数学必修一知识系统汇总
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c??}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x|
x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
2(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
??反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B或B?A
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
2实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A;
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
nn-1? 有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集
1 B(或BA)
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? ;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法 (2)配方法(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
(2) 画法A、描点法 B、图象变换法
常用变换方法有三种: 平移变换 伸缩变换 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
2
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)?B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1 任取x,x∈D,且x<x; ○
2 作差f(x)-f(x); ○
3 变形(通常是因式分解和配方); ○
4 定号(即判断差f(x)-f(x)的正负); ○
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). ○12121212
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○
3
2确定f(-x)与f(x)的关系; ○
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 ○
f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○
2 利用图象求函数的最大(小)值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
*n1.根式的概念:一般地,如果x?a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N.
? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作?0。
当n是奇数时,a?a,当n是偶数时,an?|a|??
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定: n?a(a?0) ??a(a?0)
a?am(a?0,m,n?N*,n?1),amn?m
n?1
am
n?1am(a?0,m,n?N*,n?1)
? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
rrr?saa?a(1)· (a?0,r,s?R);
(a?0,r,s?R); rsrs(a)?a(2)
rrs(ab)?aa (3)
(a?0,r,s?R).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数,其中x是自
变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
4 x
2
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f
(b)]或[f(b),f(
a)]; (2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;
(3)对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1),总有f(1)?a; 二、对数函数 (一)对数
x
1.对数的概念:一般地,如果a?N(a?0,a?1),那么数x叫做以记作:x?logaN.a为底..N的对数,(a— 底数,N— 真数,logaN— 对数式) 说明:○1 注意底数的限制a?0,且a?1; 2 ax?N?logaN?x; ○
3 注意对数的书写格式. ○
两个重要对数:
1 常用对数:以10为底的对数lgN; ○
2 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN. ○
? 指数式与对数式的互化
幂值 真数
(二)对数的运算性质
如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么:
1 loga(M·N)?logaM+logaN; ○
M
?logaM-logaN; N
3 logaMn?nlogaM (n?R). ○
2 loga○
5
注意:换底公式
logab?
logcb
(a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0).
logca
1n
(2)logab?. logab;
mlogba
利用换底公式推导下面的结论 (1)logambn?
(三)对数函数
1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:y?2log2x,○
y?log5
x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
2 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1). ○
2
(四)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如y?x(a?R)的函数称为幂函数,其中?为常数. 2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸;
(3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数y?f(x)(x?D),把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义:函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根,亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即:方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点函数?y?f(x)有零点. 3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程f(x)?0的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y?○
6
?
f(x)的图象联系起
来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数y?ax2?bx?c(a?0).
(1)△>0,方程ax2?bx?c?0有两不等实根,二次函数的图象与轴x有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程ax2?bx?c?0有两相等实根,二次函数的图象与轴x有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax2?bx?c?0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.
高一数学必修4知识点总结
第一章 三角函数
?正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角?
2、角?的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称?为第几象限角. ??
第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k??? 第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k???
终边在x轴上的角的集合为????k?180,k???
终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为???k?90,k???
第一象限角的集合为?k?360???k?360?90,k?? ???????????????????
7
3、与角?终边相同的角的集合为???k?360??,k?? ???
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.
5、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l,则角?的弧度数的绝对值是??
??l. r?180?6、弧度制与角度制的换算公式:2??360,1?,1???57.3?. ?180???
7、若扇形的圆心角为?????为弧度制?,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,则l?r,C?2r?l,
11S?lr??r2. 22
8、设?是一个任意大小的角,?的终边上任意一点?的坐标
是?x,y?,它与原点的距离是rr??0,则sin????yxy,cos??,tan???x?0?. rrx9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线:sin????,cos????,tan????.
22,cos11、角三角函数的基本关系:?1?sin2??cos2??1sin??1?cos??2??1?sin2??;
?2?sin??tan?cos?sin???sin??tan?cos?,cos????. tan???
12、函数的诱导公式:
?1?sin?2k?????sin?,cos?2k?????cos?,tan?2k?????tan??k???.
?2?sin???????sin?,cos???????cos?,tan??????tan?.
?3?sin??????sin?,cos?????cos?,tan??????tan?.
?4?sin??????sin?,cos???????cos?,tan???????tan?.
口诀:函数名称不变,符号看象限. ????????????,.,5sin???cos?cos???sin?6sin???cos?cos????????????????sin?. ?2??2??2??2?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
8
13、①的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数y?sin?x???的图象;再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1
?倍(纵坐标不变),得到函数y?sin??x???的图象;再
将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的?倍(横坐标不变),得到函数y??sin??x???的图象.
②数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1
?倍(纵坐标不变),得到函数
y?sin?x的图象;再将函数y?sin?x的图象上所有点向左(右)平移?个单位长度,得到函数?
y?sin??x???的图象;再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的?倍(横坐标不变),得到函数y??sin??x???的图象.
