高中数列知识点总结及经典习题解答(3100字)

来源:m.fanwen118.com时间:2021.7.13

数列知识点及经典习题

二、重难点击

一、本章重点:数列的概念,等差数列,等比数列的定义,通项公式和前n项和公式及运用,等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法,如:观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

aS二、数列通项n与前n项和n的关系1.Sn?a1?a2?a3???an??aii?1n

?S1an???Sn?Sn?12.

知识归纳:

1.概念与公式: n?1n?2

①等差数列:1°.定义:若数列

2°.通项公式:{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列; an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d;

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d.22 3°.前n项和公式:公式:

{an}满足

②等比数列:1°.定义若数列an?1?q{a}an(常数),则n称等比数列;2°.通项公式:an?a1qn?1?akqn?k;3°.前na1?anqa1(1?qn)Sn??(q?1),1?q1?q项和公式:当q=1时Sn?na1.

2.简单性质:

①首尾项性质:设数列

1°.若

2°.若

②中项及性质: {an}:a1,a2,a3,?,an, {an}是等差数列,则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??; {an}是等比数列,则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??.

A?

1°.设a,A,b成等差数列,则A称a、b的等差中项,且a?b;2

2°.设a,G,b成等比数列,则G称a、b的等比中项,且G③设p、q、r、s为正整数,且

??ab.

p?q?r?s,

1°. 若2°. 若

{an}是等差数列,则ap?aq?ar?as; {an}是等比数列,则ap?aq?ar?as;

④顺次n项和性质:

{a}1°.若n是公差为d的等差数列,

则?ak,

k?1n

n

k?n?12n

?a,?a

k

k?2n?1

3nk

2n3n

k

组成公差为n2d的等差数列;

{a}2°. 若n是公差为q的等比数列,

q=-1,n为偶数时这个结论不成立) ⑤若

则?ak,

k?1

k?n?1

?a,?a

k?2n?1

k

组成公差为qn的等比数列.(注意:当

{an}是等比数列,

2

n

aa?a,aa?a,aa?aq12nn?1n?22n2n?12n?23n则顺次n项的乘积:组成公比这

的等比数列.

⑥若

{an}是公差为d的等差数列,

Sn?na中且S奇?S偶?a中(注:a中指中项,即a中?an?1,

2

1°.若n为奇数,则

有奇数项、所有偶数项的和);

而S奇、S偶指所

S偶?S奇?

2°.若n为偶数,则(二)学习要点:

nd

.2

1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m

aq(或a-m,a,a+m)”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq2(或

为“

,a,aq)”③四数成等差数列,可设四数

a,a?m,a?2m,a?3m(或a?3m,a?m,a?m,a?3m);”④四数成等比数列,可设四数

2

为“a,aq,aq

,aq3(或

aa3

,?,aq,?aq),”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验. 3

qq

例1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列

(A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在

例2.、在等差数列

( )

(A)an

或an( ) ?an?中,a1?4,且a1,a5,a13成等比数列,则?an?的通项公式为 ?3n?1 (B)an?n?3 (C)an?3n?1或an?4 (D)an?n?3?4

a,b,c成等比数列,且例3、已知x,y分别为a与b、b与c的等差中项,则ac?xy的值为

( )

(A)

12 (B)?2 (C)2 (D) 不确定

*,n?2)an?a?3,则此数列的第10项是 a?a?2(n?N?nn?1例4、已知数列中,,若1

aa例5、在等差数列中,1与11是方程2x

例6.在等差数列{an}2?x?7?0的两根,则a6为 中,公差d?1,a4?a17?8,则a2?a4?a6???a20的值为( )

(A)40 (B)45 (C)50 (D)55

11a?b

22例7.已知1是a与b的等比中项,又是a与b的等差中项,则a?b的值是( ) 22

1111??

