数学建模论文学习总结

数学建模论文学习总结

        论文对应试题:

         一、20##年国赛B题 碎纸片的拼接复原  3篇

         二、20##年国赛A题 车道流量        3篇

         三、20##年国赛B题 葡萄酒

        

*以上论文按序分别记为 ① —— ⑩ ,具体顺序请看附录

接下来将针对不同题目的论文进行学习总结

一、碎纸片的拼接复原

1.1建模思路

         三篇文章的基础都是以matlAB中的图像处理函数为基础,将图片信息转为矩阵的数值信息,接下来对不同图片的数值信息进行运算、操作从而达到拼接的目的。

         imread函数可直接获得图片的灰度矩阵信息

         收获:matlAB中的图像处理函数可以有效地让图像问题转化为数值问题

                     相关系数法的应用也可以用在距离关联上

                     图论算法在解决非数值问题上的优势

                     分类讨论的重要性(先拼层,在层间拼接)

                    

1.1.1论文①

         ·建模框架:

         以MATLAB中的图像处理函数imread为基础,利用纸片边缘对应的矩阵信息,采用穷举法进行判断,即确定第一张后,每一张都与其匹配,从而得到拼接顺序

         问题一,此部分是该论文的基础,在确定了imread函数处理和穷举法匹配后,该文章列出了几种不同的碎片比较方法,即最短距离法,欧式距离法,相关系数法。把碎片拼接问题转化为两组数是否吻合的问题。这里三种方法的应用比较厉害。用很简单的公式,解决了比较复杂的问题,比起其他文章大量的复杂公式,应该是占据上风。在确认拼接的部分,文章采用了求相对平均偏差的做法,使得拼接结果更可靠,文章也更有说服力。并在对附件一进行拼接时分别采用了二值法和不采用二值法。

         问题二,文章非常精彩的采用了“分层”和“涂黑”的作为基础,周全的考虑到了中文字体高度相同,英文字母高度不一、碎片空白等问题,采用了聚类分析等办法。并且由于数据改变(从“竖条”变成“小块”),采用了不同的比较方法。

         问题三,文章不分正反面,相当于拼接2张,但是由于难度增加,人工干预明显增加,是本文的一个弱点。

         ·特征优势及创新

写作部分非常好!内容有序,没有赘述,语言精练。在各个模型下都有一张思路清晰,又非常美观的流程图。在一些重点部分也有流程配图。让读者非常清晰地了解其模型的运行情况。文字叙述部分,段落、分级要点都非常的清晰,整篇论文也是循序渐进,由浅入深,从思路到模型到利用模型拼接井井有条,不过在一些计算数据的表示上却有些凌乱

     

             流程图                                  计算数据

                  

在文章的模型方面,该文章循序渐进,很好的捕捉了题目的要求,对碎片复原问题由简到繁,从纵切的基础上一点点的改变切割条件,解出余下问题。在碎片的拼接部分,文章在一开始就列出了三种方法,而后在每一个问题中都对三种方法进行了比较。

        

1.1.2论文②

         ·建模框架

         将碎片拼接问题转化为有限个碎片的排序问题(注意到这里是排序而上一篇是穷举匹配),利用图论算法,旅行者问题对排序问题进行求解。再借助灰度图像中聚类方法的最小色差法,得到匹配距离,以此表示碎片间的差异大小。

         问题一,先以旅行商问题为基础,图片的匹配顺序就可以由图论得出结果

         利用哈密尔顿路径,这样所得到的顺序一定是全局最优的,即是最终结果。

         但是在不同图片之间,仍需要判断它们的与前一张碎片的匹配程度,文章用到了计算匹配距离的方法。借鉴灰度图像的聚类方法中的最小色差法,在这里,采用两两图像边缘像素

点的差异大小作为衡量标准,以此判别两张碎纸片图像匹配的可能性。所以在这里的匹配距离等价于差异大小。

         问题二,考虑纸张被纵切会有一些碎片行,所以先根据文本行特征得到碎片行分组。

接着,利用问题一基于旅行商问题的拼接策略得到每个碎片行分组的拼接排列,得到被

还原的碎片行。再根据问题一基于旅行商问题的拼接策略将碎片行纵向拼接。但由于横纵切割的复杂性,文章先进行边界碎片查找,找到边界部分白色纸张碎片;接下来进行分行拼接。

在样本总体选取各行的碎片这一部分,文章根据中英文字体的不同,建立了中英文不同的行距特征向量进而分行拼接。

         问题三,在这部分拼接思路与问题二相同,但是由于双面拼接的特点,文章将文本行距匹配距离替换为正反文本行距匹配距离,并且模型改进为多旅行商问题。

         ·特征优势及创新

         采用图论算法,旅行商问题来解决拼接顺序问题,这样在距离匹配后可以更好的得到结果,大大减少了人工干预。

         程序运用比较出色。

         但是在文章叙述方面有些赘余,并且写作部分有待加强,很多地方公式凌乱,看起来不美观。

 

        

1.1.3论文③

         ·建模框架

         建立信息矩阵,获得碎片矩阵信息后,在计算匹配度后采用TSP模型求解整体最优匹配度得到匹配序列。在横纵切问题中同样采取对中英文碎片分别取特征向量,进行分行聚类的办法。

本文与②的思路基本一致,但是从各方面来说,都是②的升级版,所以在特征优势部分进行主要总结

         ·特征优势及创新

         相比于②来说,基本算法和思路都是一样的,但是由于本文写作方面比较优秀,思路清晰,深入浅出,在关键步骤有流程图,较之前者有较大优势

         在本文最后还有对模型的进一步改进,并不只局限于本题。

         而在问题二中的人机交互软件的问题,我的水平有限,不知道算是画蛇添足还是锦上添花。

        

