高中数学第四章-三角函数
1. ①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):
②终边在x轴上的角的集合:
③终边在y轴上的角的集合:
④终边在坐标轴上的角的集合:
⑤终边在y=x轴上的角的集合:
⑥终边在轴上的角的集合:
⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:
⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:
⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:
⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式: 1rad=°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=≈0.01745(rad)
3、弧长公式:. 扇形面积公式:
4、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则 ; ; ; ; ;. .
5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
6、三角函数线
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
7. 三角函数的定义域:
8、同角三角函数的基本关系式:
9、诱导公式:
“奇变偶不变,符号看象限”
三角函数的公式:(一)基本关系
公式组二 公式组三
公式组四 公式组五 公式组六
(二)角与角之间的互换
公式组一 公式组二
公式组三 公式组四 公式组五
, ,,.
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
注意:①与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增).
②与的周期是.
③或()的周期.
的周期为2(,如图,翻折无效).
④的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().
⑤当·;·.
⑥与是同一函数,而是偶函数,则
.
⑦函数在上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:)
奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)
⑨不是周期函数;为周期函数();
是周期函数(如图);为周期函数();
的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
.
⑩ 有.
11、三角函数图象的作法:
1)、几何法:
2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3)、利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期,频率,相位初相(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数:
函数y=sinx,的反函数叫做反正弦函数,记作y=arcsinx,它的定义域是[-1,1],值域是.
函数y=cosx,(x∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数,记作y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].
函数y=tanx,的反函数叫做反正切函数,记作y=arctanx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是.
函数y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数,记作y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数:⑴反正弦函数是奇函数,故,(一定要注明定义域,若,没有与一一对应,故无反函数)
注:,,.
⑵反余弦函数非奇非偶,但有,.
注:①,,.
②是偶函数,非奇非偶,而和为奇函数.
⑶反正切函数:,定义域,值域(),是奇函数,
,.
注:,.
⑷反余切函数:,定义域,值域(),是非奇非偶.
,.
注:①,.
②与互为奇函数,同理为奇而与非奇非偶但满足.
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:
的取值范围 解集 的取值范围 解集
①的解集 ②的解集
>1 >1
=1 =1
<1 <1
③的解集: ③的解集:
二、三角恒等式.
组一
组二
组三三角函数不等式
<< 在上是减函数
若,则
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高
1.特殊角的三角函数值:
2.角度制与弧度制的互化:3600?2?, 1800??, 1rad=180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=
?
?180
≈0.01745(rad)
3.弧长及扇形面积公式
弧长公式:l??.r 扇形面积公式:S=l.r
?----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
12
4.任意角的三角函数
设?是一个任意角,它的终边上一点p(x,y), r=x2?y2 (1)正弦sin?=
xyy
余弦cos?= 正切tan?=
rrx
(2)各象限的符号:
y
— +
y — +
+ —
— +
+
sin? cos? tan?
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5.同角三角函数的基本关系:
(1)平方关系:sin2?+ cos2?=1。(2)商数关系: (??
2sin?=tan? cos??2?k?,k?z) 6.诱导公式:记忆口诀:把k???的三角函数化为?的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号
看象限。
?1?sin?2k?????sin?,cos?2k?????cos?,tan?2k?????tan??k???. ?2?sin???????sin?,cos???????cos?,tan??????tan?. ?3?sin??????sin?,cos?????cos?,tan??????tan?. ?4?sin??????sin?,cos???????cos?,tan???????tan?. 口诀:函数名称不变,符号看象限.
?5?sin??????????cos?,cos?????sin?. ?2??2?
????????cos?,cos??????sin?. ?2??2???6?sin???
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
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降幂公式: 1+cos?=2cos2
1-cos?=2sin2?2 cos2???
2 1?cos2? 21?cos2? sin2?? 2
9.正弦定理 :
abc???2R. sinAsinBsinC
余弦定理:
a2?b2?c2?2bccosA;
b2?c2?a2?2cacosB;
c2?a2?b2?2abcosC.
111三角形面积定理.S?absinC?bcsinA?casinB. 222
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