小学数学知识点总结-人教版六年级下册

一、学习目标：

1.引导学生在熟悉的生活情境中初步认识负数，能正确地读、写正数和负数；

2.使学生初步学会用负数表示一些日常生活中的实际问题，体验数学与生活的联系；

3.使学生认识圆柱和圆锥，掌握它们的特征；认识圆柱的底面、侧面和高；认识圆锥的底面和高；

4.使学生理解求圆柱的侧面积和表面积的计算方法，并会正确计算；

5.使学生理解求圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用公式计算体积、容积，解决有关的简单实际问题；

6.使学生理解比例的意义和基本性质，能正确判断两个比是否能组成比例；

7.通过引导探究、概括归纳、讨论、合作学习，培养学生抽象概括能力。

二、学习难点：

1.负数的意义；

2.圆柱的表面积的计算方法和圆柱、圆锥体积的计算公式；

3.圆柱、圆锥体积的计算公式的推导；

4.比例的意义和基本性质；

5.应用比的基本性质判段两个数能否成比例，并正确的组成比例。

三、知识点归纳总结：

1.负数：负数是数学术语，指小于0的实数，如-3.
任何正数前加上负号都等于负数。在数轴线上，负数都在0的左侧，所有的负数都比自然数小。负数用负号“-”标记，如-2，-5.33，-45，-0.6等。

2.正数：大于0的数叫正数（不包括0）
若一个数大于零（>0），则称它是一个正数。正数的前面可以加上正号“+”来表示。正数有无数个，其中分正整数，正分数和正无理数。

3.正数的几何意义：数轴上0右边的数叫做正数

4.数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。

5.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。

6.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。如下图所示：

即AG矩形的一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。
其中AG叫做圆柱的轴，AG的长度叫做圆柱的高，所有平行于AG的线段叫做圆柱的母线，DA和D'G旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面，DD'旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。

7.圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。设一个圆柱底面半径为r，高为h，则体积V：V=πr2h；如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh

8.圆柱的侧面积：圆柱的侧面积=底面的周长*高，S侧=Ch（注：c为πd）
圆柱的两个圆面叫做底面（又分上底和下底）；圆柱有一个曲面，叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高（高有无数条）。
特征：圆柱的底面都是圆，并且大小一样。

9.圆锥解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。

10.圆锥立体几何定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。如下图所示：

11.圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。
根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh），得出圆锥体积公式：V=1/3Sh
S是12.圆锥体展开图的绘制：圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成。（如右图）在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a（母线长）和d（底面直径）

13.圆锥的表面积：一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积。
圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。
S=πR2（n/360）+πr2或（1/2）αR2+πr2（此n为角度制，α为弧度制，α=π（n/180）

14.圆柱与圆锥的关系：与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
体积和高相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍。
体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍。
底面积和高不相等的圆柱圆锥不相等。

15.生活中的圆锥：生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。

16.比的意义：
（1）两个数相除又叫做两个数的比
（2）“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
（5）比的后项不能是零。
（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

17.比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

18.求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

19.比例尺：图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

20.按比例分配：
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

21.比例的意义：比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

22.比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。

圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径

23.解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

24.成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k（一定）

25.成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定）

26.统计表：把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。

27.统计组成部分：一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

28.统计种类：
单式统计表：只含有一个项目的统计表。
复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。

29.统计表制作步骤：
（1）搜集数据
（2）整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。
（3）设计草表：要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。
（4）正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。

30.统计图：用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。

31.条形统计图：
（1）用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按一定的顺序排列起来。
（2）优点：很容易看出各种数量的多少。注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
（3）取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定
（4）复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。
（5）制作条形统计图的一般步骤：
a）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
b）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。
c）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
d）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。

32.折线统计图：
（1）用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
（2）优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
（3）制作折线统计图的一般步骤：
a）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
b）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。
c）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
d）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。

33.扇形统计图：
（1）用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
（2）优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
（3）制扇形统计图的一般步骤：
a）先算出各部分数量占总量的百分之几。
b）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。
c）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。
d）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。

