高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理)(5200字)

来源:m.fanwen118.com时间:2021.7.31

平面向量

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB或a。

2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:|AB|或|a|。

3.单位向量:长度为1的向量。若e是单位向量,则|e|?1。

4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】

5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。

6.相等向量:长度和方向都相同的向量。

7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB??BA。

8.三角形法则:

AB?BC?AC;AB?BC?CD?DE?AE;AB?AC?CB(指向被减数)

9.平行四边形法则:

以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a?b,a?b。

10.共线定理:a??b?a//b。当??0时,a与b同向;当??0时,a与b反向。

11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模:若a?

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(x,y),则|a|?a2?|a|

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2,|a?b|?13.数量积与夹角公式:a?b?|a|?|b|cos?; cos??a?b

|a|?|b|

14.平行与垂直:a//b?a??b?x1y2?x2y1;a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0题型1.基本概念判断正误:

(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。

(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。

(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。

(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是AB?CD。

(5)若AB?CD,则A、B、C、D四点构成平行四边形。

(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。

(7)若a与b共线, b与c共线,则a与c共线。

(8)若ma?mb,则a?b。

1

(9)若ma?na,则m?n。

(10)若a与b不共线,则a与b都不是零向量。

(11)若a?b?|a|?|b|,则a//b。

(12)若|a?b|?|a?b|,则a?b。 题型2.向量的加减运算

1.设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则|a?b|? 。

2.化简(AB?MB)?(BO?BC)?OM? 。

3.已知|OA|?5,|OB|?3,则|AB|的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知AC为AB与AD的和向量,且AC?a,BD?b,则AB? ,AD? 。

5.已知点C在线段AB上,且AC?3

5AB,则AC?BC,AB?BC。

题型3.向量的数乘运算

1.计算:(1)3(a?b)?2(a?b)? (2)2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?

2.已知a?(1,?4),b?(?3,8),则3a?1

2b?

题型4.作图法球向量的和

已知向量a,b,如下图,请做出向量3a?13

2b和2a?2b。 ab

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在?ABC中,D是BC的中点,请用向量AB,AC表示AD。

2.在平行四边形ABCD中,已知AC?a,BD?b,求AB和AD。

题型6.向量的坐标运算

1.已知AB?(4,5),A(2,3),则点B的坐标是 。

2.已知PQ?(?3,?5),P(3,7),则点Q的坐标是 。

3.若物体受三个力F1?(1,2),F2?(?2,3),F3?(?1,?4),则合力的坐标为。

2

4.已知a?(?3,4),b?(5,2),求a?b,a?b,3a?2b。

5.已知A(1,2),B(3,2),向量a?(x?2,x?3y?2)与AB相等,求x,y的值。

6.已知AB?(2,3),BC?(m,n),CD?(?1,4),则DA? 。

7.已知O是坐标原点,A(2,?1),B(?4,8),且AB?3BC?0,求OC的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知e1,e2是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:

A.e1?e2和e1?e2 B.3e1?2e2和4e2?6e1 C.e1?3e2和e2?3e1 D.e2和e2?e1

2.已知a?(3,4),能与a构成基底的是( ) 3443344A.(,) B.(,) C.(?,?) D.(?1,?) 5555553

题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知O是坐标原点,点A在第二象限,|OA|?2,?xOA?150,求OA的坐标。

2.已知O是原点,点A

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在第一象限,|OA|??xOA?60,求OA的坐标。

题型9.求数量积

1.已知|a|?3,|b|?4,且a与b的夹角为60,求(1)a?b,(2)a?(a?b),

1(3)(a?b)?b,(4)(2a?b)?(a?3b)。 2

2.已知a?(2,?6),b?(?8,10),求(1)(2)a?b,(3)a?(2a?b),(4)(2a?b)?(a?3b)。 |a|,|b|,

题型10.求向量的夹角

1.已知|a|?8,|b|?3,a?b?12,求a与b的夹角。

2.

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已知a?b?(?,求a与b的夹角。

3.已知A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos?BAC。

3

题型11.求向量的模

1.已知|a|?3,|b|?4,且a与b的夹角为60,求(1)|a?b|,(2)|2a?3b|。

2.已知a?(2,?6),b?(?8,10),求(1)|a|,|b|,(5)|a?b|,(6)|a?1

2b|。

3.已知|a|?1,|b|?2,|3a?2b|?3,求|3a?b|。

题型12.求单位向量 【与a平行的单位向量:e??a

|a|】

1.与a?(12,5)平行的单位向量是 。

2.与m?(?1,1

2)平行的单位向量是 题型13.向量的平行与垂直

1.已知a?(6,2),b?(?3,m),当m为何值时,(1)a//b?(2)a?b?