(A)1或2 (B)1或2 (C)1或3 (D)1或3

例8.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( B )

(A)b=3,ac=9

例9.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9

A.40 B.42 C.43 D.45

例10. 在等差数列?an?中a3?a11?40,则a4?a5?a6?a7?a8?a9?a10的值为( c )

A.84 B.72 C.60 D.48

例11. 在等差数列?an?中,若a3?a4?a5?a6?a7?450,则a2?a8的值等于(C )

A.45 B.75 C.180 D.300

例12.在等差数列?an?中,若a3?a4?a5?a6?a7?450,则a2?a8的值等于(C

A.45 B.75 C.180 D.300

例13、在等比数列?an?中,如果a6?6,a9?9,那么a3为( )

316

A.4 B.2 C.9 D.2

291

例14、若公比为3的等比数列的首项为8,末项为3,则这个数列的项数是( )

A.3 B.4 C.5 D.6

2a1?a2

例15、设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则2a3?a4的值为( )

111

A.4 B.2 C.8 D.1


第二篇:数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案 8600字

数列的综合应用

【考纲说明】

1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和;

2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题;

3 .理解数列作为函数的特性,能够抽象出数列的模型;

【知识梳理】

考点一:通项公式的求解技巧

1. 归纳、猜想数列的通项.

2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.

3. 用等差(等比)数列的通项公式求数列的通项公式.

?Sn?1. 4. 已知数列{an}前n项和Sn,则an??1

?Sn?Sn?1n?2

5. 已知an-an-1=f(n)(n?2),则可用叠加法求an.

an6. 已知=f(n)(n?2),则可用叠乘法求an. an-1

?T1 n?1?7. 已知数列{an}前n项之积Tn,一般可求Tn-1,则an=?Tn.

?T n?2?n?1

8. 已知混合型递推式f(an,Sn)=0,可利用an=Sn-Sn-1(n?2)将关系式转化为只含有an或Sn的递推式,再求an或先间接

求出Sn再求出an.

9. 已知数列{an}的递推关系,研究它的特点后,可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式

两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(an)}为等差或等比数列.

nn+1例如:形如an+1=Aan+f(n)或an+1=Aan+q,均可以两边同时除以A后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为

an-1等比数列求解;形如an. kan-1+b

考点二:数列求和的技巧

一、公式法

1、等差数列的前n项和公式

1

Sn?n(a1?an)n(n?1)d?na1? 22

2、等比数列的前n项和公式 ?na1(q?1)? Sn??a1(1?qn)a1?anq

?1?q?1?q(q?1)?

3、常用几个数列的求和公式

(1)Sn?n?k?1?2?3???n?

k?1

n1n(n?1) 21n(n?1)(2n?1) 6(2)Sn??k2?12?22?32???n2?

k?1

n

(3)Sn?133333k?1?2?3???n?[n(n?1)]2 ?2k?1

二、错位相减法

用于求数列{an?bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列。

三、裂项相消法

11111适用于{其中{an}是各项不为0的等差数列。即:-anan+1anan+1danan+1

特别:1111111???(?). ;n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?2

1

n?1?n?n?1?n an?

四、倒序相加法

推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它 与原数列相加,就可以得到n个(a1?an)。

五、分组求和法

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等 差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。

考点三:数列的综合应用

一、数列与函数的综合

二、等差与等比数列的综合

2

三、数列的实际应用

数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合

【经典例题】

【例1】 (20xx年高考天津卷理科4)已知?an?为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的 等比中项,Sn为?an?的前n项和, n?N,则S10的值为 *

A.-110 B.-90 C.90 D.110

【解析】D

【例2】(20xx年高考江西卷理科5)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn?Sm?Sn?m,且 a1?1,那么a10? ( )

A. 1 B. 9 C. 10 D. 55

【解析】A

【例3】(20xx年江西省高考题)数列{an}的通项公式是an=1

n?n?1,若前n项和为10,

则项数为( )

A、11 B、99 C、120 D、121

【解析】C

【例4】(2008安徽)设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*,其中a,c为实数,c≠0

1.求数列{an}的通项公式;

2.设a=11,c=,bn=n(1-an),n∈N*,求数列{bn}的前n项和Sn。 22

【解析】(1)∵an+1-1=c(an-1)

∴当a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列

n-1n-1 ∴an-1=(a-1)c,即an=(a-1)c+1

当n=1时,an=a仍满足上式。

n-1 ∴数列{an}的通项公式为an=(a-1)c+1(n∈N*)

1n), 2

1121n Sn=b1+b2+…+bn=+2()+…+n() ① 222

112131n1n+1 Sn=()+2()+…+(n-1)()+n() ② 22222

11121n1n+1 ∴①-②得Sn=+()+…+()-n()22222

1121n-11n1n1n ∴Sn=1++()+…+()-n()=2[1-()]-n() 222222(2)由(1)得bn=n(1-a)c=n(n-1

3

∴Sn=2-(2+n)(1n) 2

n【例5】(2008浙江省) 已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2p+nq(n∈N*,p,q为常数),

