初三数学二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。        这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 的性质：

上加下减。

3. 的性质：

左加右减。

4. 的性质：

三、二次函数图象的平移

  1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

 

  2. 平移规律

    在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

   四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

六、二次函数的性质

  1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；

当时，随的增大而增大；

当时，有最小值．

  2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式（交点式）：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

  1. 二次项系数

  ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

  ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．（同左异右  b为0对称轴为y轴）

  3. 常数项

     ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

     ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

     ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

     总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．.

  ② 当时，图象与轴只有一个交点；

  ③ 当时，图象与轴没有交点.

 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数的顶点坐标是(   )

A.(2,－11)          B.（－2，7）        C.（2，11）        D. （2，－3）

2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（   ）

A.     B.    C.    D.

3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的(   )

4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是(    )

 A.1个       B.2个       C. 3个           D. 4个

5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（　　　）

Ａ．－１.３          B.-2.3         C.-0.3         D.-3.3　

6. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（　 ）

A．第一象限　　　B．第二象限

C．第三象限　　  D．第四象限

7.方程的正根的个数为（   ）

A.0个             B.1个            C.2个.          3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A.                       B.  

C. 或      D. 或

二、填空题

9．二次函数的对称轴是，则_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是               （只写一个即可）。

12．抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为         。

13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=           ,c=         。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是　　    (π取3.14).　　　　

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0<t≤2），其中重力加速度g以10米/秒²计算．这种爆竹点燃后以v₀=20米/秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

二次函数应用题训练

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系：y = -0.1x² +2.6x + 43 (0≤x≤30).

（1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？

（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？

2、如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.

问矩形DEFG的最大面积是多少?

3、如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大?最大面积是多少?

4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;

(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.

5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.

 (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

二次函数专题复习  图像特征与a、b、c、△符号的关系

1、已知二次函数，如图所示，若，，那么它的图象大致是 （    ）                                        

              y           y              y                   y

 

                    x              x                x              x

             A           B              C                   D

2、已知二次函数的图象如图所示，则点在 （　 ）

A．第一象限　　　B．第二象限

C．第三象限　　  D．第四象限

3、已知二次函数的图象如下，

则下列结论正确的是   （    ）

A           B 

C     D 

4、二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：   ①a>0；②c>0；③b²-4ac>0，其中正确的个数是（  ）

A．0个     B．1个     C．2个     D．3个

5、二次函数y=ax²+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（  ）

  A．第一象限        B．第二象限 

 C．第三象限        D．第四象限

6、二次函数的图象如图所示，则（   ）

A、，        B、，

C、，        D、，

7、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（　　）

A、ac＜0                B、a-b+c＞0        C、b=-4a

D、关于x的方程ax+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=5

8、已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：

①b-4ac＞0；

②abc＞0；

③8a+c＞0；

④9a+3b+c＜0

其中，正确结论的个数是（　　）

A、1            B、2            C、3          D、4

二次函数对应练习试题参考答案

一，选择题、

1．A  2．C  3．A  4．B   5．D   6．B   7．C   8．C  

二、填空题、

 9．  10．＜-3  11．如等（答案不唯一）                   

12．1    13．-8  7   14．15

三、解答题

15．(1)设抛物线的解析式为,由题意可得

解得   所以

(2)或-5   (2)

16．（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．

17．（1）直线与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则解得

所以此抛物线解析式为．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与轴的另一个交点C（－1，0）.设P，则.化简得

当＞0时，得  ∴P（4，5）或P（－2，5）

当＜0时，即，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．

18．（1）=60（吨）．（2），化简得： ．（3）．

红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．

（4）我认为，小静说的不对．  理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额来说，

 当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．

方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．

二次函数应用题训练参考答案

1、 （1）0≤x≤13，13＜x≤30；（2）59；（3）13.

2、过A作AM⊥BC于M,交DG于N,则AM==16cm.

设DE=xcm,S矩形=ycm²,则由△ADG∽△ABC,

故,即,故DG=(16-x).

∴y=DG·DE=(16-x)x=-(x²-16x)=-(x-8)²+96,

从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm².

3、设第t秒时,△PBQ的面积为ycm².则∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm;

又BQ=2t.∴y=PB·BQ=(6-t)·2t=(6-t)t=-t²+6t=-(t-3)²+9,

当t=3时,y有最大值9.

故第3秒钟时△PBQ的面积最大,最大值是9cm².

4、解：(1)设抛物线的表达式为y=ax²+bx+c.

由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).

∴抛物线的表达式为y=－0.2x²+3.5.

(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为

h+1.8+0.25=(h+2.05) m,

∴h+2.05=－0.2×(－2.5)²+3.5,

∴h=0.2(m).

5、解：(1)依题意得

鸡场面积y=－

∵y=－x²+x=(x²－50x)

=－(x－25)²+,

∴当x=25时，y_最大=,

即鸡场的长度为25 m时，其面积最大为m².

(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为m.

∴y=·x=－x²+x

=－(x²－50x) =－(x－25)²+,

当x=25时，y_最大=,

即鸡场的长度为25 m时，鸡场面积为 m².

结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.

6、解：(1)y=－2x²+180x－2800.

(2)y=－2x²+180x－2800

=－2(x²－90x)－2800

=－2(x－45)²+1250.

当x=45时，=1250.

∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.