扩展资料：

1.负数的由来：人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如，在记账时有余有亏；在计算粮仓存米时，有时要记进粮食，有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。于是人们引入了正负数这个概念，把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。可见正负数是生产实践中产生的。

2.负数的应用：负数可以广泛应用于温度、楼层、海拔、水位、盈利、增产/减产、支出/收入、得分/扣分等等的这些方面中

3.负数加减乘除的计算法则：
+：负数1+负数2=-|负数1+负数2|=负数
负数+正数=符号取绝对值较大的加数的符号，数值取“用较大的绝对值减去较小的绝对值”的所得值
-：负数1-负数2=负数1+|负数2|=负数1加上负数2的相反数，再按负数加正数的方法算
负数-正数=-|正数+负数|=负数异号两数相减，等于其绝对值相加
×：负数1×负数2=|负数1×负数2|=正数
负数×正数=-|正数×负数|=负数
÷：负数1÷负数2=|负数1÷负数2|=正数
负数÷正数=-|负数÷正数|=负数
总得来说，就是同数相除等于正数，异数相除等于负数。

4.正数和正整数的区别：
正数包括：正整数、正分数（包括正小数）。（且正数不包括0）
辨析：零（0）既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量.正整数、负整数、正分数、负分数和零（0）统称有理数。
意义
（1）从原点出发朝正方向的射线（正半轴）上的点对应正数，相反方向的射线（负半轴）上的点对应负数，原点对应零。
（2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。
（3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
注：单位长度则是指取适当的长度作为单位长度，比如可以取2m作为单位长度“1”，那么4m就表示2个单位长度。

5.直圆柱：直圆柱也叫正圆柱、圆柱，可以看成是以矩形的一边所在直线为轴、其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体。

6.圆锥的其它概念：
（1）圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；
（2）圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长*母线/2；没展开时是一个曲面。
（3）圆锥的母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上点到顶点的距离。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且侧面展开图是扇形。

7.圆锥的三视图：
圆锥三视图是观测者从三个不同位置观察而画出的图形。
其主视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心。

 

第二篇：人教版小学六年级数学上册各单元知识点整理归纳总结

小学数学知识点总结

                                 ---------小学六年级教研组

六年级上册数学知识点

第一单元   位置

1、什么是数对？

——数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”。

作用：确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。

例：在方格图（平面直角坐标系）中用数对（3，5）表示（第三列，第五行）。

注：（1）在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标表示行。

如：数对（3,2）表示第三列，第二行。

（2）数对（X，5）的行号不变，表示一条横线，（5，Y）的列号不变，表示一条竖线。（有一个数不确定，不能确定一个点）

 

（  列   ，行  ）

↓       ↓

竖排叫列  横排叫行

（从左往右看）（从下往上看）

           （从前往后看）

2、图形左右平移行数不变；图形上下平移列数不变。

3、两点间的距离与基准点（0，0）的选择无关，基准点不同导致数对不同，两点间但距离不变。

第二单元   分数乘法

（一）分数乘法意义：

1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。

注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。

例如：×7表示: 求7个的和是多少？  或表示：的7倍是多少？

2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。

   注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以）

例如：×表示: 求的是多少？

9  × 表示: 求9的是多少？

A  × 表示: 求a的是多少？

（二）分数乘法计算法则：

1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。

注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）

（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）

2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母）

注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。

（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。

（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）

（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

（三）积与因数的关系：

一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a.

一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c<a (b≠0).

一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a .

注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。

附：形如的分数可折成（）×

（四）分数乘法混合运算

1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。

2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。

乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c

（五）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。

1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。（必须说清谁是谁的倒数）

2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。

   例如：a×b=1则a、b互为倒数。

3、求倒数的方法：

①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。

②求整数的倒数：整数分之1。

③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。

④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。

4、1的倒数是它本身，因为1×1=1

0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。

5、任意数a(a≠0)，它的倒数为；非零整数a的倒数为；分数的倒数是。

6、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。

   假分数的倒数小于或等于1。

   带分数的倒数小于1。

（六）分数乘法应用题——用分数乘法解决问题

1、求一个数的几分之几是多少？（用乘法）

 

