y?0，将l0平移至过点A处

时，函数z?2x?y有最大值9. 8、2007山东）本公司计划20089万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，

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益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得?x?y≤300，

? ?500x?200y≤90000，

?x≥0，y≥0.? 目标函数为z?3000x?2000y．

?x?y≤300，

?二元一次不等式组等价于?5x?2y≤900，

?x≥0，y≥0.?l

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图： 作直线l:3000x?2000y?0， 即3x?2y?0． 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． ?x?y?300，联立?解得x?100，y?200． 5x?2y?900.?

200)． ?点M的坐标为(100，?zmax?3000x?2000y?700000（元）

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

★★★高考要考什么

不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.

★ ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知函数f(x)?kx?b的图象与x,y轴分别相交于点A、B，AB?2i?2j（i,j分别是与x,y轴正半轴同方向的单位向量），函数g(x)?x?x?6。 （1）求k,b的值；

g(x)?1

f(x)

b

k,b} 2（2）当x满足f(x)?g(x)时，求函数b

k的最小值。 解：（1）由已知得A(?,0),B(0,b),则

AB?{

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?b??2于是 ?k,

?b?2??k?1??. ?b?2

（2）由f(x)?g(x),得x?2?x2?x?6, 即 (x?2)(x?4)?0,得?2?x?4,

g(x)?1

f(x)x?x?5x?22??x?2?1

x?2?5,

由于x?2?0,则g(x)?1

f(x)??3，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立，

∴g(x)?1

f(x)时的最小值是－3.

【范例2】已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.

(1)证明：|c|≤1；

(2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x).

命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属较难题目.

知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.

错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局.

技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.

(1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.

(2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是 g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).

∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，

∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，

g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，

因此得|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)；

当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，

∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)，|c|≤1

∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.

综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.

证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)

∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，

2∵f(x)=ax+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，

因此，根据绝对值不等式性质得：

|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，

|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，

∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，

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于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1).

证法三:?x?(x?1)?(x?1)

4

x?1

2)?(222?(x?1

2

2x?122)?(2x?12?),x?12)2?g(x)?ax?b?a[(?[a(

?f(x?12x?1

2)?b(2)]?b()?b(2x?12x?12 x?122))?c]?[a(x?1)?c])?f(x?1

当－1≤x≤1时，有0≤x?1

2≤1，－1≤

x?1

2

x?1

2x?12≤0， x?12∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f (因此当－1≤x≤1时，|g(x)|≤|f ()|≤1，|f()|≤1； )|+|f(x?1

2)|≤2.

(3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即

g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2.

∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.

因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，

根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，

由此得－b

2a ① ＜0 ，即b=0.

由①得a=2，所以f(x)=2x2－1.

【范例3】已知二次函数y?f?x?的图像经过坐标原点，其导函数为f??x??6x?2.数列?an?的前n项和为Sn，点?n,Sn??n?N*?均在函数y?f?x?的图像上.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?3anan?1，Tn是数列?bn?的前n项和，求使得Tn?m20对所有n?N都成立的最小正整数m. *

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

?2又因为点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n－2n.

3n?1)?2(n?1)?＝6n－5. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－?（2

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当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N?）

3

anan?1（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?＝3(6n?5)?6(n?1)?5?＝126n?5(1?16n?1)，

n

故Tn＝?bi＝

i?11?1111111?＝（1－）. (1?)?(?)?...?(?)??77136n?56n?1?2?26n?1

1

6n?12小正整数m为10. 因此，要使1（1－）<m20（n?N?）成立的m,必须且仅须满足12≤m20，即m≥10，所以满足要求的最

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