三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2.三角函数的单调区间:
的递增区间是,递减区间是;
的递增区间是,递减区间是,
的递增区间是,
3.函数
最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4.由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象。
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象。
5.由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式:
给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
6.对称轴与对称中心:
的对称轴为,对称中心为;
的对称轴为,对称中心为;
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。
7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;
8.求三角函数的周期的常用方法:
经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。
9.五点法作y=Asin(ωx+)的简图:
五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。
四.典例解析
题型1:三角函数的图象
例1.(2000全国,5)函数y=-xcosx的部分图象是( )
解析:因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A、C,当x∈(0,)时,y=-xcosx<0。答案为D。
题型2:三角函数图象的变换
例2.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。
解析:y=sin(2x+)
另法答案:
(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;
(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;
(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。
例3.(2003上海春,15)把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是( )
A.(1-y)sinx+2y-3=0 B.(y-1)sinx+2y-3=0
C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0
解析:将原方程整理为:y=,因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位,因此可得y=-1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.
点评:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解,可直接化为:(y+1)cos(x-)+2(y+1)-1=0,即得C选项。
题型3:三角函数图象的应用
例4.(2003上海春,18)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,x∈R)在一个周期内的图象如图所示,求直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标。
解析:根据图象得A=2,T=π-(-)=4π,∴ω=,∴y=2sin(+),
又由图象可得相位移为-,∴-=-,∴=.即y=2sin(x+)。
根据条件=2sin(),∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π(k∈Z),∴x=4kπ+(k∈Z)或x=4kπ+π(k∈Z)。
∴所有交点坐标为(4kπ+)或(4kπ+)(k∈Z)。点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
题型4:三角函数的定义域、值域
例5.(1)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cosx)的定义域;
(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域;
分析:求函数的定义域:(1)要使0≤cosx≤1,(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx以它的值充当角。
解析:(1)0≤cosx<12kπ-≤x≤2kπ+,且x≠2kπ(k∈Z)。
∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ-,2kπ+]且x≠2kπ,k∈Z}。
(2)由sin(cosx)>02kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z)。又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。故所求定义域为{x|x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z}。
点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线。
题型5:三角函数的单调性
例6.求下列函数的单调区间:
(1)y=sin(-);(2)y=-|sin(x+)|。
分析:(1)要将原函数化为y=-sin(x-)再求之。(2)可画出y=-|sin(x+)|的图象。解:(1)y=sin(-)=-sin(-)。
故由2kπ-≤-≤2kπ+。3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;由2kπ+≤-≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间。∴递减区间为[3kπ-,3kπ+],
递增区间为[3kπ+,3kπ+](k∈Z)。
(2)y=-|sin(x+)|的图象的增区间为[kπ+,kπ+],减区间为[kπ-,kπ+]。
题型6:三角函数的奇偶性
例7.(2001上海春)关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:
①对任意的,f(x)都是非奇非偶函数;
②不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;
③存在,使f(x)是奇函数;
④对任意的,f(x)都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立。
答案:①,kπ(k∈Z);或者①,+kπ(k∈Z);或者④,+kπ(k∈Z)
解析:当=2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx是奇函数。当=2(k+1)π,k∈Z时f(x)=-sinx仍是奇函数。当=2kπ+,k∈Z时,f(x)=cosx,或当=2kπ-,k∈Z时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。
点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意k∈Z不能不写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。
题型7:三角函数的周期性
例8.设的周期,最大值,
(1)求、、的值;
(2)。
解析:(1) , , ,
又 的最大值。, ① ,且 ②,由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) , ,
, , 或 , 即 ( 共线,故舍去) , 或 , 。
点评:方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性。
题型8:三角函数的最值
例9.(2000京、皖春理,10)函数y=的最大值是( )
A.-1 B.+1 C.1- D.-1-
解析:B;
三角函数图像与性质
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2.三角函数的单调区间:
的递增区间是,递减区间是;
的递增区间是,递减区间是,
的递增区间是,
3.函数
最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4.由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象。
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象。
5.由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式:
给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
6.对称轴与对称中心:
的对称轴为,对称中心为;
的对称轴为,对称中心为;
对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。
7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;
8.求三角函数的周期的常用方法:
经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。
9.五点法作y=Asin(ωx+)的简图:
五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。
四.典例解析
题型1:三角函数的图象
例1.(2000全国,5)函数y=-xcosx的部分图象是( )
解析:因为函数y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A、C,当x∈(0,)时,y=-xcosx<0。答案为D。
题型2:三角函数图象的变换
例2.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。
解析:y=sin(2x+)
另法答案:
(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;
(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;
(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y=sinx的图象。
例3.(2003上海春,15)把曲线ycosx+2y-1=0先沿x轴向右平移个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是( )
A.(1-y)sinx+2y-3=0 B.(y-1)sinx+2y-3=0
C.(y+1)sinx+2y+1=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0
解析:将原方程整理为:y=,因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位,因此可得y=-1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.
点评:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解,可直接化为:(y+1)cos(x-)+2(y+1)-1=0,即得C选项。
题型3:三角函数图象的应用
例4.(2003上海春,18)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,x∈R)在一个周期内的图象如图所示,求直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标。
解析:根据图象得A=2,T=π-(-)=4π,∴ω=,∴y=2sin(+),
又由图象可得相位移为-,∴-=-,∴=.即y=2sin(x+)。
根据条件=2sin(),∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π(k∈Z),∴x=4kπ+(k∈Z)或x=4kπ+π(k∈Z)。
∴所有交点坐标为(4kπ+)或(4kπ+)(k∈Z)。点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
题型4:三角函数的定义域、值域
例5.(1)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cosx)的定义域;
(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域;
分析:求函数的定义域:(1)要使0≤cosx≤1,(2)要使sin(cosx)>0,这里的cosx以它的值充当角。
解析:(1)0≤cosx<12kπ-≤x≤2kπ+,且x≠2kπ(k∈Z)。
∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ-,2kπ+]且x≠2kπ,k∈Z}。
(2)由sin(cosx)>02kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z)。又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。故所求定义域为{x|x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z}。
点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线。
题型5:三角函数的单调性
例6.求下列函数的单调区间:
(1)y=sin(-);(2)y=-|sin(x+)|。
分析:(1)要将原函数化为y=-sin(x-)再求之。(2)可画出y=-|sin(x+)|的图象。解:(1)y=sin(-)=-sin(-)。
故由2kπ-≤-≤2kπ+。3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;由2kπ+≤-≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间。∴递减区间为[3kπ-,3kπ+],
递增区间为[3kπ+,3kπ+](k∈Z)。
(2)y=-|sin(x+)|的图象的增区间为[kπ+,kπ+],减区间为[kπ-,kπ+]。
题型6:三角函数的奇偶性
例7.(2001上海春)关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:
①对任意的,f(x)都是非奇非偶函数;
②不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;
③存在,使f(x)是奇函数;
④对任意的,f(x)都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时,该命题的结论不成立。
答案:①,kπ(k∈Z);或者①,+kπ(k∈Z);或者④,+kπ(k∈Z)
解析:当=2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx是奇函数。当=2(k+1)π,k∈Z时f(x)=-sinx仍是奇函数。当=2kπ+,k∈Z时,f(x)=cosx,或当=2kπ-,k∈Z时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。
点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意k∈Z不能不写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。
题型7:三角函数的周期性
例8.设的周期,最大值,
(1)求、、的值;
(2)。
解析:(1) , , ,
又 的最大值。, ① ,且 ②,由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) , ,
, , 或 , 即 ( 共线,故舍去) , 或 , 。
点评:方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性。
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