2.已知a?(1,2),b?(?3,2),(1)k为何值时,向量ka?b与a?3b垂直? (2)k为何值时,向量ka?b与a?3b平行?

3.已知a是非零向量,a?b?a?c,且b?c,求证:a?(b?c)。

题型14.三点共线问题

1.已知A(0,?2),B(2,2),C(3,4),求证:A,B,C三点共线。

2.设AB?2(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b),求证:A、B、D三点共线。

4

3.已知AB?a?2b,BC??5a?6b,CD?7a?2b,则一定共线的三点是 。

4.已知A(1,?3),B(8,?1),若点C(2a?1,a?2)在直线AB上,求a的值。

5.已知四个点的坐标O(0,0),A(3,4),B(?1,2),C(1,1),是否存在常数t,使OA?tOBO?C立?

题型15.判断多边形的形状

1.若AB?3e,CD??5e,且|AD|?|BC|,则四边形的形状是 。

2.已知A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),证明四边形ABCD是梯形。

3.已知A(?2,1),B(6,?3),C(0,5),求证:?ABC是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内,OA?(?1,8),OB?(?4,1),OC?(1,3),求证:?ABC是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用

1.已知a?(1,0),b?(2,1),当k为何值时,向量ka?b与a?3b平行?

2.

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已知a?,且a?b,|b|?2,求b的坐标。

3.已知a与b同向,b?(1,2),则a?b?10,求a的坐标。

3.已知a?(1,2),b?(3,1),c?(5,4),则c? a? b。 4.已知a?(5,10),b?(?3,?4),c?(5,0),请将用向量a,b表示向量c。

5.已知a?(m,3),b?(2,?1),(1)若a与b的夹角为钝角,求m的范围;

(2)若a与b的夹角为锐角,求m的范围。 6.已知a?(6,2),b?(?3,m),当m为何值时,(1)a与b的夹角为钝角?(2)a与b的夹角为锐角?

7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A(?1,2),B(3,4),D(2,1),且AB//DC,AB?2CD,求点C的坐标。

5 成

8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(?1,3),C(3,4),求第四个顶点D的坐标。

9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度与船的实际速度。

10.已知?ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0),

(1)若AB?AC?0,求c的值;(2)若c?5,求sinA的值。

【备用】

1.已知|a|?3,|b|?4,|a?b|?5,求|a?b|和向量a,b的夹角。

2.已知x?a?b,y?2a?b,且|a|?|b|?1,a?b,求x,y的夹角的余弦。

1.已知a?(1,3),b?(?2,?1),则(3a?2b)?(2a?5b)? 。

4.已知两向量a?(3,4),b?(2,?1),求当a?xb与a?b垂直时的x的值。

5.已知两向量a?(1,3),b?(2,?),a与b的夹角?为锐角,求?的范围。 变式:若a?(?,2),b?(?3,5),a与b的夹角?为钝角,求?的取值范围。 选择、填空题的特殊方法:

1.代入验证法

例:已知向量a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,?2),则c?( ) A.?1

2a?3

2b B.?1

2a?3

2b C.3131

2a?2b D.?2a?2b

变式:已知a?(1,2),b?(?1,3),c?(?1,2),请用a,b表示c。

2.排除法

例:已知M是?ABC的重心,则下列向量与AB共线的是( )

A.AM?MB?BC B.3AM?AC C.AB?BC?AC D.AM?BM?CM

6

广东省近八年高考试题-平面向量(理科)

1.(20xx年高考广东卷第10小题)

若向量a、b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为120?,则aa?ab? .

2.(20xx年高考广东卷第3小题)

3.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a + 3b =( )

A. (-5,-10) B. (-4,-8)

4.(20xx年高考广东卷第3小题)

(x,1)已知平面向量a= ,b=, 则向量a?b =( ) (-x,x2)C. (-3,-6) D. (-2,-4)

A平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线

??????c=(3,x)满足条件 (8a-b)·c=30,b=5. (20xx年高考广东卷第5小题)若向量a=(1,1),(2,5),

则x= ( )

A.6 B.5 C.4 D.3

6.(20xx年高考广东卷第3小题)已知向量a?(1,2),b?(1,0),c?(3,4).若?为实数,(a??b)//c, 则??( )

11 A. B. C.1 D. 2 42

7.(20xx年高考广东卷第3小题)

8.若向量BA?(2,3),CA?(4,7),则BC?( )

A.(?2,?4) B.(3,4) C.(6,10) D.(?6,?10)

9.(20xx年高考广东卷第8小题)对任意两个非零的平面向量?,?,定义??????.若平面???

????n?向量a,b满足a?b?0,a与b的夹角???0,?,且??和??都在集合?|n?Z?中,则?4??2?ab?