14、函数y??sin??x??????0,??0?的性质:
①振幅:?;②周期:??2?
?;③频率:f?1??;④相位:?x??;⑤初相:?. ?2?
函数y??sin??x?????,当x?x1时,取得最小值为ymin ;当x?x2时,取得最大值为ymax,则??11??x2?x1?x1?x2??ymax?ymin????ymax?ymin?222,,.
y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?2?15 周期问题
2?y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??? ?y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??
?y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??
y?ASin??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b ?0 , T?2?
2?y?ACos??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b?0 , T??
?
?T?? y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 , ?y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
?
?
?y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
9
10
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平
行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
C
?a ??????⑶三角形不等式:a?b?a?b?a?b.
????⑷运算性质:①交换律:a?b?b?a;
???????????②结合律:a?b?c?a?b?c;③a?0?0?a?a. b ? ?
????
????⑸坐标运算:设a??x1,y1?,b??x2,y2?,则a?b??x1?x2,y1?y2?.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设a??x1,y1?,b??x2,y2?,则a?b??x1?x2,y1?y2?. ??????????????a?b??C?????C ????
????设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?,则????x1?x2,y1?y2?.
19、向量数乘运算: ??⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作?a. ①?a??a; ??
??????②当??0时,?a的方向与a的方向相同;当??0时,?a的方向与a的方向相反;当??0时,?a?0.
?????????⑵运算律:①???a??????a;②?????a??a??a;③?a?b??a??b. ??
⑶坐标运算:设a??x,y?,则?a???x,y????x,?y?. ??
??????20、向量共线定理:向量aa?0与b共线,当且仅当有唯一一个实数?,使b??a. ??
????????设a??x1,y1?,b??x2,y2?,其中b?0,则当且仅当x1y2?x2y1?0时,向量a、bb?0共线. ??
??????21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 11
???????????有且只有一对实数?1、?2,使a??1e1??2e2.(不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底)
????????22、分点坐标公式:设点?是线段?1?2上的一点,?1、?2的坐标分别是?x1,y1?,?x2,y2?,当?1?????2时,
点?的坐标是??x1??x2y1??y2?时,就为中点公式。)(当??1 ,?.1????1??
23、平面向量的数量积: ??????????⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180.零向量与任一向量的数量积为0. ??
??????????????⑵性质:设a和b都是非零向量,则①a?b?a?b?0.②当a与b同向时,a?b?ab;当a与b反向???2?
2?????????时,a?b??ab;a?a?a?a或a?.③a?b?ab.
?????????????????⑶运算律:①a?b?b?a;②??a??b??a?b?a??b;③a?b?c?a?c?b?c. ??????
????⑷坐标运算:设两个非零向量a??x1,y1?,b??x2,y2?,则a?b?x1x2?y1y2.
???2????22若a??x,y?,则a?x?y,
或a? 设a??x1,y1?,则a?b?x1x2?y1y2?0. b??x2,y2?,
?????a?b????是a与b的夹角,
设a、b都是非零向量,a??x1,y1?,b??x2,y2?,则cos??? ab
12
测试题
一、选择题
1.若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有( )
A.a?3,b??5 B.a?b?1?0 C.2a?b?3 D.a?2b?0
2.设0???2?,已知两个向量1??cos?,sin??,
OP2??2?sin?,2?cos??,则向量P1P2长度的最大值是( )
A.2 B. C.32 D.2
3.下列命题正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量( )
C.|?b?|?|,则a??b??0
D.若a??
0与b0是单位向量,则a0?b0?1
4.已知a?,b?均为单位向量,它们的夹角为600,那么a??3b??( )
A.7 B. C. D.4
5.已知向量?a,b?满足?a?1,?b?4,且?a??b?2,则?a与b?的夹角为
A.?
6 B.???
4 C.3 D.2
6.若平面向量b与向量a?(2,1)平行,且|b|?2,则b?( )
A.(4,2) B.(?4,?2) C.(6,?3) D.(4,2)或(?4,?2)
二、填空题
1.若|?a|?1,|?b|?2,?c??a?b?????
,且c?a,则向量a与b的夹角为 .
???????
2.已知向量a?(1,2),b?(?2,3),c?(4,1),若用a和b表示c,则c=____。
?0??ma???
3.若a?1?,b?2,与的夹角为60,若(3a?5b)?(b),则m的值为
???
4.若菱形ABCD的边长为2,则AB?????CB?????CD??__________。
????
5.若a=(2,3),b=(?4,7),则a在b上的投影为________________。
6.已知向量a?
?(cos?,sin?),向量b???1),则2a??b?的最大值是 .
7.若A(1,2),B(2,3),C(?2,5),试判断则△ABC的形状_________.
13 .
