二次函数的图象

 1、二次函数的性质

2、 二次函数解析式的几种形式：

    ①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）

    ②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。

    ③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。

 3、求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法

   ①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。

    ②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当

4、抛物线与x轴交点情况：

    对于抛物线

    ①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。

    ②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

    ③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。

5、求根公式：

 

第二篇：二次函数图像与性质(2)

二次函数的性质（2）

二次函数的顶点是（h,k），对称轴是x=h.这种形式叫二次函数的顶点式。

那么对于一般的二次函数 (a≠0)我们可以通过配方的方法求出其顶点坐标和对称轴。对称轴为x=-；

例1.求下列函数的顶点坐标和对称轴。

 （1）                         （2）        

例 2.根据下列条件求二次函数解析式。

（1）已知二次函数的图象的顶点是（-1，2），且经过点（1，-3）。

（2）已知二次函数的图象经过（0，3），（4，6）两点，且对称轴为x=.

 (3)抛物线 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线  

   上。

例3．   已知二次函数的图象与X轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2，求此函数解析式。

例4.已知抛物线y=ax+bx+c  (a≠0)与x轴的两个交点的横坐标分别为 -1和3。与y轴的交点的纵坐标为 －。

(1)确定抛物线的解析式。

(2)用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标。

例5.已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是M（1，16）且与X轴交于A，B两点，已知AB=8，求抛物线的解析式。

例6.已知抛物线y=ax+bx+c（a>0）的顶点为B（-1, m）并经过点A（-3,0）

（1）求此抛物线的解析式（系数和常数项用含m的代数式表示）

（2）若由点A,原点O与抛物线上一点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求m的值。

练习：

1．    请写出一个开口向上，对称轴为x=2，且与 y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式_______________________.

2．    已知抛物线y=ax+bx+c与x轴交点的横坐标分别为－1和3，与y轴交点的纵坐标为 

   1，则函数解析式为_________________________.

3、若抛物线过坐标原点，则a的值为(      )

  A、a=2或a=-3  B、a=-2或a=3     C、a=-1或a=6 D、a=6

4.若抛物线y= x+(m-3)x－2m的顶点在y轴上，则m=________.

5.若抛物线y= x+4x+m的顶点在x轴上，则m=________.

6、若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值是         。

7．已知抛物线与y轴的交点为（0，a）,与x轴的交点为（b,0）和(-b,0),若a＞0,则函数解析式为（     ）

    A.   B.    C.    D.

8.抛物线y= x+bx+c与y轴交于A点，与x轴的正半轴交于 B，C两点，且BC=2，S=3，则b的值为（    ）

A.  －5    B.  －4      C .4     D.  4或－4。

9．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的解析式为（      ）

 A. y= x+4x－3.   B. y= x－4x－3.  C.  y= －x+4x－3.  D.  y= －x－4x－3.

11.。若抛物线的顶点坐标为（2，3）且点（3，1）在抛物线上，则抛物线的解析式为（   ）

  A. y=2 x+8x－5.   B.  y=－2 x+8x－5.  C. y=2 x－8x+5.   D. y=－2 x+8x+5.

12、A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是抛物线上的两点，若，则y与y₂的大小关系是(   )

   A、y₁＞y₂               B、y₁≥y₂             C、y₁＜y₂                    D、y₁≤y₂

13、若抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则a的取值范围是(   )

     A、a＜2              B、a＞2         C、a＞0         D、0＜a<2

14.根据下列条件求二次函数的解析式：

（1）已知当x=2时，y有最小值3，且经过点（1，5）。

（2）二次函数的图象经过点（3，8），对称轴x=2,抛物线与x轴两交点的距离为6。

15．一条抛物线y=ax+bx+c经过点（0，0）和（12，0），最高点的纵坐标为3，求这条抛物线的解析式。

16．在平面直角坐标系中，二次函数y= x+bx+c的图象与X轴的负半轴交于点A，与X 轴的正半轴交于点B，与Y轴交于点C，点C的坐标为（0，－3），且BO=CO。

（1）求这个二次函数的解析式。

（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长。

17．一男生推铅球，铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是二次函数

y=－,你能求出这位男生铅球推出的距离吗？

作业：

1、抛物线的顶点坐标为(   )

A、(-2，1)        B、(2，1)             C、(1，0)             D、(0，1)

2、将抛物线先向左平移两个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是(   )
  A、     B、   C、   D、

3、将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的顶点坐标为(   )

  A、(-1，2)        B、(3，-7)            C、(1，-7)            D、(3，1)

4、A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是抛物线上的两点，若，则y₁与y₂的大小关系是(   )

  A、y₁＞y₂                B、y₁≥y₂             C、y₁＜y₂                    D、y₁≤y₂

5、若抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则a的取值范围是(   )

  A、a＜2            B、a＞2         C、a＞0         D、0＜a＞2

6、抛物线与抛物线的形状相同，对称轴，则直线必过(   )

  A、一、二、三象限               B、一、二、四象限    C、二、三、四象限     D、 、三、四象限

 7、在抛物线中，若y随x的增大而增大，则x的聚会范围是(   )

  A、         B、       C、        D、

8.如图，P是抛物线上的一个动点，设P点坐标为(x，y)，已知点A的坐标为(4，0)。

  (1)写出△OPA的面积S与x之间的函数关系式。

(2)在抛物线上能否找到一点Q，使OQ=QA，若能，求出Q点的坐标；

若不能，说理由。

9、抛物线 (m,a是不为0的常数)的顶点为A，抛物线的顶点为B。

(1)判断点A是否在抛物线上，为什么？

(2)如果抛物线经过点B，求a的值。

10、抛物线与y轴交于点C(0，5)，与x轴的正半轴交于A、B两点(B在A的右侧)，对称轴x=3且△ABC的面积为10。

  (1)求抛物线的解析式

  (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，使S_△PAB=S_△ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请