且x1,x4,x5成等差数列,求:

(1) P,q的值;

(2) 数列{xn}前n项和Sn的公式。

【解析】

(1) 由x1=3,得2p+q=3

4555 又x4=2p+4q,x5=2p+5q,且x1+x5=2x4,得3+2p+5q=2p+8q

解得p=1,q=1

(2)Sn=(2+2+…+2)+(1+2+…+n)=2-2+

【例6】 (20xx年福建理16)已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=(I)求数列{an}的通项公式;

(II)若函数f(x)?Asin(2x??)(A?0,0???p??)在x? 为a3,求函数f(x)的解析式。 2nn+1n(n?1) 213。 3?6处取得最大值,且最大值

13a1(1?33)13得?, 【解析】(I)由q?3,S3?31?33

1. 3

1n?1n?2所以an??3?3. 3解得a1?

(II)由(I)可知an?3n?2,所以a3?3.

因为函数f(x)的最大值为3,所以A=3。 因为当x??

6时f(x)取得最大值, 所以sin(2??

6??)?1. 又0????,故???

6.

所以函数f(x)的解析式为f(x)?3sin(2x?

?6)

【例7】(20xx年全国新课标卷)等比数列?an?的各项均为正数,且2a1?3a2?1,a3?9a2a6. 2

(1)求数列?an?的通项公式.

4

(2)设 bn?log3a1?log3a2?......?log3an,求数列??1??的前项和.

?bn?

2232【解析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由a3?9a2a6得a3?9a4所以q?1。 9

由条件可知a>0,故q?1。 3

1。 3由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1,所以a1?

故数列{an}的通项式为an=1。 3n

(Ⅱ )bn?log3a1?log3a2?...?log3an

??(1?2?...?n)

??n(n?1)

2 故1211????2(?) bnn(n?1)nn?1

111111112n??...???2((1?)?(?)?...?(?))?? b1b2bn223nn?1n?1所以数列{

【例8】(20xx年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1?a (a?R),设数列的前n项和为Sn,且2n1的前n项和为? n?1bn1111111,,成等比数列(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及Sn(Ⅱ)记An????...?,a1a2a4S1S2S3SnBn?

1111,当n?2时,试比较An与Bn的大小. ???...?a1a2a22a2n

【解析】 (Ⅰ)1112???a2?a1a4?(a1?d)2?a1(a1?3d)?d?a1?a 2a2a1a4

n(n?1)n(n?1)n(n?1)d?an?a?a 222 则 an?a1?(n?1)d?a1?(n?1)a1?na1?na,Sn?a1n?

5

(Ⅱ)An?11111111 ???...?????...?S1S2S3Snaaaa2222

?2121212121??????(1?) a1?2a2?3a3?4an(n?1)an?1

11?()n211111?(1?1)因为a2n?2na,所以Bn??????...?a2na1a2a22a2n?1a1?1 2

11012n?1?n; 当n?2时,22?Cn?Cn?Cn???Cn?n?1即1?n?12

所以当a?0时,An?Bn;当a?0时,An?Bn .

【课堂练习】

1.(2009江西卷文)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中 项, S8?32,则S10等于

A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

2.(2010江西理数)等比数列?an?中,a1?2,a8=4,函数f?x??x(x?a1)(x?a2)?(x?a8),则f

A.2 B. 2 C. 2 D. 2

(1)(2010湖北文数)7.已知等比数列{am}中,各项都是正数,且a1,

列,则a9?a10?

数列的综合应用知识点总结经典例题解析高考练习题带答案

a7?a8691215'?0??( ) 1a3,2a2成等差数 2

A.1

数列的综合应用知识点总结经典例题解析高考练习题带答案

B. 1

数列的综合应用知识点总结经典例题解析高考练习题带答案

C. 3?

数列的综合应用知识点总结经典例题解析高考练习题带答案

D3? 4.(2010福建理数)设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a1??11,a4?a6??6,则当Sn

取最小值时,n等于

A.6 B.7 C.8 D.9

5错误!未指定书签。.(20xx年福建(理))已知等比数列{an}的公比为q,记bn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m,cn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m(m,n?N*),则以下结论一定正确的是( )

6

A.数列{bn}为等差数列,公差为qm B.数列{bn}为等比数列,公比为q2m

C.数列{cn}为等比数列,公比为qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为qmm

6错误!未指定书签。.(20xx年重庆(理))已知?an?是等差数列,a1?1,公差d?0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8?_____

7错误!未指定书签。.(20xx年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))已知等比数列?an?是递增数列,Sn是?an?的前n项和,若a1,a3是方程x2?5x?4?0的两个根,则S6?____________.