二、车道被占用对城市道路通行能力的影响

2.1建模思路

         第一二问观察视频材料

         第三四问建立交通波模型和排队论模型,把车道通行能力用交通流的数值表达,再通过计算机仿真计算排队长度

2.1.1论文④

         ·建模框架

         文章建立了排队模型,将车辆车道问题抽象标准排队论的服务台问题。即车道为服务台,车辆为顾客。并将车辆到达近似为泊松分布 ,由于红绿灯的影响,车辆到达会有明显的周期性。在简化问题与实际情况的原因下,文章将实际通行能力抽象成为车道横截面车流量。

         文章也建立了交通波模型,利用格林希尔治模型,以及交通流量模型,推导出了排队时长与通行能力的关系。

         问题一,观察材料,人工计数得到材料中车流量的情况,再进行整理,并表格化,图像化,最后进行结合实际的阐释

         问题二,同上

         问题三,建立交通波模型

       而在这里可以由交通运输方面的知识推导出最终的公式,接下来要做的就是确认所得公式是不是能反映实际情况。通过比对前两问所得数据,再进行计算机仿真,最终结果发现模型符合实际。

         问题四,在这里相当于一个预测问题,但是由于三四问的相似性,修改一部分问题三的模型和仿真代码即可在问题四应用,得到预测结果。

         ·特征优势及创新

         在计算机仿真部分有清晰明了的流程图

         建立模型不繁琐,两个模型都很好的应用到了问题中,没有赘余的部分

         在模型评价的部分,文章在说明优点后,用了大量篇幅非常详细具体的进行了对自己模型的改进,个人认为是一个闪光点

         在最后有一个模型推广部分,这使得这篇文章又提高了一个层次

        

2.1.2论文⑤

         ·建模框架

         问题一,文章不仅仅是单一的采集视频中的数据,还采用了插值拟合的方法对材料所给交通情况进行了补充,并利用多个软件做出了多个图表来反映通行情况

         问题二,与问题一类似,文章也是 得到了多个图表

         问题三,文章利用多项式进行模拟,思路很好,用简单的公式解决复杂的问题,但是似乎有些凌乱,不能很好的反映结果,而且有很多模型都没有说明,让人云里雾里,最后所得关系也是复杂凌乱

         问题四,沿用多项式进行预测,所得结果在常识方面就是错的

         ·特征优势及创新

         本文应当说是很不成功,可以做一个反面典型。

         在写作方面,毫无章法,在分点叙述的部分很乱,不容易让人有一个清晰的认识,在公式和图表方面也是没有统一格式和排版,会给文章大打折扣

    

         在建模方面,没有清晰的建模思路,前两问的优势是图像很多,但是却不能清晰的表达问题的实质。而在后两问,没有具体的模型和方法,有些东拼西凑的感觉,最后导致结果也是相差甚远。

2.1.3论文⑥

         ·建模框架

         以观察材料得来的数据为主进行一二问的解答

         通过车流波动理论分析排队模型,在三四问再结合数据进行模拟

         问题一,问题二,观察视频得到车流数据,在这里文章并没有将自行车,摩托车等非主要车辆忽略,而是对其进行了初始模糊划分,并由初始聚类中心得到了各种车辆的换算系数。

将得到的数值处理后图像化,第二问中同时也有对比。

         问题三,文章通过车流波动理论建立排队模型,

         通过公式的推导,最终得到关系式

         问题四,在第三问的基础上,带入相应数据,便可以得到结果。

         ·特征优势及创新

         在第一问中采取模糊划分

         在关键部分有配图

         所得公式较为简单,解决了复杂的问题

三、葡萄酒的评价

3.1建模思路

         问题一采用显著差异性模型判断没有显著差异,进而用其他检验方法确定更可靠的一组

         问题二用适当方法确定权重,进而利用评价方法得到评价

         问题三采用相关分析,确定不同因素的关系

         问题四采用多元回归分析来确定多个指标对葡萄酒质量的影响

3.1.1论文⑦

         ·建模框架

         问题一,采用排序检验法对总分进行排序,根据不同排序的秩次求样品的秩和,最后通过秩和的wilcoxon符号秩检验,非参数检验方法评价结果是否有显著差异。最终判断结果可靠是通过方差来判断,方差小的那一组更可靠。并且采用两种评价检验使得结果准确。

         问题二,对芳香指标和香气评分进行相关性分析,反映了二者的关系密切程度。又进行了基于TOPSIS法的秩次排序,确定理想点并计算各样本与其的接近程度,而后进行秩次排序。在多重比较的基础上,进行了葡萄酒的分级。

         问题三,由于指标数目多,所以考虑先对各指标进行降维,减少指标个数。文章采用了主成分分析的方法。接下来对两组主成分进行了回归分析并检验。

         问题四,因为前三问已经将葡萄酒的质量和酿酒葡萄的理化指标转化成了秩和,所以文章在此将葡萄酒的理化指标也转化为秩和。方法同上。接下来对三种排序做了相关性检验,得到了结果。

         ·特征优势及创新

         文章写作条理清晰,辅以图片。

         建模思路上层层递进,先介绍解决问题的方向,再按此方向进行解题,并且全文一直在应用秩和排序和相关性检验,可见作者功底深厚。

        

3.1.2论文⑧

         ·建模框架

         问题一,采用Wilcoxon符号秩检验,同时,由于平均评分符合正态分布,采用正态检验对Wilcoxon符号秩检验结果进行验证

         问题二,多元线性回归是研究多个自变量与一个因变量间是否存在线性关系(相互依存关系),并用多元线性回归方程来表达这种关系(或用回归方程定量地刻画一个因变量与多个自变量间的线性依存关系)的数学分析方法。问题正是要求出葡萄的多个理化指标和葡萄酒的质量之间的联系,因此本文采用多元线性回归模型。

