高中函数图像性质总结
一、指数函数
1、指数函数的图象和性质
2、第一象限:底数越大,图像越高à
二、
1、对数函数的图象和性质
2、当a>1时,a越大,图像越靠近x轴;
当0<a<1时,a越大,图像越远离x轴。
三、幂函数性质
1、所有的幂函数图象都过点(1,1)。除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.;
注:当α>0时过定点(0,0)和(1,1);
当α<0时过定点(1,1)
2、α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数
3、α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.
4、任何两个幂函数最多有三个公共点
5、图像性质:
在第一象限幂函数图像表现为:
α>0时,α越大,图像越陡;
α<0时,α越大,图像越靠近y轴远离x轴。
四、一元二次函数:
1、图像和性质
2、一元二次函数表达式形式:
顶点式:f(x)=a(x-h)2+k,定点坐标(h,k)
分解式:f(x)=a(x-x1)(x-x2), 一元二次方程的两根为x1,x2
一般式:f(x)=ax2+bx+c,(a≠0).
1.一次函数(包括正比例函数)
最简单最常见的函数,在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域(下面没有说明的话,都是在无特殊要求情况下的定义域):R
值域:R
奇偶性:无
周期性:无
平面直角坐标系解析式(下简称解析式):
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
(k为直线斜率,b为直线纵截距,正比例函数b=0)
③y-y1=k(x-x1)[点斜式]
(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点)
④(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]
((x1,y1)与(x2,y2)为直线上的两点)
⑤x/a-y/b=0[截距式]
(a、b分别为直线在x、y轴上的截距)
解析式表达局限性:
①所需条件较多(3个);
②、③不能表达没有斜率的直线(平行于x轴的直线);
④参数较多,计算过于烦琐;
⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角:x轴到直线的角(直线与x轴正方向所成的角)称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为a,则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数:
题目中常见的函数,在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域:R
值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);②[t,正无穷)
奇偶性:偶函数
周期性:无
解析式:
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b+√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)^2+t[配方式]
此时,对应极值点为(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b^2)/4a);
3.反比例函数
在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
定义域:(负无穷,0)∪(0,正无穷)
值域:(负无穷,0)∪(0,正无穷)
奇偶性:奇函数
周期性:无
解析式:y=1/x
4.幂函数
y=x^a
①y=x^3
定义域:R
值域:R
奇偶性:奇函数
周期性:无
图象类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称
后得到的图象(类比,这个方法不能得到三次函数图象)
②y=x^(1/2)
定义域:[0,正无穷)
值域:[0,正无穷)
奇偶性:无(即非奇非偶)
周期性:无
图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心,顺时针旋转
90°,再去掉y轴下方部分得到的图象(类比,这个方法不能得到三次
函数图象)
5.指数函数
在平面直角坐标系上的图象(太难描述了,说一下性质吧……)
恒过点(0,1)。联系解析式,若a>1则函数在定义域上单调增;若0<a<1 则函数在定义域上单调减。
定义域:R
值域:(0,正无穷)
奇偶性:无
周期性:无
解析式:y=a^x
a>0
性质:与对数函数y=log(a)x互为反函数。
*对数表达:log(a)x表示以a为底的x的对数。
6.对数函数
在定义域上的图象与对应的指数函数(该对数函数的反函数)的图象关于直线y=x轴对称。
恒过定点(1,0)。联系解析式,若a>1则函数在定义域上单调增;若0<a<1 则函数在定义域上单调减。
定义域:(0,正无穷)
值域:R
奇偶性:无
周期性:无
解析式:y=log(a)x
a>0
性质:与对数函数y=a^x互为反函数。
7.三角函数
⑴正弦函数:y=sinx
图象为正弦曲线(一种波浪线,是所有曲线的基础)
定义域:R
值域:[-1,1]
奇偶性:奇函数
周期性:最小正周期为2π
对称轴:直线x=kπ/2 (k∈Z)
中心对称点:与x轴的交点:(kπ,0)(k∈Z)
⑵余弦函数:y=cosx
图象为正弦曲线,由正弦函数的图象向左平移π/2个单位(最小平移量)所得。
定义域:R
值域:[-1,1]
奇偶性:偶函数
周期性:最小正周期为2π
对称轴:直线x=kπ (k∈Z)
中心对称点:与x轴的交点:(π/2+kπ,0)(k∈Z)
⑶正切函数:y=tg x
图象的每个周期单位很像是三次函数,很多个,均匀分布在x轴上。
定义域:{x│x≠π/2+kπ}
值域:R
奇偶性:奇函数
周期性:最小正周期为π
对称轴:无
中心对称点:与x轴的交点:(kπ,0)(k∈Z)。
函数的基本性质
一、函数的单调性
函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势,高考中常考其一下作用:比较大小,解不等式,求最值。
定义:(略)
定理1:那么
上是增函数;
上是减函数.