??8.若a?(2,?2),则与a垂直的单位向量的坐标为__________。
??????9.若向量|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,则|a?b|?。
????10.平面向量,中,已知a?(4,?3),b?1,且a?b?5,则向量b?______。
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴cos??????cos?cos??sin?sin?;⑵cos??????cos?cos??sin?sin?;
⑶sin??????sin?cos??cos?sin?;⑷sin??????sin?cos??cos?sin?;
⑸tan??????tan??tan? ? (tan??ta?n?1?tan?tan?
tan??tan? ? (tan??ta?n?1?tan?tan?tn???a???tn???a???)?1t?an??t;a n⑹tan??????) ?1?tan??t.an
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin2??2sin?cos?.?1?sin2??sin2??cos2??2sin?cos??(sin??cos?)2
⑵cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?
?,1?cos??2sin2?升幂公式1?cos??2cos2?
22
cos2??11?cos2?2,sin??. ?降幂公式cos2??22
⑶tan2?? 2tan?. 1?tan2?万能公式:αα2tan1?tan2
;cosα? sinα? αα1?tan21?tan2
22:26、半角公式 α1?cosαα?cosαcos??;sin?? 2222
1?cosα αtan?? 2 1 ? cos α ?(后两个不用判断符号,更加好用) ?x??)?B27、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 y?Asin(
形式。?sin???cos???????,其中tan???. ?
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: 14
①2?是?的二倍;4?是2?的二倍;?是???的二倍;是的二倍; 224
??30o
?cos?; ②15?45?30?60?45?;问:sin12122ooooo
③??(???)??;④?
4????
2?(?
4??);⑤2??(???)?(???)?(?
4??)?(?
4??);等等
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化
切为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换
变形有:
1?sin??cos??tan?cot??sin90?tan45
幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式?cos常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ;
(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:22oo1?tan?1?tan??_______________?______________; ; 1?tan?1?tan?
tan??tan??____________;1?tan?tan??___________;
tan??tan??____________;1?tan?tan??___________;
22tan??1?tan??;
tan20o?tan40o?tan20otan40o?
sin??cos??;
asin??bcos????(其中tan)
1?cos??1?cos??;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与
特殊角的三角函数互化。 如:sin50o(1?tan10o)?
tan??cot??
易错点提示:
1. 在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界
性了吗?
15
2. 在三角中,你知道1等于什么吗?(
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广
泛的应用.
3. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次)
4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?(
5.常见三角不等式:(1)若x?(0,
(2) 若x?
(0,
16 ) ?2),则sinx?x?tanx. ?2),则1?sinx?cosx?|sinx|?|cosx|?1.
测试题
一、选择题
1.下列转化结果错误的是 ( )
?
A. 6730?化成弧度是?rad B. ?
3810
?化成度是-600度 3
C.?150化成弧度是
?
7?
?rad D. 化成度是15度 612
2.已知?是第二象限角,那么
?
是 ( ) 2
A.第一象限角 B. 第二象限角
C. 第二或第四象限角 D.第一或第三象限角
3.已知sin??0,tan??0,则?sin2?化简的结果为 ( A.cos? B. ?cos? C.?cos? D. 以上都不对
4.函数y?cos(2x??
2
)的图象的一条对称轴方程是 ( A.x???
2
B. x??
?
4
C. x?
?
8
D. x??
5.已知x?(??
2,0),sinx??3
5
,则tan2x= ( A.724 B. ?724 C. 24247 D. ?7
6.已知tan(???)?
12,tan(???1?
4)??3,则tan(??4
)的值为 ( A.2 B. 1 C. 2
2
D. 2
7.函数f(x)?
cosx?sinx
cosx?sinx
的最小正周期为 ( A.1 B. ?
2 C. 2? D. ? 8.函数y??cos(x2??
3
)的单调递增区间是 (A.??2k??
4?,2k??2??
??(k?Z) ?
?42?33? B. ?4k??3?,4k??3???(k?Z) C.??
?2k??
2?3?,2k??8?
3???
(k?Z) D. ??
4k??23?,4k??83????(k?Z)
17
) )
) ) ) )
9.函数y?sinx?cosx,x?[???,]的最大值为 ( ) 22
A.1 B. 2 C.
D. 3 2
10.若?、?均为锐角,且2sin??sin(???),则?与?的大小关系为 ( )
A.??? B. ??? C. ??? D. 不确定
二、填空题
11、函数y?asinx?1的最大值是3,则它的最小值______________________
??????12、若a?b?a?b,则a、b的关系是____________________
13、若函数f(χ)是偶函数,且当χ<0时,有f(χ)=cos3χ+sin2χ,则当χ>0时,f(χ)的表达式为 .
14.把函数y?sin(2x??
3)先向右平移?个单位,然后向下平移2个单位后所得的函数解析式为2
________________________________
15.已知tan(??
?4)?2,则1?3sin??cos??2cos2?=_______________
18
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