         问题三,利用统计回归模型,将多元线性回归和协方差阵综合起来,相当于多个自变量与多个因变量之间的线性关系。

         问题四,

         ·特征优势及创新

         多元线性回归运用很多,一个模型解了多个问题

         在回归方程的表示上非常清晰:

3.1.3论文⑨

         ·建模框架

         问题一,文章分为三部分:

         步骤一:葡萄酒样本评分概率分布的确定,其目的是确定显著性差异模型的类型; 

步骤二:两组评酒员评价结果的显著性差异模型的建立,主要通过Wilcoxon符号秩检验法进行显著性差异的假设检验; 

步骤三:建立秩相关分析评价模型,并通过该模型判断两组品酒员评价结果在可信度方面的优劣。 

问题二,

步骤一:酿酒葡萄27种指标之间的关系研究,目的是构建评价模型的指标体系; 

步骤二:建立综合评价模型,并通过该模型对步骤一得到的指标进行多指标综合评价,以对酿酒葡萄进行分级。

问题三,

步骤一:建立典型相关分析模型,其目的是分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的典型相关关系; 

步骤二:根据上面的分析给出酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系

问题四,

步骤一:对样本进行随机筛选,选择??nnN?个进行分析; 

步骤二:在问题三分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标间联系的基础上对样本指标进行初步筛选; 

步骤三:利用筛选后的指标与葡萄酒质量评价结果,建立多元线性回归模型; 

步骤四:然后根据剩下的??Nn?个样本对的酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标,对葡萄酒质量求解得到的多元线性回归方程进行验证

         ·特征优势及创新

         多元线性回归特征清晰

         文章整体思路清晰流畅

 

第二篇:数学建模论文借鉴下!

第 1 页共 22 页奥运会临时超市网点设计摘 要:本文首先对问题1 中的问卷调查结果用基于层次分析模型的可信度判断矩阵进行了可信度检测。然后,对所给的调查结果进行统计分析,得出了观众“出行、餐饮和购物三个事件相互独立”等规律。在问题2 的求解过程中,我们从全局出发,考虑了属于某一场馆的每个商区受到其他商区对其人流量分布的叠加影响。对问题3,我们依次建立了基于概率理论的静态模型和基于热传导理论的人员疏散模型。在模型一中,我们根据经济学中的“边际效用”理论,考虑到不同环境对顾客购买欲望的影响,引入了“购买欲望影响因子”的概念,将顾客的购买欲望对商区销售额的影响统一用“影响因子”来刻画。因此将此模型应用到其他区域店铺选址问题时仅仅改变“影响因子”的形式即可。并且,我们用三元组(起点,目标看台所对应商区,终点)来描述具有相同“购买欲望影响因子”序列的一类人的行进路线。在模型求解中,我们通过构造两种不同的“购买欲望影响因子”来说明其对销售额的影响,并通过分析和归纳,得到了“在运动场馆出入口宜兴建大型迷你超市”的结论。在模型扩展中,考虑到现实中人员密度具有自动调节的特性,从而提出了一个建立在负反馈理论基础上的模型,这个模型可以用于诸如运动场、电影院、机场等大型集散场所周边的人员疏散问题中。最后,我们以向量形式给出问题 2 的解答如下(单位:%):{ } { } 1 2 10 , ,..., 5.6400,4.0122,4.8661,5.7201,6.5740,13.3255,6.3326,5.4787,4.6248,3.7708 A A A ={ } { } 1 2 6 B ,B ,...,B = 3.8752,3.0213,3.8996,3.0213,3.8752,8.1693{ } { } 1 2 3 4 C ,C ,C ,C = 2.5862,3.0934,2.5862,5.5273关键词:行进路线;边际效用;购买欲望影响因子;扩散模型第 2 页共 22 页一、 问题重述奥运会期间,在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点,称为迷你超市(Mini Supermarket, 以下记做MS)网,以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求,主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆周边地区设置的这种MS,在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求:满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。在由真实地图简化得到的比赛主场馆规划图中,有道路、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等。为了得到人流量的规律,可在已经建设好的某运动场通过对预演的运动会的问卷调查,了解观众(购物主体)的出行和用餐的需求方式和购物欲望。按照以下步骤