定理2:(导数法确定单调区间) 若,那么
上是增函数; 上是减函数.
1.函数单调性的判断(证明)
(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法
2.复合函数的单调性的判定
对于函数和,如果函数在区间上具有单调性,当时,且函数在区间上也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断
对于两个单调函数和,若它们的定义域分别为和,且:
(1)当和具有相同的增减性时,
①的增减性与相同,
②、、的增减性不能确定;
(2)当和具有相异的增减性时,我们假设为增函数,为减函数,那么:
①的增减性不能确定;
②、、为增函数,为减函数。
4.奇偶函数的单调性
奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同,偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
二、函数的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数的图象的对称性(自身):
定理1: 函数的图象关于直对称
特殊的有:
①函数的图象关于直线对称。
②函数的图象关于轴对称(奇函数)。
③函数是偶函数关于对称。
定理2:函数的图象关于点对称
特殊的有:
① 函数的图象关于点对称。
② 函数的图象关于原点对称(奇函数)。
③ 函数是奇函数关于点 对称。
定理3:(性质)
①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
②函数与函数的图象关于直线对称.
特殊地: 与函数的图象关于直线对称
③函数的图象关于直线对称的解析式为
④函数的图象关于点对称的解析式为
⑤函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。
函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
3.奇偶函数性质
对于两个具有奇偶性的函数和,若它们的定义域分别为和,且:
(1)满足定义式子(偶)(奇)
(2)在原点有定义的奇函数有
(3)当和具有相同的奇偶性时,假设为奇函数,那么:
①函数、也为奇函数;
②、为偶函数;
③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数
(4)当和具有相异的奇偶性时,那么:
①、的奇偶性不能确定;
②、、为奇函数。
(6)任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
(7)一般的奇函数都具有反函数,且依然是奇函数,偶函数没有反函数
(8)图形的对称性 关于轴对称的函数(偶函数)关于原点对称的函数(奇函数)
(9)若是偶函数,则必有
若是奇函数,则必有
(10)若为偶函数,则必有
若是奇函数,则必有
(11)常见的奇偶函数
三、函数的周期性
函数的周期性反映了函数的重复性,在试题中它的主要用途是将大值化小,负值化正,求值。
1.周期性的定义
对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有都成立,那么就把函数叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期,那么、()也是函数的周期。
2. 函数的周期性的主要结论:
结论1:如果(),那么是周期函数,其中一个周期
结论2:如果(),那么是周期函数,其中一个周期
结论3:如果定义在上的函数有两条对称轴、对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论4:如果偶函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论5:如果奇函数的图像关于直线()对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论6:如果函数同时关于两点、()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论7:如果奇函数关于点()成中心对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论8:如果函数的图像关于点()成中心对称,且关于直线()成轴对称,那么是周期函数,其中一个周期
结论9:如果或,那么是周期函数,其中一个周期
结论10:如果或,那么是周期函数,其中一个周期
结论11:如果,那么是周期函数,其中一个周期
例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( ) (第十二届希望杯高二 第二试题)
(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数
(C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数
解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数, ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴,因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A)
例6.求证:若为奇函数,则方程=0若有根一定为奇数个。
证: 为奇函数 -=
2=0 即=0是方程=0的根
若是=0的根,即=0 由奇数定义得=0
也是方程的根
即方程的根除=0外成对出现。
方程根为奇数个。
例2:设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,若g(5) = 1999,那么f(4)=( )。
(A) 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。
解:∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称,
∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1),而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选(C)
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,
f (x) = -x,则f (8.6 ) = _________ (第八届希望杯高二 第一试题)
解:∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;
又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3
例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时,
f (x) = x,则f (7.5 ) = ( )
(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5
解:∵y = f (x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;
又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即f (1+ x) = f (1-x), ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴,故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)
一、反函数的性质和应用
(1)定义域值域相反 (2)图象关于对称 (3)具有相同的单调性、奇偶性
(4)单调函数一定具有反函数,具有反函数的函数不一定单调,偶函数和周期函数一定不具有反函数 (5)原函数过则反函数过反之亦然
(6),,但仅当才成立
(二)奇偶函数性质
(1)满足定义式子(2)在原点有定义的奇函数有(3)两个偶函数之和、差、积、商为偶函数;(4)两个奇函数之和、差为奇函数;积(商)为偶函数;(5)一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数.(6)任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和(7)一般的奇函数都具有反函数,且依然是奇函数,偶函数没有反函数(8)图形的对称性
(三) 周期性:定义、判断
常见具有周期性的函数 或
(四) 对称性:判断、性质
(1)一个函数的对称性:
1、函数关于对称或 或 显然: 特殊的有偶函数关于y(即x=0)轴对称,则有关系式 ;一般的有,函数关于直线 对称
2、函数关于点对称
或显然特殊的有奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式
一般的有,函数关于点 对称
3、函数自身不可能关于对称,曲线则可能
(2)两个函数的对称性:
1、 与关于X轴对称。
2、 与关于Y轴对称。
3、 与关于直线对称。
4、 与关于直线对称。
5、 关于点(a,b)对称。
6、与关于直线对称。
7、关于直线对称
(四)三性的综合应用
(08湖北卷6)已知在R上是奇函数,且A
A.-2 B.2 C.-98 D.98
(08四川卷)函数满足,若,则( C )
(A) (B) (C) (D)
(2010安徽理数)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2则的值为( )A、 B、1 C、 D、2
(09江西卷)已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为 ( C )