“1”×      = ？

   例如：求25的是多少？     列式：25×=15

     甲数的等于乙数，已知甲数是25，求乙数是多少？   列式：25×=15

注：已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。

2、（ 什么）是（什么 ）的。

   （    ）=   ( “1” )   ×

例1: 已知甲数是乙数的，乙数是25，求甲数是多少？

 

         甲数= 乙数  ×      即25×=15

注:（1）“是”“的”字中间的量“乙数”是的单位“1”的量，即是把乙数看作单位“1”，把乙数平均分成5份，甲数是其中的3份。

   （2）“是”“占”“比”这三个字都相当于“=”号，“的”字相当于“×”。

   （3）单位“1”的量×分率=分率对应的量

例2：甲数比乙数多（少），乙数是25，求甲数是多少？

     甲数=乙数　±　乙数×   即25±25×=25×（1±）＝40（或10）

3、巧找单位“1”的量：在含有分数（分率）的语句中，分率前面的量就是单位“1”对应的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。

4、什么是速度？

——速度是单位时间内行驶的路程。速度=路程÷时间  时间=路程÷速度   路程=速度×时间

——单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。

5、求甲比乙多（少）几分之几？

   多：（甲-乙）÷乙   =

   少：（乙-甲）÷乙                  

第三单元分数除法

一、分数除法的意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

二、分数除法计算法则：除以一个数（0除外），等于乘上这个数的倒数。

1、被除数÷除数=被除数×除数的倒数。例÷3=×=   3÷=3×=5

2、除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。

3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。

4、被除数与商的变化规律：

①除以大于1的数，商小于被除数：a÷b=c  当b>1时，c<a  (a≠0)

②除以小于1的数，商大于被除数：a÷b=c  当b<1时，c>a  (a≠0  b≠0)

③除以等于1的数，商等于被除数：a÷b=c  当b=1时，c=a

三、分数除法混合运算

1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。

2、运算顺序：

①连除：属同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；或者先把所有除法转化成乘法再计算；或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。

②混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。

注：（a±b）÷c=a÷c±b÷c

四、比：两个数相除也叫两个数的比

1、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。

注：连比如：3：4：5读作：3比4比5

2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。

例：12∶20=＝12÷20==0.6     12∶20读作：12比20

 

注：区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。

                  比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。

3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

4、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。

（1）、 用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

（2）、 两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。

（3）、 两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。

5、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。

6、比和除法、分数的区别：

附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

五、分数除法和比的应用

1、已知单位“1”的量用乘法。例：甲是乙的，乙是25，求甲是多少？

即：甲=乙×（15×=9）

2、未知单位“1”的量用除法。例: 甲是乙的，甲是15，求乙是多少？

即：甲=乙×（15÷=25）（建议列方程答）

3、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）

（1）甲是乙的几分之几？

甲＝乙×几分之几  （例：甲是15的，求甲是多少？15×＝9）

乙＝甲÷几分之几  （例：9是乙的，求乙是多少？9÷＝15）

几分之几＝甲÷乙   （例：9是15的几分之几？9÷15＝）（“是”字相当“÷”号，乙是单位“1”）

（2）甲比乙多（少）几分之几？

A 差÷乙=（“比”字后面的量是单位“1”的量）

（例：9比15少几分之几？（15-9）÷15＝＝＝）

B 多几分之几是：–1 

 （例： 15比9少几分之几？15÷9＝-1＝–1＝）

C 少几分之几是：1– 

 （例：9比15少几分之几？1-9÷15＝1–＝1–＝）

 D 甲=乙±差=乙±乙×=乙±乙×=乙（1±）

（例：甲比15少，求甲是多少？15–15×＝15×（1–）＝9（多是“+”少是“–”）

E 乙=甲÷(1± )

（例：9比乙少，求乙是多少？9÷（1-）＝9 ÷＝15）（多是“+”少是“–”）

（例：15比乙多，求乙是多少？15÷（1+）＝15 ÷＝9）（多是“+”少是“–”）

4、按比例分配：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。

   例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分别是多少？

        方法一：56÷（3+5）＝7 甲：3×7＝21  乙：5×7＝35

        方法二：甲：56×＝21   乙：56×＝35

例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？

方法一：21÷3＝7 乙：5×7＝35

        方法二：甲乙的和：21÷＝56   乙：56×＝35

        方法三：甲÷乙＝  乙＝甲÷＝21÷＝35

  5、画线段图：

（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。

（2）分析数量关系。

（3）找等量关系。

（4）列方程。

注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。

第四单元  圆

一、.圆的特征

1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，.