设计 MS 网点1.根据给出的问卷调查数据,找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。2.假定奥运会期间(指某一天)每位观众平均出行两次,一次为进出场馆,一次为餐饮,并且出行均采取最短路径。依据1 的结果,测算每个商区的的人流量分布(用百分比表示)。3.如果有两种大小不同规模的 MS 类型供选择,给出每个商区内MS 网点的设计方案(即每个商区内不同类型MS 的个数),以满足上述三个基本要求。4.阐明所用方法的科学性,并说明所得结果是贴近实际的。二、 模型假设1) 商区与商区之间的距离比车站、商场、餐厅与各场馆的距离小得多,当计算到达各场馆的最短路径时,可忽略穿过商区带来的额外路程。2) 所有场馆每天接待的观众人数均达到其最大容量。我们认为,对于奥运会这种重大的赛事,这条假设是合理的。3) 根据最短路径的假设,观众从入口商区到目标看台的路线要使得所经过的商区数尽量少。因此,当前进道路分成两条时,观众总是选择经过商区较少的一条。比如,某观众在B3,欲前往B1,则其选择路径必然为B3-B2-B1,而不可能是B3-B4-B5-B6-B1。4) 有着相同行进路线的任何人在到达该行进路线上的任意第 m 个商区时,会产生第 3 页共 22 页相同的购物欲望。5) 地图左下角的商场对距离它较近的商区的销售额的影响可以忽略。由于迷你超市是临时性的,并且经营一些奥运纪念品之类的特殊商品,而这些商品大多在传统商场中买不到,因此我们认为这样的假设是合理的。三、 符号说明, , Ai Bj Ck (i =1,...,10, j =1,...,6,k =1,...4):分别表示场馆A、B、C周围各个商区。Aij(或ij B 、ij C ):以Ai(或i B 、i C )商区为目的地的人因途经j A (或j B 、j C )而对j A (或j B 、j C )的贡献,在问题2 中为对人流量的贡献,在问题3 中为对购买需求的贡献。( 1,...,10) i a i = {或( 1,2,...6) i b i = , ( 1,2,3,4) i c i = }: i A (或i B , i C )商区对准看台的上座人数,由假设2,这些参数固定为1 万人。j A (或j B 、j C ):到其他看台而途经j A (或j B 、j C )的观众人数。Ai S (或Bi S 、Ci S ):观众进入体育场馆时经过商区i A (或i B 、i C )的人流总数。Ai S ′ (或Bi S ′ 、Ci S ′):观众由场馆内外出就餐时经过商区i A (或i B 、i C )的人流总数。Ai F (或Bi F 、Ci F ):商区i A (或i B 、i C )一天内总的人流量分布(百分比)。total :观众总人数,固定为20万Avg :每个观众的平均购买需求其他符号使用时再予以说明.四、 模型建立及求解?? 对问题 1 的回答参考文献[5]显示,社

会性问卷调查通常都会受到所谓“谎言”问卷的影响,导致样本总体的“可信度”降低。另一方面,导致“谎言”产生的原因很复杂,甚至一些原因是被访者主观无法避免的。由此,我们认为对问卷调查结果进行“可信度”测试是必要的。这里,我们认为一种可行的方法是仿照层次分析模型中的“成对比较矩阵”,对提第 4 页共 22 页出的 12 个问题建立“判断矩阵”来确定“可信度”大小。11 12 13 121 22 32 231 32 33 31 2 31 2 3123mmmm m m mmG mb b b bb b b bb b b bm b b b bLLLLM M M M O ML元素bij用来度量问题i相对问题j出现谎言的可能性。然后计算各答案出现“谎言”的概率。由于bij是在相互比较中确定的,因此他们具有交互作用,我们只宜采用几何平均法求其均值,即1( 1,2,..., )mi m ijiB b i m== Π = 。然后对向量1 2 3 ( , , ,..., )Ti m β = B B B B 做归一化处理, 就可得到特征向量1 2 31( )T , ii m i miiβα αα α α αβ== =ΣL 即为回答第i 个问题出现谎言的概率。由于在实际中恰当的估计判断矩阵中各个问题之间的相对可信度,并使判断矩阵通过“一致性检验”通常不是一件轻松的工作,它需要采集大量的数据并对问卷调查表进行精心的设计。因此,我们考虑采用统计分析的方法确定调查数据的可信度。方法是分别统计出三次问卷调查结果中乘坐公交车,出租车,地铁,私车的人数,吃中餐,西餐,在商场就餐的人数以及处在不同消费档次的总人数,然后依据上述8 个调查结果构造每一次问卷调查的特征向量并做归一化处理,计算三次问卷调查两两的相关系数如表格 1所示:相互关系 1-2 1-3 2-3相关系数 0.98939 0.97424 0.99333表格 1从结果来看,三次调查结果可信度很大。通过计算不同选项及他们的“和事件”的概率,我们得到观众在出行、用餐、购物第 5 页共 22 页等方面具有如下规律:1. 在交通工具方面,观众中有三分之一左右的人选择乘坐公交汽车,有接近40%的人选择乘坐地铁,有接近五分之一的人选择乘坐出租汽车,剩下的大约十分之一的人选择乘坐私车。具体百分比如图 1 所示:交通工具统计图34%38%19%9%0%5%10%15%20%25%30%35%40%公交汽车地铁出租车私车图 12. 在餐饮方面,有超过五分之一的人选择吃中餐,有超过一半的人选择吃西餐,剩下四分之一左右的人选择在商场就餐。具体百分比如图 2 所示:用餐方式统计图22%53%25%0%10%20%30%40%50%60%中餐西餐商场就餐图 2第 6 页共 22 页3. 在消费额方面,各档次的人数在总人数中的比

