二次函数基础知识

²  相关概念及定义

Ø  二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数[l1] ．

Ø  二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

²  二次函数各种形式之间的变换

Ø  二次函数用配方法可化成：的形式，其中[l2] .

Ø  二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤[l3] .

²  二次函数解析式的表示方法[l4] 

Ø  一般式：（，，为常数，）；

Ø  顶点式：（，，为常数，）；

Ø  两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

Ø  注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

²  二次函数图象的画法[l5] 

Ø  五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

Ø  画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

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问当m为何值时是二次函数

给出过程

分别需要哪些信息可以求得函数表达式？

将转化为其它两式

画函数图像

大的开口大还是小？

 

第二篇：二次函数直击中考-基础1

二次函数知识点总结及相关典型题目(基础）（一）

第一部分 基础知识

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质

（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.

（2）函数的图像与的符号关系.

    ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.

3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

  ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

  ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

 （1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

      用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线中，的作用

 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：

      ①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）

        时，对称轴在轴右侧.

 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

      当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

      ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

      以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

12.直线与抛物线的交点

 （1）轴与抛物线得交点为(0, ).

 （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

 （3）抛物线与轴的交点

      二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

  （4）平行于轴的直线与抛物线的交点

      同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

  （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组  的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

  （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故，

     

第二部分 典型习题

1．若（2，5）、（4，5）是抛物线上的两个点，则它的对称轴是 （     ）

A、           B、             C、           D、 

2．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则                                                （     ）.   A、，       B、，      C、，      D、，

3．若是二次函数，则m=       .

4．抛物线的最低点坐标是       ，当x      时，y随x的增大而增大.

5．已知二次函数的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为           ，它与x轴的交点的个数为     个.

6．若y与成正比例，当时，，那么当时，y的值为       .

7．已知二次函数的图象经过点（3，2）.

（1）求这个二次函数的关系式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

（3）当时，求使的x的取值范围.

1、二次函数图象上部分点的坐标满足下表：

则该函数图象的顶点坐标为（　　）

A.                 B.               C.         D. 

2、已知二次函数图像的顶点在原点O，对称轴为轴.一次函数的图像与二次函数图像交于点A，且A点坐标为（-4，4），求此一次函数与二次函数的解析式.

 

3、如图，是二次函数的图象，则＝____________．

4、若A（－，），B（－1，），C（，）为二次函数图

   象上的三点，则、、的大小关系是__________________.

5、已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的关系式.

1.已知：抛物线与轴交点的横坐标为，则___________.

2.已知抛物线与轴交于两点,,且，则的值是        ．

3.已知二次函数的图象和轴有交点，求的取值范围.

4.已知抛物线.（1）求证：该抛物线与轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与轴的两个交点分别为A,B，且它的顶点为P，求的面积.

4.有一个附有进水管的容器，每单位时间内进出的水量都是一定的，设从某一时刻开始的4分钟内只进水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量之间的关系如图所示

（1）每分钟进水多少？  （2）时，x与y有何关系？ （3）若12分钟后只放水，不进水，求y的表达式。

1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是__________

2.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱。（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式。

（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式。

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

23．（7分）（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴；

（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．