高中函数应用题模型全总结
山东 孙道斌
函数应用题主要有以下几种常见模型:
1、一次函数模型
例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.5元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月(30天)里,有20天每天可以卖出400份,其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同,则每天应从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元? 分析:每月所赚的钱=卖报收入的总价—付给报社的总价。而收入的总数分为三部分:①在卖出400份的20天里,收入为0.5x?20;②在可卖出250份的10天里在x份报纸中,有250份报纸可卖出,收入为0.5?250?10;③没有卖掉的(x?250)份报纸可退回报社,报社付出(x?250)?0.08?10的钱。注意写出函数式的定义域。
解:设每天应从报社买x份,易知250?x?400。设每月赚y元,得:
y?0.5x?20?0.5?250?10?(x?250)?0.08?10?0.35x?30
?0.3x?1050,x?[250,400]
因为y?0.3x?1050在其定义域上为增函数,
所以,当x?400时,每月所获的利润最大,最大值为ymax?120?1050?1170(元)。 答:每天应从报社买进400份,才能使每月所获的利润最大,每月可赚1170元。 评注:现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示,例如:匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长和拉力的关系等,对一次函数来说,当一次项系数为正时,表现为匀速增长,即为增函数,一次项系数为负时为减函数。
2、二次函数模型
例2某工厂生产的商品A,若每件定价为80元,则每年可销售80万件,政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税,为增加国家收入又要有利于生产发展,必须合理确定税率,根据市场调查,若政府对商品A征收附加税率为p%时,每年销售额将减少10p万件。据此,试问:
(1)若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元,求p的范围;
(2)若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高,求此时p的值。
分析:将税务部门对商品A征收的税金表示出来,注意考虑一些实际情况。 解:(1)设每年征收的税金为y万元,则y?80(80?10p)p%,
?p?0?由题意得:?80?10p?0,
?80(80?10p)p%?96?
解之得:2?p?6。
所以,p的范围是[2,6]。
(2)由题意知:??p?0, 80?10p?0?
?0?p?8,
由y?80(80?10p)p%??8(p?4)2?128,
?当p?4时,ymax?128。
答:当税率为4%时,税务部门获得最高税金128万元。
评注:在第二问即二次函数求最值问题,一定要注意隐含条件80?10p?0。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。
3、指数函数模型
例3某城市现有人口总数100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题:
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年);
(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年增长率应该控制在多少?
分析:本题为人口增长率问题,可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系,从而得到一般规律。
解:(1)1年后该城市人口总数为:
y?100?100?1.2%?100?(1?1.2%),
2年后该城市人口总数为:
y?100?(1?1.2%)?100?(1?1.2%)?1.2%?100?(1?1.2%)2,
3年后该城市人口总数为:
y?100?(1?1.2%)2?100?(1?1.2%)2?1.2%?100?(1?1.2%)3,
x年后该城市人口总数为:
y?100?(1?1.2%)x。
(2)10年以后该城市人口总数为:y?100?(1?1.2%)
(3)设x年以后该城市人口将达到120万人,
即100?(1?1.2%)?120,
?x?log1.0121.2?15(年)。 x10。 ?112.7(万)
(4)设年增长率为x,依题意有:100?(1?x)20?120,
即(1?x)20?1.2,
由计算器计算得:1?x?1.009,
?x?0.009?0.9%,
即年增长率应控制在0.9%以内。
评注:在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示为y?N(1?p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为 时间)的形式。
4、分段函数模型
例4通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越大),经过实验分析得知:
??t2?24t?100,0?t?10?f(t)??240,10?t?20,
??7t?380,20?t?40?
(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能坚持多少分钟?
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?
分析:对于分段函数,分别求出f(t)各段中的最大值,通过比较就可以求出f(t)的最大值。
22解:(1)当0?t?10时,f(t)??t?24t?100??(t?12)?244是增函数,且
f(10)?240。
当20?t?40时,f(t)??7t?380是减函数,且f(20)?240。
所以,讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能坚持10分钟。
,f(25)?205, (2)f(5)?195
所以,讲课开始后25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中。
2(3)当0?t?10时,令f(t)??t?24t?100?180,则t?4。
当20?t?40时,令f(t)??7t?380?180,则t?28.57。
所以,学生的注意力在180以上所持续的时间28.57?4?24.57?24。
所以,经过适当安排,老师能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。
评注:对于一些较复杂的问题,有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题,需先后或年同时构造、利用几个函数模型,即分段函数模型方可。
5、幂函数模型
例5在固定电压差(电压差为常数)下,当电流通过圆柱体电线时,其强度I与电线半径r的三次方成正比。
(1)写出函数解析式;
(2)若电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,求电流通过半径为r毫米的电线时,其电流强度的表达式;
(3)已知(2)中的电流通过的电线半径为5毫米,计算该电流的强度。
解:(1)I?kr(k为常数)。
(2)由(1)知:320?k?4,
解得:k?5。
所以,电流通过半径为r毫米的电线时,其电流强度的表达式为I?5r。
3(3)由(2)中电流强度的表达式,将r?5代入得:I?5?5?625安。 333
评注:本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题,关键是分清各个量的物理意义及相关关系。
6、对数函数模型
例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v?5log2O,单位是m/s,其中O表示燕子的耗氧量。 10
(1)计算,当燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?
解:(1)由题意,当燕子静止时,它的速度v?0, 所以,0?5log2O, 10
解得:O?10个单位。
(2)由耗氧量是O?80得:
v?5log280?5log28?15(m/s)。 10
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