例如图 3 所示:消费额统计图19.43%24.80%44.04%9.27%1.48% 0.97%0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%0~100元100~200元200~300元300~400元400~500元500元以上图 34. 年轻人似乎偏爱吃西餐,而年纪大一些的观众则更多的选择中餐和在商场就餐。得到这种结论的依据是,20 岁至30 岁年龄段的人吃西餐的概率(61.93%)远大于年龄在50 岁以上的人吃西餐的概率(27.44%)。5. 另外,我们发现交通方式、就餐方式、和消费之间几乎没有联系,例如:乘坐公交车并吃中餐的“和事件”概率为7.99%,而这两个事件分别的概率为34%和22.5%,乘积为7.65% ≈ 7.99%。由随机事件的独立性定义我们可以认为乘坐公交车和吃中餐是相互独立的两个事件。类似的,我们考虑了所有可能的组合,发现上述三个问题的回答之间没有明显的联系。因此我们把交通方式、就餐方式和消费看成彼此独立的事件,以下的模型是基于这一假设建立的。?? 对问题 2 的回答我们将该问题分为两个部分。一是观众进入体育场馆时引起的商区人流量分布,二是观众离开体育场馆外出就餐时引起的商区人流量分布。这两种情况以下分别简称“入场”和“出场”。?? 首先考虑入场时的情况。1. 对最短距离的确定第 7 页共 22 页观众从车站下车后先途经各条街道到达入口商区,再穿过若干商区到达目标看台。由假设1,我们忽略各商区间的距离,则得到如下结论:观众从其下车处到场馆的最短路径等于从其下车处到入口商区的距离。由题目中图2 可见:每个体育场馆都有两个入口商区,分别是A 区为1 A , 6 A ;B 区为3 B , 6 B ;C 区为2 C , 4 C 。根据上述结论,我们采用连线的方法计算最短路径。首先在各车站与各入口商区之间画过道路中线的折线,测量并比较折线的长度,距离最短的折线所示路径就是最短路径。例如,通过图 4 可求得私车停放处到场馆B 的最短路径(粗线)。图 4对于多个公交车站或地铁站的情况,则分别作出连线并比较长度,选择连线最短的公交车站或地铁站作为起始点,所连入口商区为终点确定最短路径。(公车车站、地铁站、私车停放处、出租车站经最短路径到达场馆A、B、C 所对应的入口商区如表格 2所示。)出发处到达处场馆 A 场馆B 场馆C公车车站6 A 6 B 2 C私车停放处1 A 3 B 4 C第 8 页共 22 页地铁站6 A 6 B 4 C出租车站1 A 3 B 2 C表格 22. 各商区人流量分布的确定商区内的人流量是由两部分组成的。一部分是到此商区所对应看台观看比赛的观众形成的人流量;另一部分是为到其他看台而途经此看台的观众形成的人流量

。由假设2,第一部分固定为1 万人。下面计算第二部分。首先设x∈{1,2,3,4},其中1,2,3,4分别代表公交车、私车、出租车、地铁。并设0( )1xf xx?= ??( 以为出行方式的人不经过该区)(以为出行方式的人经过该区)g(x)为以x为交通工具的人数百分比,由上述问题1的解答得到:0.3398 10.0904 2( )0.1896 30.3802 4xxg xxx= ??? = = ? = ??? =则为了前往其他看台而途经 j A 的人数为:10 41 1( ) ( ) j ij ii kA A a fkgk= ==Σ = Σ同理可得,为了前往其他看台而途经 j B 和j C 的人数分别为:6 41 1B B b ()() j ij ii kf k g k= ==Σ = Σ4 41 1C C c ()() j ij ii kf k g k= ==Σ = Σ例如,使用上述方法可通过列写如下表格计算场馆 C 周围商区的途径总人数j C ,如表格 3 所示。第 9 页共 22 页途经商区目标商区1 C 2 C 3 C 4 CC1 [g(1) + g(3)]× c 1 [g(2) + g(4)]× c2 C 2[ (2) (4)] 12g + g × c × 2[ (2) (4)] 12g + g × c × 2 [g(2) + g(4)]× c3 C [g(1) + g(3)]× c 1 [g(2) + g(4)]× c4 C 4[ (1) (3)] 12g + g × c × [g(1) + g(3)]× c 4[ (1) (3)] 12g + g × c ×表格 3最后将两部分相加得到场馆C 周边各商区的人流总数,如表格 4 所示。商区1 C 2 C 3 C 4 C人数SCi 20000 25882 20000 24118表格 4?? 其次考虑观众出场时的情况该问题可转化为观众以中餐厅、西餐厅、商场为出发点,以其原来所在看台为目的点,逆行入会场的情况,即把出场问题转化为入场问题,重复上述算法可解得出场时各商区人流总数,分别如表格 5,表格 6,表格 7。商区1 A 2 A 3 A 4 A 5 AAi S ′ 30225 21742 27247 32753 38258商区6 A 7 A 8 A 9 A 10 AAi S ′ 79775 38258 32753 27247 21742表格 5第 10 页共 22 页商区1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 BBi S ′ 22753 17247 21236 17247 22753 48764表格 6商区1 C 2 C 3 C 4 CCi S ′ 15000 10000 15000 40000表格 7?? 将入场和出场综合考虑,可得各商区一天内总的人流量分布:10 6 41 1 1( ) ( ) ( )i iii i i i i iA AAA A B B C Ci i iS SFS S S S S S= = =+ ′=Σ + ′ +Σ + ′ +Σ + ′10 6 41 1 1( ) ( ) ( )i iii i i i i iB BBA A B B C Ci i iS SFS S S S S S= = =+ ′=Σ + ′ +Σ + ′ +Σ + ′10 6 41 1 1( ) ( ) ( )i iii i i i i iC CCA A B B C Ci i iS SFS S S S S S= = =+ ′=Σ + ′ +Σ + ′ +Σ + ′由以上公式,得第二问的最终计算结果如表格 8,表格 9,表格 10(单位:%)。商区1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 AAi F 5.6400 4.0122 4.8661 5.7201 6.5740 13.3255 6.3326 5.4787 4.6248 3.7708表格 8商区1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 BBi F 3.8752 3.0213 3.8996 3.0213 3.8752 8.1693表格 9第 11 页共 22 页商区1 C 2 C 3

