1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一

点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)

　　92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

　　93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

　　94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

　　95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

　　96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

　　97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

　　98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

　　99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

　　101圆是定点的距离等于定长的点的集合

　　102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

　　103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

　　104同圆或等圆的半径相等

　　105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

　　106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

　　107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

　　108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

　　109定理 不在同一直线上的三个点确定一条直线

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

　　111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

　　②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

　　112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

　　114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

　　115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

　　116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

　　117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

　　118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

　　119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

　　120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

　　121①直线L和⊙O相交 d﹤r

　　②直线L和⊙O相切 d=r

　③直线L和⊙O相离 d﹥r

　　122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

　　123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

　　124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

　　125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

　　126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

　　127圆的外切四边形的两组对边的和相等

　　128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

　　129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

　　130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

　　131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

　132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

　　133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

　　134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r

　　③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

　　④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

　　136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

　　137定理 把圆分成n(n≥3):

　　⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

　　⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

　　138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

　　139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

　　140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

　　141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a/4 a表示边长

　　143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

　　144弧长计算公式：L=n∏R/180

　　145扇形面积公式：S扇形=n∏R/360=LR/2

　　146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

             图形认识初步

1    （1）几何图形：我们把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形。

①   立体图形：有些几何图形（如长方形，正方体，圆柱，圆锥，球等）的各部分都不在同一平面内，它们是立体图形。

②   平面图形：有些几何图形（如线段，角，三角形，长方形，圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形

（2）从不同方向看物体

①  从正面看，可以分清物体的长度和高度

③   从左面看，可以分清物体的高度和宽度

④   从上面看，可以分清物体的长度和宽度

2    体、面、线，点

  体：几何体也简称体

  面：包围着体的是面

  线：面和面相交的地方是线

  点：线和线相交的地方是点

  点动成线，线动成面，面动成体

注：（1）一般柱体都可以由底面的平面图形沿棱平移得到

  （2）一般来说，有曲面的几何体，都可以由某一平面图形绕某一直线旋转得到

3 直线，射线，线段

 （1）直线的基本性质（直线公理）

   经过两点有一条直线，并且只要一条直线，简称为2点确定一条直线

（2）表示方法

  用一个小写字母表示，如直线l,线段a

 用大写字母表示如，线段AB，射线OA

（3）点与直线的位置关系

点在直线上________*________

                  A        

点直线外__________________    

l  P

(4)两直线相交

  两条直线相交有一个公共点，即交点

注意公理和定理的区分

（1）    命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题

（2）    组成：① 命题是由题设和结论组成的，题设是已知，结论是由已知推出的事项

             ②命题可以写成“如果………那么”的形式

         ③经过推论证实的真命题叫定理

 

3    线段的性质

（1）    线段的画法

 尺规法：用圆规在射线AC上截取AB=a

度量法：先量出线段a的长度，在画出一条等于这个长度的线段

（2）    线段的比较

 叠合法：即把其中的一条线段移到另一条线段上作比较

度量法：即用刻度尺分别测量出它们的长度作比较

（3）    线段的中点

一个点把其中一条线段分成两条相等的线段，这个点就叫做这条线段的中点，类似的还有线段的3等分点等

（4）    线段公理

两点连线的所有线段中，线段最短

（5）    线段距离：连接两点间线段的长度，叫做两点间的距离

4角

  定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线是角的两条边

  注：角的大小和边长没有关系

角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，当终止位置和起始位置成一条直线时所成的角叫做平角，等终止位置和起始位置重合是所形成的的角叫做周角

（2）角的表示法

①用3个大写字母表示，表示顶点的字母必须写中间

②   当顶角处只有一个角时，可以用表示顶角的一个大写字母表示

③   用数字或希腊字母表示

（3）角的分类

  ①锐角：大于0°，小于90°的角

  ②直角：等于90°的角

④   钝角：大于90°，小于180°的角

⑤   平角：等于180°的角

⑥   周角：等于360°的角

（4）角的度量和换算

  ①我们常用量角器量角，度，分秒是常用的角度单位，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作：1°；同样的还有，把一度的角60等分，记作：1’:把1分的角60等分，记作1’’

(2)换算方法

  ①由度化为分秒的形式：1°=60’,1’=60’’

 ②由分秒化为度的形式：1’’=

  ③画角的工具：三角板，量角器

（5）角的比较和运算

①比较：可以用量角器量出度数再比较

②和差：两种意义，几何意义和代数意义

（6）角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线

6 余角和补角

① 余角

如果两个角的和等于90度，就说明这两个角互为余角

简称互余，其中一个角是另一的角的余角

②补角

如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角

③性质

等角（或同角）的余角补角相等

7 方位角

方位角通常以正南或正北方向为基准，描述物体运动的方向，通常先写正北或正南，在写偏东或偏西

      相交线与平行线

1    两条相交线所形成的角

  邻补角：有一条公共边，它们的一条边互为反向延长线，邻补角互补

  对顶角：有一个公共点，它们的两边都互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角，对顶角相等

（1）    邻补角和对顶角都是成对出现的

（2）    对顶角相等：但相等不一定是对顶角

（3）    两条直线相交，形成两组对顶角，分别相等，这一条件作为隐含条件，因此可以直接使用

（4）    在两条直线相交所得的四个角中，其中有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角，有公共顶点且有一条公共边的两个角都是邻补角

2    垂线的相关定义

①   垂直：当两条直线相交所形成的4个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线相互垂直。

②   垂线：当两条直线相互垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂直

③   点到直线的距离：直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线最短，简称“垂线段最短”

注：1  垂线是直线，垂线段是线段

2斜线段有无数条，而垂线段只有一条

3在比较两条线段的长短时，要弄清那一条是垂线

3平行线

①   定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。直线a与b平行，记a//b

②   画法：一落-----把三角尺一边落在已知直线上

         二靠-------用直尺紧靠三角形的另一边

      三移-------把三角形沿直尺的边推到三角尺的第一边恰好经过已知点的位置

四画------沿三角尺过已知点的边画直线

（3）平行线的公理及其推论

 ①平行公理：经过直线外的一点，有且只有一条直线与这条直线平行，推论：如果两直线都与第三条直线平行，那么着两条直线互相平行

4）  平行线的判定

①   同位角相等，两直线平行

②   内错角相等，两直线平行

③   同旁内角互补，两直线平行

（5）    平行线的性质

①   两直线平行，同位角相等

②   两直线平行，内错角相等

③   两直线平行，同旁内角互补

注：平行线的性质和平行线判定的区别

  判定是由角相等或互补推出的直线平行，性质是由直线平行推出的角的相等或互补