2、圆的特征：外形美观，易滚动。

3、圆心o：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示．圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。

半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。

直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。

同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或  r=d÷2=d=

4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。

   同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。

5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。

有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角

有二条对称轴的图形：长方形

有三条对称轴的图形：等边三角形

有四条对称轴的图形：正方形

有无条对称轴的图形：圆，圆环

6、画圆

（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。

（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。

二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。

1、圆的周长总是直径的三倍多一些。

2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。

   即：圆周率π==周长÷直径≈3.14

所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π) ——周长公式： c=πd, c=2πr

注：圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。

3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

  如果r_1∶r_2∶r₃=d_1∶d_2∶d₃=c_1∶c_2∶c₃

4、半圆周长=圆周长一半+直径=×2πr=πr+d

三、圆的面积s

1、圆面积公式的推导

如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。

圆的半径 = 长方形的宽  

圆的周长的一半 = 长方形的长   

长方形面积 = 长 ×宽

所以：圆的面积 = 长方形的面积 = 长 ×宽 = 圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）

         S圆 = πr × r

               S圆 = πr×r = πr² 

2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。

周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。

3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。

  如果:  r_1∶r_2∶r₃=d_1∶d_2∶d₃=c_1∶c_2∶c₃=2_∶3_∶4

则：_S1∶S2∶S3=_4∶9∶16

4、环形面积 = 大圆 – 小圆=πr_大²  - πr_小²=π（r_大²  - r_小²）

   扇形面积 = πr²×（n表示扇形圆心角的度数）

5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。

注：一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米

一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb 厘米

6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4_∶π

7、常用数据

   π=3.14   2π=6.28   3π=9.42    4π=12.56   5π=15.7

 

第五单元、百分数

一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。

注：百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比，所以，百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。 

1、百分数和分数的区别和联系：

（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。

（2）区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。

        百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。

注：百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是100的分数并不是百分数，必须把分母写成“%”才是百分数，所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。“%”的两个0要小写，不要与百分数前面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。