C 4 CCi F 2.5862 3.0934 2.5862 5.5273表格 10?? 对问题 3 的回答由问题二的求解我们总结出如下结论:前往某一场馆的观众,不论选择的是哪种交通方式和就餐地点,他将不再经过其他场馆周围的商区。也就是说,前往甲场馆的观众的购买行为不能对乙场馆的销售额造成影响。因此,三个场馆周围商区的销售额可以被单独考虑,这使得建立描述观众购买行为的数学模型变得相对轻松。模型一由于每天有上万观众会光顾商区,每个观众的购物行为又是独立的,虽然我们通过对问卷调查结果的分析得到了观众出行,就餐,购物的规律,但是从单一个体考虑购物行为依然是不可能的。由此,我们考虑将大量的观众群体视作一个整体,运用概率论的思想建立数学模型。这样一来,购物行为的确定由“一个人”转为“一类人”,购物行为也可以用统一的概率来描述了。下面我们以分析 A 区观众的情形为例来说明概率模型的建立过程。1. 对观众一天行进路线的描述?? 行进路线的概念?? 每个观众的行进路线的起点是其下车的车站,终点在就餐的餐厅,中间前往某场馆观看比赛。观众的购买行为可以发生在其所途经的任何一个商区内。?? 由于观众两次经过目标看台所对准的商区,所以在该商区内,观众入场时和出场时都有可能发生购买行为。?? 观众行进路线的长度定义为观众沿该路线行进而途经商区的个数。比如,某观众从私车停放处前往A 区观看比赛,从4 A 入场,比赛结束后前往中餐厅就餐,则其行经路线为1 A - 2 A - 3 A - 4 A - 4 A - 3 A - 2 A - 1 A ,则其路线长度为8。?? 行进路线的数学定义设x∈{1,2,3,4},1代表公交车站,2代表私车停放处,3代表出租车站,4代表地铁站;设y∈{1,2,3},1代表中餐厅,2代表西餐厅,3代表商场。第 12 页共 22 页若 i A 为某一以x 为起点以y 为终点的观众的目标看台所对应的商区,则三元组( , , ) i x A y 唯一确定一条行进路线,所以不妨将该行进路线记作( , , ) i x A y 。2. 对购买需求的定量描述设观众的消费额真实的反应了观众的购买需求,取每一档的中间值表示处于该档的观众群体的平均需求(对于最后一组消费档次,不妨设该档观众的平均需求为550)。如表格 11 所示:消 费 额(元)0—100 100—200 200—300 300—400 400—500 500 以上各 档 平 均购买需求avg (元)50 150 250 350 450 550人数百分比η (%)19.434 24.802 44.038 9.274 1.481 0.972表格 11由上表可得每个观众的平均消费量Avg =Σavgi ×ηi =201.48由于各消费额档次与其它事件是彼此独立的,因此,在任何观众群中,各消费额档次所占

总人数的比例不变。从而我们可以用观众群的平均消费量来统一刻画消费群的消费量。3. 各商区购买需求量的确定任一商区的购买需求即为:走不同行进路线的所有观众在经过该商区时,在该商区的消费额。1) 先求走某条固定行进路线( , , ) i x A y 的所有人在经过j A 时,在j A 的消费额,此时将, ,i x A y视为定值。?? 确定有不同起点和终点的人的数量设 1g (x)为以x为起点的人数在总人数中所占的百分比; 2g ( y)为以y为终点的人数在总人数中所占的百分比,由问题一可得,10.3398 10.0904 2( )0.1896 30.3802 4xxg xxx= ?? = ? = ? = ??? =, 20.2247 1( ) 0.5252 20.2501 3yg y yy= ?? = = ??? =,第 13 页共 22 页由观众进出场馆的独立性,g1(x)× g2 ( y)表示以x为起点以y为终点的人在总人数中所占的百分比。?? 确定任一观众在途经行进路线( , , ) i x A y 所包含的商区j A 时的消费额由常识可知,消费额与购物欲望有关。由假设7,有着相同行进路线的任何人在到达该行进路线上的任意第m 个商区时,会产生相同的购物欲望,即这时他们对该商区会有相同的销费额。引入函数 ( , , , ) i Q x A y j 表示某一观众在行进路线( , , ) i x A y 上对商区j A 的销售额占其总销售额的百分比。这里需要说明的是, ( , , , ) i Q x A y j 依据观众购买欲望的不同而有不同的形式。由此,我们引入“购买欲望影响因子”的概念,它可以用来刻画周围环境对顾客购买欲望的影响。这样一来,当应用此模型对其他地区商业点进行选址时,仅需要根据当地的特殊情形构造不同的“影响因子”来刻画周围环境对消费额的影响即可。我们将在随后的模型求解中讨论“购买欲望影响因子”对于商区销售总额的具体影响。?? 由以上两步确定所求行 进 路 线 ( , , ) i x A y 上的所有观众在经过商区j A 时, 在j A 的消费总额为1 2 ( ) ( ) ( , , , ) i Avg × total × g x × g y × Q x A y j2) 然后将各条线路累加,即可得到商区 j A 总的消费额。4. 各商区的供给能力某商区的供给能力表现为该商区所有的MS 供给能力之和。设大小两种MS的供给能力分别为1 MS , 2 MS ,其中1 2 MS > MS ,各自的建设成本为COST1,COST2;各自的建筑面积为1 S 和2 S ,由假设8,建设成本与建筑面积成正比,又由假设9,单位建筑面积的增加引起的供给能力的上涨与现有建筑面积成正比,因此,超市供给能力与成本应满足微分方程组( 1,2)( 1,2)iiii idMS rS idSCOST kS i?????= == =求解得到1 2 ( ) ( 1,2)i 2 i MS = rS +C 常数i = (*)由于不建店时没有供给能力,即第 14 页共 22 页( )| 0 0i i Si MS

