三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2.三角函数的单调区间:

的递增区间是,递减区间是

的递增区间是,递减区间是

的递增区间是

3.函数

最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

4.由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。

途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx)的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx)的图象。

5.由yAsin(ωx)的图象求其函数式:

给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。

6.对称轴与对称中心:

的对称轴为,对称中心为

的对称轴为,对称中心为

对于来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。

7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;

8.求三角函数的周期的常用方法:

经过恒等变形化成“”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。

9.五点法作y=Asin(ωx+)的简图:

五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。

四.典例解析

题型1:三角函数的图象

例1.(2000全国,5)函数y=-xcosx的部分图象是(    )

解析:因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除AC,当x∈(0,)时,y=-xcosx<0。答案为D。

题型2:三角函数图象的变换

例2.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。

解析:y=sin(2x+

另法答案:

(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;

(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;

(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。

例3.(2003上海春,15)把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是(    )

A.(1-y)sinx+2y-3=0              B.(y-1)sinx+2y-3=0

C.(y+1)sinx+2y+1=0               D.-(y+1)sinx+2y+1=0

解析:将原方程整理为:y=,因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位,因此可得y=-1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

点评:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解,可直接化为:(y+1)cos(x)+2(y+1)-1=0,即得C选项。

题型3:三角函数图象的应用

例4.(2003上海春,18)已知函数fx)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,xR)在一个周期内的图象如图所示,求直线y=与函数fx)图象的所有交点的坐标。

解析:根据图象得A=2,T=π-(-)=4π,∴ω=,∴y=2sin(+),

又由图象可得相位移为-,∴-=-,∴=.即y=2sin(x+)。

根据条件=2sin(),∴=2kπ+(kZ)或=2kπ+πkZ),∴x=4kπ+kZ)或x=4kπ+πkZ)。

∴所有交点坐标为(4kπ+)或(4kπ+)(kZ)。点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

题型4:三角函数的定义域、值域

例5.(1)已知fx)的定义域为[0,1],求fcosx)的定义域;

(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域;

分析:求函数的定义域:(1)要使0≤cosx≤1,(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx以它的值充当角。

解析:(1)0≤cosx<12kπ-x≤2kπ+,且x≠2kπ(kZ)。

∴所求函数的定义域为{xx∈[2kπ-,2kπ+]且x≠2kπ,kZ}。

(2)由sin(cosx)>02kπ<cosx<2kπ+π(kZ)。又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。故所求定义域为{xx∈(2kπ-,2kπ+),kZ}。

点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线。

题型5:三角函数的单调性

例6.求下列函数的单调区间:

(1)y=sin();(2)y=-|sin(x+)|。

分析:(1)要将原函数化为y=-sin(x)再求之。(2)可画出y=-|sin(x+)|的图象。解:(1)y=sin()=-sin()。

故由2kπ-≤2kπ+3kπ-x≤3kπ+kZ),为单调减区间;由2kπ+≤2kπ+3kπ+x≤3kπ+kZ),为单调增区间。∴递减区间为[3kπ-,3kπ+],

递增区间为[3kπ+,3kπ+](kZ)。

(2)y=-|sin(x+)|的图象的增区间为[kπ+kπ+],减区间为[kπ-kπ+]。

题型6:三角函数的奇偶性

例7.(2001上海春)关于x的函数fx)=sin(x+)有以下命题:

①对任意的fx)都是非奇非偶函数;

②不存在,使fx)既是奇函数,又是偶函数;

③存在,使fx)是奇函数;

④对任意的fx)都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立。

答案:①,kZ);或者①,+kπkZ);或者④,+kπkZ

解析:当=2kπkZ时,fx)=sinx是奇函数。当=2(k+1)πkZfx)=-sinx仍是奇函数。当=2kπ+kZ时,fx)=cosx,或当=2kπkZ时,fx)=-cosxfx)都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使fx)恒等于零。所以fx)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。

点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意kZ不能不写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。

题型7:三角函数的周期性

例8.设的周期,最大值

(1)求的值;

(2)

解析:(1)

的最大值。  ①  ,且 ②,由 ①、②解出  a=2 ,   b=3.