2、小数、分数、百分数之间的互化

（1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。

（2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。

（3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最简分数。

（4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。

（5）小数 化 分数：把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。

（6）分数 化 小数：分子除以分母。

二、百分数应用题

1、 求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几

2、 求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。

求甲比乙多百分之几   （甲-乙）÷乙

求乙比甲少百分之几   （甲-乙）÷甲

3、 求一个数的百分之几是多少 一个数（单位“1”） ×百分率

4、 已知一个数的百分之几是多少，求这个数   部分量÷百分率=一个数（单位“1”）

5、 折扣  折扣、打折的意义：几折就是十分之几也就是百分之几十

6、纳税   缴纳的税款叫做应纳税额。

（应纳税额）÷（总收入）=（税率）

（应纳税额）=（总收入）×（税率）

7、利率

（1）存入银行的钱叫做本金。

（2）取款时银行多支付的钱叫做利息。

（3）利息与本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×时间

税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×5%

注：国债和教育储蓄的利息不纳税

8、百分数应用题型分类

（1）求甲是乙的百分之几——（甲÷乙）×100%  = ×100% = 百分之几

（2）求甲比乙多(少)百分之几——×100% = ×100%

例

①  甲是50，乙是40，甲是乙的百分之几？（50是40的百分之几？）50÷40=125%

②  甲是50，乙是40，乙是甲的百分之几？（40是50的百分之几？）40÷50=80%

③  乙是40，甲是乙的125%，甲数是多少？（40的125%是多少？）40×125%=50

④  甲是50，乙是甲的80%，乙数是多少？（50的80%是多少？）50×80%=40

⑤  乙是40，乙是甲的80%，甲数是多少？（一个数的80%是40，这个数是多少？）40÷80%=50

⑥  甲是50，甲是乙的125%，乙数是多少？（一个数的125%是50，这个数是多少？）50÷125%=40

⑦  甲是50，乙是40，甲比乙多百分之几？（50比40多百分之几？）(50-40)÷40×100%=25%

⑧  甲是50，乙是40，乙比甲少百分之几？（40比50少百分之几？）(50-40)÷50×100%=20%

⑨  甲比乙多25%，多10，乙是多少？10÷25%=40

⑩  甲比乙多25%，多10，甲是多少？10÷25%+10=50

?  乙比甲少20%，少10，甲是多少？10÷20%=50

?  乙比甲少20%，少10，乙是多少？10÷20%-10=40

?  乙是40，甲比乙多25%，甲数是多少？（什么数比40多25%？）40×（1+25%）=50

?  甲是50，乙比甲少20%，乙数是多少？（什么数比50多25%？）50×（1-20%）=40

?  乙是40，比甲少20%，甲数是多少？（40比什么数少20%？）40÷（1-20%）=50

?  甲是50，比乙多25%，乙数是多少？（50比什么数多25%？）40÷（1+25%）=40

第六单元、统计

1、              扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。

2、              常用统计图的优点：

（1）、条形统计图直观显示每个数量的多少。

（2）、折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。

（3）、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。

第七单元、数学广角

一、研究中国古代的鸡兔同笼问题。

1、 用表格方式解决有局限性，数目必须小，例：

头数 鸡（只）兔（只） 腿数

35    1      34

35    2      33

35    3      32

……

（逐一列表法、腿数少，小幅度跳跃；腿数多，大幅度跳跃。跳跃逐一相结合、取中列表）

2、 用假设法解决

（1） 假如都是兔

（2） 假如都是鸡

（3） 假如它们各抬起一条腿

（4） 假如兔子抬起两条前腿

3、 用代数方法解（一般规律）

注释：这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

二、和尚分馒头

100个和尚吃100个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚三人吃一个。大小和尚各多少人？

国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：

  一百馒头一百僧，

  大僧三个更无争，

  小僧三人分一个，

  大小和尚各几丁？"

如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？

方法一，用方程解：

解：设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据题意列得方程：

  3x + (100－x)=100

                x＝25

100－25＝75人

方法二，鸡兔同笼法：

(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个？

   3×100=300(个)．

(2)这样多吃了几个呢？

  300－100=200(个)．

(3)为什么多吃了200个呢？这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头？

  3－=（个）

(4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：

  小和尚：200÷＝75（人）

  大和尚：100－75＝25（人）

方法三，分组法：

由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷（3+1）=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25×3＝75个小和尚。

  这是《直指算法统宗》里的解法，原话是："置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。"所谓"实"便是"被除数"，"法"便是"除数"。列式就是：

        100÷（3+1）=25（组）

大和尚：25×1=25（人）

小和尚：100-25=75（人）或25×3=75（人）

我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。

三、整数、分数、百分数应用题结构类型

（一）求甲是乙的几倍（或几分之几或百分之几）的应用题。

解法：甲数除以乙数

例：校园里有杨树40棵，柳树有50棵，杨树的棵树占柳树的百分之几？（或几分之几？）

（二）求甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少的应用题。

解答分数应用题，首先要确定单位“1”，在单位“1”确定以后，一个具体数量总与一个具体分数（分率）相对应，这种关系叫“量率对应”，这是解答分数应用题的关键。

求一个数的几倍（几分之几或百分之几）是多少用乘法，单位“1”×分率=对应数量

例：六年级有学生180人，五年级的学生人数是六年级人数的。五年级有学生多少人？

180×=150

（三）已知甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少，求甲数（即求标准量或单位“1”）的应用题。

解法：对应数量÷对应分率=单位“1”

例：育红小学六年级男生有120人，占参加兴趣活动小组人数的. 六年级参加兴趣活动小组人数共有学生多少人？

120÷=200（人）