S = =将上式代入(*)式,解得C = 0。所以可得 1 2 ( 1,2)i 2 i MS = rS i =考虑到 1 2 ( )2 ( )2 ( 1,2)i 2 i i i MS = rS =μ kS =μ COST i =所以超市的供给能力是建设成本的二次函数。比例系数μ 可由相关资料拟合得到。设 j A 建设的两种MS各为j x , j y ( j =1,2,...,10)个。5. 模型建立根据建造 MS 的三个基本要求,我们依次以满足购物需求,分布基本均衡和商业上盈利为目标,建立多目标规划模型如下:1 21 2 1 210 101 21 11 22[ ]0[max( ) min( )]. . ,, 0( ) ( 1,2)j j jj j j jj jj jj ji iMin x MS y MS MMin x S y S x S y SMin COST x COST ys t x y NCOST COSTMS μ COST i= =+ ? ≥+ ? +× + ×∈≥= =Σ Σ其中 j x , j y 为决策变量。6. 模型求解对于购买欲望影响因子,我们考虑两种不同的形式。一种是等概率,即观众在所经过的每个商区购买商品的概率是相同的,反映到宏观上,即为路径相同的观众在每个商区的消费额是相等的。此时对于同一路线上不同商区购买欲望影响因子是常数。利用 LINGO 软件求解上述模型,得最优解如表格 12,表格 13,表格 14。商区1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A1 MS 1 1 1 1 1 4 1 0 1 12 MS 2 0 0 2 3 2 3 6 0 0表格 12第 15 页共 22 页商区1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B1 MS 1 1 1 1 1 32 MS 2 0 1 0 2 3表格 13商区1 C 2 C 3 C 4 C1 MS 1 1 1 22 MS 1 1 1 3表格 14另外,我们借鉴经济学中“边际效用”的理论,观众购买的商品越多,此件商品为其带来的效用就越大。从而,其再次购买该商品的可能性就越小。此时,我们假设顾客在商区购买商品的概率随顾客所经过商区数量的增加而以常系数递减,即1( 1) ( )(0 1)( ) 1Nnq n kq n kq n=+ = < < ??? = ??Σ其中q(n)表示观众经过第n个商区时购买商品的概率,N 为观众经过商区总数,k为固定系数,我们设k = 0.5。再利用 LINGO 软件求解,得最优解如表格 15,表格 16,表格 17。商区1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A1 MS 2 7 5 7 1 5 1 0 5 72 MS 2 1 1 3 3 65 3 31 1 1表格 15商区1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B1 MS 1 5 1 6 1 42 MS 0 3 2 2 0 1表格 16第 16 页共 22 页商区1 C 2 C 3 C 4 C1 MS 1 2 1 22 MS 0 0 0 2表格 17模型求解的计算机程序见附录。由模型一我们看到,位于运动场出入口处的商区的销售额远大于位于其他位置商区的销售额。当我们应用“边际效用”理论求解时,这一规律更加显著。由此我们得到结论:运动场出入口宜建设大型迷你超市来吸引更多的顾客。模型二体育场馆在举行完赛事后其四周通常会聚集大量观众以待退场,从而使得场馆周边人员密度在短时间内远远高于平均人员密度。随着

时间的推移,场馆周围的人渐渐散去,最终使得场馆周围的人员密度恢复到平均值。由此,我们考虑模仿空间某物体G 的热传导问题,对体育场馆周围的这种由于人员密度差而引起的人流量变化建立扩散模型。在热传导理论中,以函数u(x, y, z,t)表示物体G 在位置(x, y, z)处及时刻t的温度。资料[2]表明,根据Fourier 热传导定律,在无穷小时段dt 内流过的物体的一个无穷小面积dS 的热量dQ 由下式确定dQ k(x, y, z) u dSdtn?= ??(1)在我们的模型里,温度函数u(x, y, z,t)用来刻画时刻t在位置(x, y, z)的人员密度,热量dQ 用来代表单位面积区域的人员数目。在(1)式中,k(x, y, z)称为人群在位置(x, y, z)处的人员流动系数,它应取正值;n是外法线; un??是人员密度函数在(x, y, z)处沿法线n的方向导数,规定n所指的那一侧为dS 的正侧,上式表示在dt 时间内从ds 的负侧向正侧移动的人员数目。在物体G 内任取一封闭曲面S ,它所包围的区域记为V ,从时刻1 t 到2 t 经过曲面S 的人员总数为211 [ ] ttSQ k u dSn?= ?? ∫ ∫∫无穷小体积dV = dxdydz 的人员密度由1 u(x, y, z,t )升高到2 u(x, y, z,t )所需的人员数第 17 页共 22 页目增量为dQ = [u(x, y, z,t2 ) ? u(x, y, z,t1)]dV因此使区域中各位置变化 2 1 Δu(x, y, z,t) = u(x, y, z,t ) ? u(x, y, z,t )所需人员总增量等于2 2 1 [ ( , , , ) ( , , , )VQ = ∫∫∫ u x y z t ? u x y z t dV最后依照热传导理论,把体育场馆看成“热源”。在散场后的一段时间内,会不断有人员从其中走出。考虑体育场馆提供的人员数目增加,设区域内的“热源密度”为F(x, y, z,t) > 0,则在时间1 2 [t ,t ]内物体所产生的人员增量为213 ( , , , ) ttVQ = ∫ ∫∫∫ F x y z t dVdt根据人员数目守恒的道理有2 3 1 Q = Q ?Q即2 21 12 1 [ ( , , , ) ( , , , )] ( , , , ) [ ] t tt tV V Su x y z t u x y z t dV F x y z t dVdt k u dS dtn?? = +? ∫∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫∫假设函数u(x, y, z,t)关于变量x,y,z 具有二阶连续导数,关于t具有一阶连续偏导数,则由Gauss 公式上式可化为21[ ( ) ( ) ( ) (,,,)] 0 ttVu k u k u k u F x y z t dVdtt x x y y z z? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ∫ ∫∫∫由于 1 2 [t ,t ]及区域V 是任意取的,而积分号下的函数是连续函数,因此在任何时刻在G 内任意一点都有u (k u) (k u) (k u) F(x, y, z,t)t x x y y z z? ? ? ? ? ? ?= + + +? ? ? ? ? ? ?这就是基于热传导理论的人员变化应该满足的方程。但把现实中的地面看成二维平面空间时,只须去掉方程中含参数 z 的项。特殊的,对于这道题中体育馆的出入口为直线型通道的情形,我们把他考虑为一均