8、(20xx年全国卷)设等差数列{an}的前n项和为sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知

的通项公式。 a1?1,b1?3,a3?b3?17,T3?S3?12,求{an},{bn}

9、(2011浙江卷)已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(a?R),且

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对n?N,试比较

10、(20xx年山东卷)已知等差数列?an?满足:a3?7,a5?a7?26,?an?的前n项和为Sn

(Ⅰ)求an及Sn; *111,,成等比数列. a1a2a411111?2?3?...?n与的大小. a1a2a2a2a2

7

(Ⅱ)令bn?

1*(),求数列?bn?的前n项和为Tn。 n?N2an?1

11.(20xx年湖北卷(理))已知等比数列?an?满足:a2?a3?10,a1a2a3?125. (I)求数列?an?的通项公式;

(II)是否存在正整数m,使得

12错误!未指定书签。.(20xx年山东(理))设等差数列?an?的前n项和为Sn,且S4?4S2,a2n?2an?1. (Ⅰ)求数列?an?的通项公式;

(Ⅱ)设数列?bn?前n项和为Tn,且 Tn?

111?????1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由. a1a2aman?1??(?为常数).令cn?b2n(n?N*).求数列?cn?的前n项和Rn. n2

8

【课后作业】

1.(2009重庆卷文)设?an?是公差不为0的等差数列,则?an?的前n项和Sn=( ) a1?2且a1,a3,a6成等比数列,

n27nn25nn23n?? C.? A. B.443324D.n?n 2

2.(2010安徽理数)设?an?是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别 为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是

A、X?Z?2Y

C、Y?XZ 2B、Y?Y?X??Z?Z?X? D、Y?Y?X??X?Z?X?

错误!未指定书签。 3.(2013辽宁)下面是关于公差d?0的等差数列?an?的四个命题: p1:数列?an?是递增数列; p2:数列?nan?是递增数列;

?a? p4:数列?an?3nd?是递增数列; p3:数列?n?是递增数列;?n?

其中的真命题为

(A)p1,p2 (B)p3,p4 (C)p2,p3 (D)p1,p4 4错误!未指定书签。.(20xx年新课标Ⅱ卷)等差数列?an?的前n项和为Sn,已知S10?0,S15?25,则nSn的最 小值为________.

n5. 已知(20xx年湖北省质检题)求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)(2n-1)

6. {an}的通项an=lg?1?

7错误!未指定书签。.(20xx年高考四川卷(理))在等差数列{an}中,a2?a1?8,且a4为a2和a3的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和.

8.(2009辽宁卷)等比数列{1n?,求{a}的前n项和S。 nnan}的前n 项和为sn,已知S1,S3,S2成等差数列 9

(1)求{

(2)求

an}的公比q; a1-a3=3,求sn

9.(2010重庆文数)(16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分. )

已知?an?是首项为19,公差为-2的等差数列,Sn为?an?的前n项和.

(Ⅰ)求通项an及Sn;

(Ⅱ)设?bn?an?是首项为1,公比为3的等比数列,求数列?bn?的通项公式及其前n项和Tn.

10.若函数f(x)对任意x?R都有f(x)?f(1?x)?2。

(1)an?f(0)?f()?f()???f(

(2)求数列{

1n2nn?1)?f(1),数列{an}是等差数列吗?是证明你的结论; n1的的前n项和Tn。 an?an?1

【参考答案】

【课堂练习】

1、C 2、C 3、C 4、A 5、C 6、64 7、63

8、解: 设?an?的公差为d,?bn?的公比为q

由a3?b3?17得1?2d?3q?17 ①

10 2

由T3?S3?12得q2?q?d?4 ② 由①②及q?0解得 q?2,d?2

故所求的通项公式为 an?2n?1,bn?3?2n?1

9、解:设等差数列{an}的公差为d,由题意可知(1211)?? a2a1a4

即(a1?d)2?a1(a1?3d),从而a1d?d2 因为d?0,所以d?a1?a. 故通项公式an?na.