(2)

 ,  ,  或  ,  即   ( 共线,故舍去) ,   或     

点评:方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性。

题型8:三角函数的最值

例9.(2000京、皖春理,10)函数y的最大值是(    )

A-1        B+1       C.1-        D.-1-

解析:B

 

第二篇:三角函数图像和性质教案总结练习题

三角函数图像与性质

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2.三角函数的单调区间:

的递增区间是,递减区间是

的递增区间是,递减区间是

的递增区间是

3.函数

最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

4.由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。

途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx)的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx)的图象。

5.由yAsin(ωx)的图象求其函数式:

给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。

6.对称轴与对称中心:

的对称轴为,对称中心为

的对称轴为,对称中心为

对于来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。

7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;

8.求三角函数的周期的常用方法:

经过恒等变形化成“”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。

9.五点法作y=Asin(ωx+)的简图:

五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。

四.典例解析

题型1:三角函数的图象

例1.(2000全国,5)函数y=-xcosx的部分图象是(    )

解析:因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除AC,当x∈(0,)时,y=-xcosx<0。答案为D。

题型2:三角函数图象的变换

例2.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。

解析:y=sin(2x+

另法答案:

(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;

(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;

(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。

例3.(2003上海春,15)把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是(    )

A.(1-y)sinx+2y-3=0             B.(y-1)sinx+2y-3=0

C.(y+1)sinx+2y+1=0               D.-(y+1)sinx+2y+1=0

解析:将原方程整理为:y=,因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位,因此可得y=-1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

点评:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解,可直接化为:(y+1)cos(x)+2(y+1)-1=0,即得C选项。

题型3:三角函数图象的应用

例4.(2003上海春,18)已知函数fx)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,xR)在一个周期内的图象如图所示,求直线y=与函数fx)图象的所有交点的坐标。

解析:根据图象得A=2,T=π-(-)=4π,∴ω=,∴y=2sin(+),

又由图象可得相位移为-,∴-=-,∴=.即y=2sin(x+)。

根据条件=2sin(),∴=2kπ+(kZ)或=2kπ+πkZ),∴x=4kπ+kZ)或x=4kπ+πkZ)。

∴所有交点坐标为(4kπ+)或(4kπ+)(kZ)。点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

题型4:三角函数的定义域、值域

例5.(1)已知fx)的定义域为[0,1],求fcosx)的定义域;

(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域;

分析:求函数的定义域:(1)要使0≤cosx≤1,(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx以它的值充当角。

解析:(1)0≤cosx<12kπ-x≤2kπ+,且x≠2kπ(kZ)。

∴所求函数的定义域为{xx∈[2kπ-,2kπ+]且x≠2kπ,kZ}。

(2)由sin(cosx)>02kπ<cosx<2kπ+π(kZ)。又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。故所求定义域为{xx∈(2kπ-,2kπ+),kZ}。

点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线。

题型5:三角函数的单调性

例6.求下列函数的单调区间:

(1)y=sin();(2)y=-|sin(x+)|。

分析:(1)要将原函数化为y=-sin(x)再求之。(2)可画出y=-|sin(x+)|的图象。解:(1)y=sin()=-sin()。

故由2kπ-≤2kπ+3kπ-x≤3kπ+kZ),为单调减区间;由2kπ+≤2kπ+3kπ+x≤3kπ+kZ),为单调增区间。∴递减区间为[3kπ-,3kπ+],

递增区间为[3kπ+,3kπ+](kZ)。

(2)y=-|sin(x+)|的图象的增区间为[kπ+kπ+],减区间为[kπ-kπ+]。

题型6:三角函数的奇偶性

例7.(2001上海春)关于x的函数fx)=sin(x+)有以下命题:

①对任意的fx)都是非奇非偶函数;

②不存在,使fx)既是奇函数,又是偶函数;

③存在,使fx)是奇函数;

④对任意的fx)都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立。

答案:①,kZ);或者①,+kπkZ);或者④,+kπkZ

解析:当=2kπkZ时,fx)=sinx是奇函数。当=2(k+1)πkZfx)=-sinx仍是奇函数。当=2kπ+kZ时,fx)=cosx,或当=2kπkZ时,fx)=-cosxfx)都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使fx)恒等于零。所以fx)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。

点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意kZ不能不写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。

题型7:三角函数的周期性

例8.设的周期,最大值

(1)求的值;

(2)

解析:(1)

的最大值。  ①  ,且 ②,由 ①、②解出  a=2 ,   b=3.

(2)

 ,  ,  或  ,  即   ( 共线,故舍去) ,   或     

点评:方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性。

题型8:三角函数的最值

例9.(2000京、皖春理,10)函数y的最大值是(    )

A-1        B+1        C.1-        D.-1-

解析:B

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