匀杆的热传导过程,此时人员变化方程为ut?=?22k ux?×?第 18 页共 22 页?? 对问题四的回答建模方法的科学性,表现为所建模型是逼真可行且健壮的;所做的假设忽略了次要因素,抓住了问题的本质。我们以下就从这两个方面来说明我们方法的科学性。(一)有关最主要的几个假设1. 对距离的处理在求最短距离的时候,我们忽略了同一场馆周围各个商区之间的距离,因为若不如此,则可以算出观众从入口商区到目的商区距离与其从其下车处到目的的距离之比,比如,正象论文中的图1 所示,可以算出b3 到b1 之间的距离为18,而从私车停放处经b3 到b1 的距离为87,两者之比为21%,不到四分之一;以此种程度的精确度损失为代价,我们换来了计算的便利——只需经过42(6*7)次比较便可以得到所需的全部最短距离,否则需要计算20*7 次;以及测量的可行——否则,由于有些商区形状不规则,内部距离很难测量准确。我们认为这种损失是值得的。2. 有关上座人数的假设我们假设各场馆上座率均为 100%,这样就使商区客流量达到了最大的状态。我们这样假设是考虑到奥运赛程很短,大部分比赛日里三个体育场馆都会同时举行比赛。经查阅有关悉尼奥运会和雅典奥运会的赛程表,证明我们的假设是贴近实际情况的。3. 有关购物欲望的假设对于一个商区,设计者所在乎的是处于该商区内的所有观众对其的平均消费额,而并不关心具体每一个人在此商区是否购物。所以,我们在对购买需求的定量描述中,将所有观众的购买需求统一为一个平均的购买需求201.48,即从统计的角度认为每一个观众持有相同的购买需求。这样,有着相同行进路线的任何人在到达该行进路线上的任意第m 个商区时,由于面对相同的时空环境(客观因素),而又有着相同的购买需求(主观因素),从而产生相同的购物欲望,对应了一个统一的消费额。(二)有关模型对于问题二,我们将入场和出场过程分离。在求解入场过程时,我们以就座于每个商区对应看台的一万名观众为对象,研究其在入场过程中,对其途经商区的影响。对于模型一,首先,大量顾客的随机购买活动无法用一个统一的表达式给出,而且个别顾客的行为规律是无从了解的。但是通过题目中给出的问卷调查资料,我们认为依据概率理第 19 页共 22 页论处理大量顾客的随机购买活动是一种客观的方法,它克服了单一个体带来的随机性干扰,能够很好的刻画顾客在不同商区的购买活动,满足了模型逼真性的要求。对于模型二,它的理论建立在将大量的观众个体

看作一种向四周扩散的“流”,同样从宏观上把握了人流量变化的规律。它的另一个突出优点是在函数中引入了时间变量,因此使动态描述人流量变化成为可能。这样一来,我们根据实际情况模拟商区在运动场散场时的销售情况时变得非常方便。关于模型的健壮性,可参阅灵敏度分析部分。五、 模型灵敏度分析灵敏度讨论:在我们所建立的多目标现性规划模型中,假定了参数[][],[][]的数值。但实际上这些参数仅仅是我们参照一些现实中的小型商业摊点的日营业额作了适当放大后估计的。考虑到奥运会比赛对超市营业额很可能带来较大的影响,因此需要进行灵敏度分析。我们假定一种规模的 MS 成本固定的情况下,使另一种MS 的成本有小的增长,求出运动场周围所有商区建设总成本的变化情况并列表如表格 18:小型超市成本增长幅度 大型超市成本增长幅度 总成本变化幅度1% 0 0.7%2% 0 -2.83%5% 0 2.9%10% 0 0.83%0 1% 0.3%0 2% 0.7%0 5% 1.67%0 10% 9.6%5% 5% -8.3%10% 10% -6.25%表格 18对该表的分析可知,MS 成本的变化对总成本的影响不大,表明我们的模型是健壮的。六、 模型扩展实际问题中,除了设计各个MS 的个数以外,还应该确定他们的具体分布情况,若能给出各商区的地理状况,则可以完成要求。不同性别年龄的人对不同类型的体育赛事的喜好程度是不一样的,这就影响着三个场馆的上座情况,若在统计数据能给出相关数据,以及各个体育场馆的赛程安排,模型可以做的更精确。我们考虑到实际中人员密度是具有自动调节功能的,当一条街道很拥挤时,人们更多的会选择另一条相对宽松的街道行走,即使这条街道不是通往目的地的最短路径。居于上述想法,我们想到可以在进一步的模型建立中巴人员密度的调节过程看成负反馈系统,从而更贴近现实。这种模型可以被广泛的应用于运动场、电影院、机场等大型集散场所。参 考 文 献[1]. 姜启源,谢金星,叶俊等.数学模型.北京:高等教育出版社,2003[2]. 陈义华.数学模型.重庆:重庆大学出版社,1995[3]. 胡运泉.运筹学教程.北京:清华大学出版社,2003[4]. 胡守信,李柏年等:基于 MATLAB 的数学实验.北京:科学出版社,2004[5]. 昌杰.如何处理问卷调查中的“真实谎言”.渝州大学学报.1996 年第1 期:12-16.1996[6]. 保罗·萨缪尔森等著,肖琛等译.经济学.华夏出版社,麦格劳·希尔出版公司.1999

相关推荐