(Ⅱ)解:记Tn?111????,因为a2n?2na a2a22a2n

11(1?()n)1111111所以Tn?(?2???n)???[1?()n] 1a22aa221?2

从而,当a?0时,Tn? 11;当a?0时,Tn?. a1a1

10、解:(Ⅰ)设等差数列?an?的首项为a1,公差为d,

由于a3?7,a5?a7?26,所以a1?2d?7,2a1?10d?26, 解得a1?3,d?2,由于an?a1?(n?1)d,Sn?所以an?2n?1,Sn?n(n?2)

(Ⅱ)因为an?2n?1,所以an?1?4n(n?1) 因此bn?2n(a1?an) , 21111?(?) 4n(n?1)4nn?1

111111(1???????) 4223nn?1故Tn?b1?b2???bn?

?11nn(1?)? 所以数列?bn?的前n项和Tn? 4n?14(n?1)4(n?1)

11、解:(I)由已知条件得:a2?5,又a2q?1?10,?q??1或3, 所以数列?an?的通项或an?5?3

n?2 11

(II)若q??1,1111??????或0,不存在这样的正整数m; a1a2am5

m1119??1??9 若q?3,??????1?????,不存在这样的正整数m. a1a2am10???3???10

12、解:(Ⅰ)设等差数列?an?的首项为a1,公差为d,

4a1?6d?8a1?4d??a?(2n?1)?2a1?2(n?1)d?1S?4Sa?2a?12,2nn 由4得 ?1,

*a?1a?2n?1(n?N) d?21n 解得,, 因此

(Ⅱ)由题意知:Tn???n

2n?1

所以n?2时,bn?Tn?Tn?1??n

2?n?1n?12n?21n?1c?b??(n?1)()*n2nn?22n?12 故,24 (n?N) 11111Rn?0?()0?1?()1?2?()2?3?()3?????(n?1)?()n?1

44444所以,

111111Rn?0?()1?1?()2?2?()3?????(n?2)?()n?1?(n?1)?()n

44444 则4

11?()n

?(n?1)(1)n?3111114Rn?()1?()2?()3?????()n?1?(n?1)?()n1?44444 4 两式相减得4 整理得Rn?13n?1(4?)94n?1

所以数列数列

?cn?的前n项和Rn?13n?1(4?n?1)94

【课后作业】

1、A 2、D 3、D 4、-49 5、当n为偶数时,Sn=n;当n为奇数时,Sn=-n

6、∵an=lgn?1=lg(n+1)-lgn n

∴Sn=(lg2-lg1)+(lg3-lg2)+…+(lg(n+1)-lgn)=lg(n+1)-lg1=lg(n+1) 12

7、解:设该数列公差为d,前n项和为sn.由已知,可得 2a1?2d?8,?a1?3d???a1?d??a1?8d?. 所以a1?d?4,d?d?3a1??0, 2

解得a1?4,d?0,或a1?1,d?3,即数列?an?的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.

3n2?n 所以数列的前n项和sn?4n或sn? 2

8、解:(Ⅰ)依题意有a1?(a1?a1q)?2(a1?a1q?a1q)

2a?02q?q?0 1 由于 ,故 2

又q?0,从而q?-12

12a1?a(?)?312 (Ⅱ)由已知可得

1n(41?(?))81nSn??1?(?))1321?(?)2 故a1?4

9、

数列的综合应用知识点总结经典例题解析高考练习题带答案

10.解:(1)、an?f(0)?f()?f()???f(1

n2nn?1)?f(1)(倒序相加) n

13

n?1n?21)?f()???f()?f(0) nnn

1n?12n?21?0???????1 nnnn?an?f(1)?f(

则,由条件:对任意x?R都有f(x)?f(1?x)?2。

2n?1)?2an?2?2?2???2?(

?an?n?1?an?1?n?2

?an?1?an?1

从而:数列{an}是a1?2,d?1的等差数列。

(2)、1111 ???an?an?1(n?1)(n?2)n?1n?2

1111????? 2?33?44?5(n?1)?(n?2)?Tn=

11111111n???? ?Tn=??????2334n?1n?22n?22n?4

n故:Tn= 2n?4

14

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