135A. B.1 C. D. 222

7

10.(2014广东省高考数学理科12)已知向量a??1,0,?1?,则下列向量中与a成60?夹角的是

A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)

8


第二篇:高中数学必修四指数与指数幂的运算(1)教案 知识点总结 典型例题 练习 7200字

指数与指数幂的运算(1)

教学重点:分数指数幂和根式概念的理解,掌握并运用分数指数幂的运算性质;

教学难点:运用有理指数幂性质进行化简、求值,有理指数幂性质的灵活应用

一、知识要点归纳讲解

1、n次方根

【问题思考】:

(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?

(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?

(4)可否用一个式子表达呢?

【解答】:

(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4

3的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x=a,则x叫做a的立方根,一个数的立

方根只有一个,如:-8的立方根为-2.

(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.

(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.

(4)用一个式子表达是,若xn=a,则x叫a的n次方根.

【n次方根的意义】:一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

2、n次方根的性质

【问题思考】:

(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?

①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32

6的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a的立方根.

(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?

(3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?

【解答】:

(1)因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.

(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总之,这些数包括正数,负数和零.

(3)一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反

数.0的任何次方根都是0.

(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.

类比平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:

①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用a表示,如果是负数,负的n次方根用?a表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±a(a>0).

②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号a表示.

③负数没有偶次方根;0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示:

??n为奇数,a的na,a为正数:? ??n为偶数,a的n次方根有两个为?a.

?a,?n为奇数,a的na为负数:? ?n为偶数,a的n次方根不存在.?

零的n次方根为零,记为0=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.

【问题思考】:根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况?

【解答】:(答案不唯一),比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为?27,而-27的4次方根不存在等.其中?27也表示方根,它类似于a的形式,现在我们给式子a一个名称——根式.

3、根式

【根式的概念】:式子a叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.如?27中,3叫根指数,-27叫被开方数.

【问题思考】:an表示an的n次方根,等式an=a一定成立吗?如果不一定成立,那么an等于什么? 〔如3(?3)3=?27=-3,(?8)4=|-8|=8〕.

【解答】:根据n次方根的意义,可得:(a)n=a.

a?0,?a,通过探究得到:n为奇数,an=a. n为偶数,an=|a|=?

??a,a?0.

因此我们得到n次方根的运算性质: ①(a)n=a.先开方,再乘方(同次),结果为被开方数.

②n为奇数,an=a.先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数.

a?0,?a,n为偶数,an=|a|=a,?先偶次乘方,再开方(同次),结果为被

??a,a?0.

开方数的绝对值.

二、应用例题

【例1】:求下列各式的值: (1)3(?8)3;(2)(?10)2;(3)(3??)4;(4)(a?b)2(a>b).

·变式训练1:求出下列各式的值: (1)7(?2)7; (2)3(3a?3)3(a≤1); (3)(3a?3)4.

【例2】:下列各式中正确的是( ) (1)a4=a; (2)(?2)2=?2; (3)a0=1; (4)(2?1)5=(2?1).

·变式训练2:若a2-2a?1=a-1,求a的取值范围.

【例3】:3?22+3?22=_________

·变式训练3:

1.以下说法正确的是( )

A.正数的n次方根是一个正数 B.负数的n次方根是一个负数

C.0的任何次方根都是零 D.a的n次方根用a表示(以上n>1且n∈N*).

2.化简下列各式:

(1)64;(2)(?3)2;(3)x8;(4)x6y3;(5)(x-y)2.

3.计算7?40?7?40=__________.

·拓展提升:

【例4】an=a与(a)n=a(n>1,n∈N)哪一个是恒等式,为什么?请举例说明. 对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为偶数时,n为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.

三、课堂小结

1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n>1且n∈N*.用式子a表示,式子a叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.

(1)当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用a表示,如果是负数,负的n次方根用-a表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±a(a>0).

(2)n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号a表示.

(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.

a?0,?a,2.掌握两个公式:n为奇数时,(a)n=a,n为偶数时,an=|a|=? ??a,a?0.

·【知识要点归纳】

1、n次方根

【问题思考】:

(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?

(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?

(4)可否用一个式子表达呢?

【解答】:

(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.

(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.

(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.

(4)用一个式子表达是,若xn=a,则x叫a的n次方根.

【n次方根的意义】:一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

2、n次方根的性质

【问题思考】:

(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?

①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.

(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?

(3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?

【解答】:

(1)因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.

(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总之,这些数包括正数,负

数和零.

(3)一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.

(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.

类比平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:

①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用a表示,如果是负数,负的n次方根用?a表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±a(a>0).

②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号a表示.

③负数没有偶次方根;0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示:

??n为奇数,a的na,a为正数:? ??n为偶数,a的n次方根有两个为?a.

?a,?n为奇数,a的na为负数:? ?.?n为偶数,a的n次方根不存在

零的n次方根为零,记为0=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.

【问题思考】:根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况?

