初中函数总结含表格

来源:m.fanwen118.com时间:2021.9.20

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初中函数知识点总结

一.直角坐标系

(1)点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

(1)到x轴的距离等于y (2)到y轴的距离等于x (3)到原点的距离等于x2?y2 二.一次函数基本性质

1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,如果y?kx?b(k,b是常数,k

?0),那么y叫做x的一次函数。

当一次函数y?kx?b中的b为0时,

y?kx(k为常数,k?0)。这时,y叫做

x的正比例函数。

ll

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2.设两条直线分别为,1:y?k1x?b1 2y?k2x?b2

l1//l2?k1

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?k2且b1?b2。 若

l1?l2?k1?k2??1

3.平移:上加下减,左加右减。 4.较点坐标求法:联立方程组

三.反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地,函数

y?

k

x(kk?0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成

y?kx?1 或xy=k的形式。自变

量x的取值范围是x?0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。

2.图像与x轴、y轴都没有交点,

即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 3.图像既是轴对称图形又是中心对称图形

4.图像上任意一点向坐标轴作垂线,与坐标轴所围成矩形面积等于|k|

5.反比例函数解析式只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。 四、二次函数基本性质

二次函数的概念:一般地,如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x 的二次函数。

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2

y?ax?bx?c中,a,b,c的作用: 1、抛物线

a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上,,, a<0时,抛物线开口向下

b与对称轴有关:对称轴为x=

?

b

2a,a与b左同右异

c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)

2、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的??b?4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?>0时,图像与x轴有两个交点; 当?=0时,图像与x轴有一个交点; 当?<0时,图像与x轴没有交点。

8、平移:y?a?x?h??k可以由y?ax平移得到。上加下减,左加右减。

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2

2

2

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第二篇:初中函数大总结 5100字

考点一、正比例函数和一次函数 (3~10分)

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地,如果y?kx?b(k,b是常数,k?0),那么y叫做x的一次函数。 特别地,当一次函数y?kx?b中的b为0时,y?kx(k为常数,k?0)。这时,y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数y?kx?b的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数y?kx的图像是经过原点(0,0)的直线。

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4、正比例函数的性质,,一般地,正比例函数y?kx有下列性质:

(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;

(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质,,一般地,一次函数y?kx?b有下列性质:

(1)当k>0时,y随x的增大而增大

(2)当k<0时,y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y?kx(k?0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y?

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kx?b(k?0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

拓展:常用的方法

基本知识:

1、直线斜率:y2?y1 b为直线在y轴上的截距 k?tan??x2?x1

2、直线方程: 一般两点斜截距

3,一般 一般 直线方程 4,两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两点式:

ax+by+c=0 或者带入y?kx?b(k?0)

具体求解法

1.一般求解法就是两点法; 设方程y?kx?b(k?0)将两坐标值带入。 2,点斜 知道一点(x,y)与斜率k y?y?k(x?x)1111

3,斜截 斜截式方程,简称斜截式: y=kx+b(k≠0)

式方程,简称截距式: 4,截距 由直线在x轴和y轴上的截距分别为a,b确定的直线的 xy??1 注意:a,b只有正值,即;在x轴ab

和y轴的线段长度

5、设两条直线分别为,l1:y?k1x?b1 l2:y?k2x?b2

若l1//l2,则有l1//l2?k1?k2且b1?b2。

若l1?l2?k1?k2??1

6、点P(x0,y0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离:

d?kx0?y0?b

k?(?1)22?kx0?y0?bk?12

对于点P(x0,y0)到直线滴一般式方程 ax+by+c=0

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滴距离有

7.中点坐标定理:已知两点a(x1,y1) b(x2,y2),则以a,b为端点的线段终点坐标为C ((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)

考点二、反比例函数 (3~10分)

1、反比例函数的概念 一般地,函数y?

?1k(k是常数,k?0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以x写成y?kx的形式。自变量x的取值范围是x?0的一切实数,函数的取值范围也是一切

非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0,函数y?0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

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确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?

k

中,只有一个待定系数,x

因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k

(k?0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,x

k

则所得的矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy。 ?y?,?xy?k,S?k。

x

如下图,过反比例函数y?

二次函数

考点三、

(1)二次函数的概念和图像 (3~8分) 1、二次函数的概念

一般地,如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x 的二次函数。

2

y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x??

b

对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征:

①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法

五点法:

(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴

(2)求抛物线y?ax2?bx?c与坐标轴的交点:

当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。

(2)二次函数的解析式 (10~16分)

二次函数的解析式有三种形式:

(1)一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0)

(2)顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数,a?0)

(3)当抛物线y?ax2?bx?c与x轴有交点时,即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2),二次函数y?ax2?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点,则不能这样表示。 2

(3)、二次函数的最值 (10分)

如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当

b4ac?b2

x??时,y最值?。 2a4a

如果自变量的取值范围是x1?x?x2,那么,首先要看?b是否在自变量取值范围2a

b4ac?b2

时,y最值?;若不在此范围内,则x1?x?x2内,若在此范围内,则当x=?2a4a

需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当

2x?x2时,y最大?ax2?bx2?c,当x?x1时,y最小?ax12?bx1?c;如果在此范围内,

2y随x的增大而减小,则当x?x1时,y最大?ax1?bx1?c,当x?x2时,

2y最小?ax2?bx2?c。

(4)二次函数的性质 (6~14分)

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2

2、二次函数y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0)中,a、b、c的含义:a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上,,, a<0时,抛物线开口向下

b与对称轴有关:对称轴为x=?

b

2a

(0,c) c表示抛物线与y轴的交点坐标:3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的??b?4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?>0时,图像与x轴有两个交点;

当?=0时,图像与x轴有一个交点;

当?<0时,图像与x轴没有交点。

1.定义:一般地,如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x的二次函数.

2y?ax2.二次函数的性质 2

(1)抛物线y?ax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.

(2)函数y?ax的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

2(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax(a?0). 2

3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

24.二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成:y?a?x?h??k的形式,其中

b4ac?b2

h??,k?. 2a4a

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①y?ax;②y?ax?k;③y?a?x?h?;④y?a?x?h??k;⑤y?ax?bx?c. 22222

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向:当a?0时,开口向上;当a?0时,开口向下;

a相等,抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地,y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.

b?4ac?b2?28.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:y?ax?bx?c?a?x?,??2a?4a?2

bb4ac?b2

(?)∴顶点是,对称轴是直线x??. 2a2a4a

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式,得到顶2

点为(h,k),对称轴是直线x?h.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线

的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.

9.抛物线y?ax2?bx?c中,a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小,这与y?ax中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线 22

bb,故:①b?0时,对称轴为y轴;②?0(即a、b同号)时,对称轴a2a

b在y轴左侧;③?0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. ax??

(3)c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

2 当x?0时,y?c,∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0,c): 2

①c?0,抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴;③c?0,与y轴交于负

半轴.

以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则

b?0. a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

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11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式:y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.

(2)顶点式:y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 2

(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y?a?x?x1??x?x2?.

12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0, c).

2 (2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点2

(h,ah?bh?c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元

二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切;

③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐

标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.

2 (5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的2222

交点,由方程组 y?kx?ny?ax?bx?c2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时

②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点;③方程组无?l与G有两个交点;

解时?l与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为

A?x1,0?,B?x2,0?,由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根,故

bcx1?x2??,x1?x2?aa

AB?x1?x2?

x1?x22

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b2?4ac??b?4c2?x1?x2?4x1x2???????aaa?a?2

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