初三数学二次函数知识点总结

来源:m.fanwen118.com时间:2021.9.19

初三数学 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:一般地,形如y?ax2?bx?c(a,的函数,叫做二次函数。 这b,c是常数,a?0)里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a?0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵ a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.

二、二次函数的基本形式

二次函数的基本形式y?a?x?h??k的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤:

k?; 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k,确定其顶点坐标?h,k?处,具体平移方法如下:

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⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变,将其顶点平移到?h,

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:

⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,y?ax?bx?c变成

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2

2

y?ax2?bx?c?m(或y?ax2?bx?c?m)

⑵y?ax?bx?c沿轴平移:向左(右)平移m个单位,y?ax?bx?c变成22

y?a(x?m)2?b(x?m)?c(或y?a(x?m)2?b(x?m)?c)

四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看,y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前b?4ac?b2b4ac?b2?者,即y?a?x???,其中h??,. k?2a?4a2a4a?222

五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴

c?、以及?0,c?关于对称轴对称的点?2h,c?、与x轴的交点?x1,0?,?x2,0?(若与x轴的交点?0,

没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

六、二次函数y?ax2?bx?c的性质

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为x??,顶点坐标为???. 2a4a2a??

当x??bbb时,y随x的增大而减小;当x??时,y随x的增大而增大;当x??时,y有最小2a2a2a

4ac?b2

值. 4a

?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时,抛物线开口向下,对称轴为x??,顶点坐标为??时,y随?.当x??2a4a2a2a??

4ac?b2bb. x的增大而增大;当x??时,y随x的增大而减小;当x??时,y有最大值4a2a2a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0);

2. 顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k为常数,a?0);

3. 两根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只

有抛物线与x轴有交点,即b2?4ac?0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中,a作为二次项系数,显然a?0.a决定了抛物线开口的大小和方向,a

的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.

ab的符号的判定:对称轴x??b在y轴左边则ab?0,在y轴的右侧则ab?0,概括的说就是2a

“左同右异”

3. 常数项c c决定了抛物线与y轴交点的位置.

总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

九、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数:

① 当??b2?4ac?0时,图象与x轴交于两点A?x1,0?,B?x2,0?(x1?x2),其中的x1,x2是一元二次方

程ax?bx?c?0?a?0?的两根.

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这两点间的距离AB?x2?x1② 当??0时,图象与x轴只有2

一个交点; ③ 当??0时,图象与x轴没有交点.1' 当a?0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y?0;2' 当a?0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y?0.

2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判

断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个

交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

二次函数考查重点与常见题型

1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:

已知以x为自变量的二次函数y?(m?2)x?m?m?2的图像经过原点, 则m的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查

两个函数的图像,试题类型为选择题,如:

如图,如果函数y?kx?b的图像在第一、二、三象限内,那么函数y?kx?bx?1的图像大致是( )

第 3 页 共 9 页 222

3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选

拔性的综合题,如:

已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x?5,求这条抛物线的解析式。 3

4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:

3已知抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是- 2

(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 (1)二次函数y?ax2?bx?c的图像如图1,则点M(b,)在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,?则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ca

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.

2例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点

在点(O,2)的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O;③4a+c<O;④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为( )

A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

答案:D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线22

x=2,则抛物线的顶点坐标为( )

A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2)

答案:C

例4、已知抛物线y=125x+x-. 22

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.

【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.

函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。

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二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数y?x?4x?7的顶点坐标是( )2

22A.(2,-11) B.(-2,7) C.(2,11) D. (2,-3) 2. 把抛物线y??2x向上平移1个单位,得到的抛物线是( ) A. y??2(x?1) B. y??2(x?1) C. y??2x?1 D. y??2x?1

3.函数y?kx?k和y?2222k(k?0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x

4.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x?1和x?3时,函数值相等;③4a?b?0④当y??2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

5.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),

2由图象可知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0的两个根分别是x1?1.3和x2?22

( )

A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

6. 已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示,则点(ac,bc)在( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

7.方程2x?x?222的正根的个数为( ) x

A.0个 B.1个 C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. y?x?x?2 B. y??x?x?2

C. y?x?x?2或y??x?x?2 D. y??x?x?2或y?x?x?2 222222

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二、填空题

9.二次函数y?x?bx?3的对称轴是x?2,则b?_______。

10.已知抛物线y=-2(x+3)?+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.

11.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当x<0时,函数值y随自变量x的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。

12.抛物线y?2(x?2)?6的顶点为C,已知直线y??kx?3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

13. 二次函数y?2x?4x?1的图象是由y?2x?bx?c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。

14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是 (π取3.14).

2222

三、解答题:

15.已知二次函数图象的对称轴是x?3?0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,?

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后,其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式h?v0t?

25). 2第15题图 12,其中重gt (0<t≤2)2力加速度g以10米/秒计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升,

(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?

(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.

17.如图,抛物线y?x?bx?c经过直线y?x?3与坐标轴的两个交

点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S?APC:S?ACD?5 :4的点P

的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元).

(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;

(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);

(3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?

(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.

2

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练习试题答案

一,选择题、

1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C

二、填空题、

9.b??4 10.x<-3 11.如y??2x?4,y?2x?4等(答案不唯一) 2

12.1 13.-8 7 14.15

三、解答题

15.(1)设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c,由题意可得

?b??2a??3

??a?b?c??6

?5?c??2? 解得a?? 1515,b??3,c?? 所以y??x2?3x? 2222

(2)x??1或-5 (2)x??3

16.(1)由已知得,15?20t?1?10?t2,解得t1?3,t2?1当t?3时不合题意,舍去。所以当爆竹点燃2

22后1秒离地15米.(2)由题意得,h??5t?20t=?5(t?2)?20,可知顶点的横坐标t?2,又抛物

线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升.

17.(1)直线y?x?3与坐标轴的交点A(3,0),B(0,-3).则?

2?9?3b?c?0?b??2解得? ?c?3??c??3所以此抛物线解析式为y?x?2x?3.(2)抛物线的顶点D(1,-4),与x轴的另一个交点C(-

221,0).设P(a,a?2a?3),则(?4?a?2a?:(?4?4)?5:4.化简得a?2a?3?5 21

212

当a?2a?3>0时,a?2a?3?5得a?4,a??2 ∴P(4,5)或P(-2,5)

当a?2a?3<0时,?a?2a?3?5即a?2a?2?0,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为(4,5)或(-2,5).

第 8 页 共 9 页 22222

18.(1)45?260?240260?x.(2)y?(x?100)(45??7.5=60(吨)?7.5),化简得: 1010

333(3)y??x2?315x?24000??(x?210)2?9075. y??x2?315x?24000.444

红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元.

(4)我认为,小静说的不对. 理由:方法一:当月利润最大时,x为210元,而对于月销售额W?x(45?260?x?7.5)??3(x?160)2?19200来说, 10 当x为160元时,月销售额W最大.∴当x为210元时,月销售额W不是最大.∴小静说的不对. 方法二:当月利润最大时,x为210元,此时,月销售额为17325元; 而当x为200元时,月销售额为18000元.∵17325<18000, ∴当月利润最大时,月销售额W不是最大.∴小静说的不对.

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