【解答】:(答案不唯一),比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为?27,而-27的4次方根不存在等.其中?27也表示方根,它类似于a的形式,现在我们给式子a一个名称——根式.

3、根式

【根式的概念】:式子a叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.如?27中,3

叫根指数,-27叫被开方数.

【问题思考】:an表示an的n次方根,等式an=a一定成立吗?如果不一定成立,那么an等于什么? 〔如(?3)3=?27=-3,(?8)4=|-8|=8〕.

【解答】:根据n次方根的意义,可得:(a)n=a.

a?0,?a,通过探究得到:n为奇数,an=a. n为偶数,an=|a|=?

??a,a?0.

因此我们得到n次方根的运算性质: ①(a)n=a.先开方,再乘方(同次),结果为被开方数.

②n为奇数,an=a.先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数.

a?0,?a,n为偶数,a=|a|=a,?先偶次乘方,再开方(同次),结果为被?a,a?0.?n

开方数的绝对值.

·【应用例题】

【例1】:求下列各式的值: (1)(?8)3;(2)(?10)2;(3)(3??)4;(4)(a?b)2(a>b).

分析:求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.

解:(1)(?8)3=-8; (2)(?10)2=10; (3)(3??)4=π-3; (4)(a?b)2=a-b(a>b).

点评:不注意n的奇偶性对式子an的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.

·变式训练1:求出下列各式的值: (1)(?2)7; (2)(3a?3)3(a≤1); (3)(3a?3)4.

解:(1)(?2)7=-2, (2)(3a?3)3(a≤1)=3a-3,

?3a?3,a?1,(3)(3a?3)4=?

?3?3a,a?1.

点评:本题易错的是第(3)题,往往忽视a与1大小的讨论,造成错解.

【例2】:下列各式中正确的是( ) (1)a4=a; (2)(?2)2=?2; (3)a0=1; (4)(2?1)5=(2?1). 分析:本题考查n次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.

解:(1)a4=a,考查n次方根的运算性质,当n为偶数时,应先写an=|a|,故本题错. (2)(?2)2=?2,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为6(?2)2=2,故本题错.

(3)a0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.

(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选

(4).

点评:本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心.

·变式训练2:若a2-2a?1=a-1,求a的取值范围.

解:因为a2-2a?1=a-1,而a2-2a?1=(a?1)2=|a-1|=a-1,

即a-1≥0,所以a≥1.

点评:利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.

【例3】:3?22+3?22=_________

分析:这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式. 解:3?22=?22?(2)2=(1?2)2=2+1.

3?22=(2)2?22?1=(?1)2=2-1. 所以3?22+3?22=22.

点评:不难看出3?22与3?22形式上有些特点,即是对称根式,是A?2B形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.

思考:上面的例2还有别的解法吗?

去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.

另解:利用整体思想,x=3?22+3?22,两边平方得:

x2=3+22+3-22+2(3?22)(3?22)=6+232?(22)2=6+2=8,所以x=22.

点评:对双重二次根式,特别是A?2B形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对A?2B?A?2B的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.

·变式训练3

1.以下说法正确的是( ) 答案:C

A.正数的n次方根是一个正数 B.负数的n次方根是一个负数

C.0的任何次方根都是零 D.a的n次方根用a表示(以上n>1且n∈N*).

2.化简下列各式: (1);(2)(?3)2;(3)x8;(4)x6y3;(5)(x-y)2.

答案:(1)2;(2);(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|.

3.计算7?40?7?40=__________. 解:7?40?7?40 =()2?25?2?(2)2?(5)2?2?2?(2)2 =(?2)2?(?2)2 =+2+-?2

=2.

·拓展提升:

【例4】an=a与(a)n=a(n>1,n∈N)哪一个是恒等式,为什么?请举例说明. 对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为偶数时,n为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.

解答:①(a)n=a(n>1,n∈N).

如果xn=a(n>1,且n∈N)有意义,则无论n是奇数或偶数,x=a一定是它的一个n次方根,所以(a)n=a恒成立.例如:()4=3,(?5)3=-5. ?a,当n为奇数,②an=?

?|a|,当n为偶数.

当n为奇数时,a∈R,an=a恒成立.例如:25=2,5(?2)5=-2.

当n为偶数时,a∈R,an≥0,an表示正的n次方根或0,所以如果a≥0,那么an=a.例如34=3, 0=0;如果a<0,那么an=|a|=-a,如(-3)2=32=3. 即(ana)n=a(n>1,n∈N)是恒等式,an=a(n>1,n∈N)是有条件的. 点评:实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解. ·【课后作业】

1.化简下列各式: (1); (2)?32; (3)x8; (4)a2b4.

2.若5<a<8,则式子(a?5)2?(a?8)2的值为__________.

3.5?26?5?26=__________.

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