A. B. C. D.
(09东兴十月)定义在R上的函数的图象关于点对称,且满足,,,则_______
2009广东三校一模)定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则
等于 ( B )
A.-1 B.0 C.1 D.4
(2009全国卷Ⅰ理)函数的定义域为R,若与都是奇函数,则( D ) A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2
若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,
∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,
∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:
f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:
f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
例2.是定义在R上满足的函数且满足若时则时__
,
解:如图函数在
知识点及方法
对称性、函数的奇偶性;二次函数的对称性;对称性与函数的解析式;化归思想
二次函数的对称性
1. 已知是二次函数,图象开口向上,, 比较大小。
2. 若二次函数的图象开口向下,且f(x)=f(4-x),比较的大小。
3. 二次函数满足,求的顶点的坐标。
4. 已知,且.(1)写出的关系式 (2)指出的单调区间。
函数的对称性求解析式
1. 已知是偶函数,当时,,求的解析式.
2. 已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称, 求的解析式。
3. 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,若当x£1时,y=x2+1,求当x>1时, ,f(x)的解析式.
4. 设 , 求 关于直线对称的曲线的解析式.
5. 已知函数是偶函数,且x∈(0,+∞)时有f(x)=, 求当x∈(-∞,-2)时, 求 的解析式.
6. 已知函数是偶函数,当时,又的图象关于直线对称,求在的解析式.
7. 已知函数)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数图象上A. B. C. D.
8. 已知是定义在R上的奇函数,当时,,那么不等式的解集是( )
9. 设定义域为R的函数满足以下条件; ⑴ 对任意; ⑵ 对任意,当时,有则以下不等式不一定成立的是( ) A.B.
C. D.
5、 已知定义在上的函数的图象关于点对称,且,,,则的值为( )
A. B. C.0 D.1
7、已知函数,给出下列命题,
⑴ 不可能为偶函数; ⑵ 当时,的图象必关于直线对称; ⑶ 若0,则在区间上是增函数; ⑷ 有最小值,其中正确命题的序号是______(将你认为正确的命题的序号都填上).
9.已知函数f(x)=x+x3+x5,xl,x2,x3∈R,且xI+x2<0,x1+x3<0,x2+x3<0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值(B )
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定
10.函数在区间上有最小值,则函数在区间上一定 ( D)
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
12.函数,若f(0)=3,且f(2x)=f(x),则有(B )
A. B.
C. D.与的大小不确定
14.函数的单调递增区间为,那么实数a的取值范围是 ( A)
A. B. C. D.
热点1(图象与性质).函数的图象是两条直线的一部分(如图所示),其定义域为[-1,0)∪(0,1],则不等式->-1的解集是
A. B.
C. D.
5.函数的定义域为D:且满足对于任意,有
(1)求的值;
(2)判断的奇偶性并证明;
(3)如果上是增函数,求x的取值范围.
7.对于函数,若存在,使成立,则称为的“滞点”.已知函数= .
(1)试问有无“滞点”?若有,求之,否则说明理由;
8.已知是定义在[-1,1]上的奇函数,且,若,恒成立.
(1)判断在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;
(2)解不等式;
(3)若对所有恒成立,求实数m的取值范围.
21.设函数定义在R上,对于任意实数、恒有 当时,
①求证:
②求证:在R上递减;
③设集合
若 求的取值范围.
23.已知函数的定义域为R,对任意实数m、n都有,且,当时, .(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性并证明。
设函数的定义域为且对任意的正实数有,已知且当时.
⑴求的值;⑵试判断在上的单调性并证明;
已知函数
(1)判断函数的单调性,并用定义证明; (2)求函数的最大值和最小值.
(19)(本小题满分12分)设函数f(x)对任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0.(1)证明:f(x)为奇函数; (2)证明:f(x)在R上为减函数.
对于函数f(x)和g(x),在公共的定义域内,规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)},若f(x)=3-x,g(x)=,则f(x)*g(x)的最大值是____。
变式:对于函数f(x)与g(x),规定当f(x)≤g(x)时,f(x)·g(x)=f(x);当f(x)>g(x)时,f(x)·g(x)=g(x)。如果f(x)=,g(x)=3-x,则f(x)·g(x)的最大值为____。
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