第十一章：全等三角形复习

一全等三角形

1、什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性质？

（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、一般三角形全等的条件（包括直角三角形）：（1）定义（重合）法；

(2)SSS：三边对应相等的两个三角形全等；

(3)SAS：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等；

(4)ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；

(5)AAS：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。解题常用后面四种方法。直角三角形全等特有的条件：HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。

4、证明两个三角形全等的基本思路：

（1）已知两边：a、找第三边（SSS）；b、找夹角（SAS）；c、找是否有直角（HL）。

（2）已知一边一角：①已知一边和他的邻角：a、找这边的另一个邻角(ASA)；b、找这个角的另一个边(SAS)；c、找这边的对角 (AAS)。

②已知两角：a、找两角的夹边(ASA)；b、找夹边外的任意边(AAS）。

二角平分线

1、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用法1：∵ QD⊥OA，QE⊥OB            用法2： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE。

∴点Q在∠AOB的平分线上。                   ∴点Q在∠AOB的平分线上

∴ QD＝QE

3、总结提高：学习全等三角形应注意以下几个问题

（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；

（2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3)要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

（4)时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”。

练习：

练习1：如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC ,∠B=∠C,试问AD=AE吗？

2、如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC，AO平分∠BAC吗？

3、如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？

4、如图，已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,还需要补

充的条件可以是

 

5、已知 AC=DB, ∠1=∠2. 求证:  ∠A=∠D

6、如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。

7、如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？

8、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD

9、求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。

10、将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=   度；

11、如图6，已知：∠A＝90°，AB=BD，ED⊥BC于 D.求证：AE＝ED

三轴对称

1、把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。

3、轴对称的性质： ①关于某直线对称的两个图形是全等形。       

    ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是   任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

    ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4、线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

   性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 （纯粹性）。

   逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（完备性）

   线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。

5、用坐标表示轴对称小结：
   在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等。

   利用轴对称变换作图：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用的输气管道线最短？

6、等腰三角形

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

2、等腰三角形的判定：

   如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）。

7、等边三角形

（1）等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。

（2）等边三角形的判定：

     ①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

练习1：在△ABC中，AB=AC时，

(1)∵AD⊥BC

∴∠ ____= ∠_____;____=____

(2) ∵AD是中线

∴____⊥____; ∠_____= ∠_____

(3) ∵ AD是角平分线

∵____ ⊥____;_____=____

2、如图 1，AD 是△ABC 的角平分线，BE⊥AD 交 AD 的延长线于 E，EF∥AC 交 AB 于 F，求证：AF＝FB.

3、某等腰三角形的两条边长分别为 3 cm 和 6 cm，则它的周长为：

4、等腰三角形的一个角为 30°，则底角为___________．

5、已知：如图 5，AB＝AC，BD⊥AC.求证：∠DBC=1/2∠A。

6、如图 6，在△ABC 中，AB＝AC，在 AB 上取一点 E，在AC 延长线上取一点 F，使 BE＝CF，EF 交 BC 于 G，EM∥CF.求证：EG＝FG.

第十四章 整式和因式分解

一、幂的4个运算性质

1、同底数幂的乘法：a^m · aⁿ =  a^m+n

2、同底数幂的除法：a^m÷aⁿ =a^m-n ；a0=1(a≠0)                                                        

3、幂的乘方: (a^m )ⁿ =  amⁿ

4、积的乘方: (ab)ⁿ =  aⁿbⁿ

如：（1）(-1)²⁰⁰⁹+π⁰=   (x-3)^x+2=1，求x.

（2）若10^x=5,10^y=4,求10^2x+^3y-1 的值.

（3）计算：0.25¹⁰⁰⁰×（-2）²⁰⁰⁰

二、乘法公式

1、平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

2、完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b²

3、三数和的平方公式：(a+b+c)²=a²+b² +c²+2ab+2ac+2bc

计算：(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

(1-x)(1+x)(1+x²)(1-x⁴)

(x+4y-6z)(x-4y+6z)

(x-2y+3z)²

简便计算:(1)98×102

     (2)299²

     (3) 2006²-2005×2007

活学活用：已知a+b=5 ，ab= -2，求（1）a²+b²  （2）a-b

已知a²-3a+1=0，求（1）    (2)     

三、因式分解

因式分解方法：一提二套三看

一提：提公因式 提负号

二套：套平方差、完全平方、十字相乘法

三看：看是否分解完全。

如：x⁵-16x   -4a ²+4ab- b 2  m ²(m-2)-4m(2-m)  4a²- 16(a-2) ²

 a、多项式x²-4x+4、x²-4的公因式是

 b、已知x²-2mx+16 是完全平方式 则m为

c、已知x²-8x+m是完全平方式，则m=

d、已知x²-8x+m²是完全平方式，则m=

e、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b=

f、如果(a² +b² )(a² +b² -1)=20,那么a² +b² =_____

简便计算：(-2)²⁰⁰⁸+(-2)²⁰⁰⁹

2005+2005²-2006²

399²+399

找规律：

 

第二篇：初二数学下四边形知识点总结

平行四边形的性质

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