数列常见题型分析与方法总结(4200字)

来源:m.fanwen118.com时间:2021.7.5

数列常见题型分析与做法

一、等差、等比数列的概念与性质

1、已知等比数列{an}中,a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且a1?64,公比q?1,求an;

(I)依题意a2?a4?3(a3?a4),即2a4?3a2?a2?0 ?2a1q3?3a1q3?a1q?0

?2q?3q?1?0?q?1或q?

2

12

?q?1?q?

12

故an?64?()n?1

2

1

二、求数列的通项 类型1 an?1?an?f(n)

解法:把原递推公式转化为an?1?an?f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列?an?满足a1?类型2 an?1?f(n)an 解法:把原递推公式转化为例:已知数列?an?满足a1?

2312

,an?1?an?

1n?n

2

,求an 答案:?an?

12

?1?

1n

?

32

?

1n

an?1an

?f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。

nn?1

23n

,an?1?

an

,求an 答案:?an?

类型3 an?1?pan?q(其中p,q均为常数,(pq(p?1)?0))。 解法(待定系数法):把原递推公式转化为:an?1?t?p(an?t),其中t?法转化为等比数列求解。

例:已知数列?an?中,a1?1,an?1?2an?3,求an. 提示:an?1?3?2(an?3) 答案:an?2n?1?3. 类型4 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an))

?S1????????????????(n?1)

a?解法:这种类型一般利用n?与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn

?Sn?Sn?1???????(n?2)

(n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。

q1?p

,再利用换元

例:已知数列?an?前n项和Sn?4?an?解:(1)由Sn?4?an?

12

n?2

12

n?2

. (1)求an?1与an的关系;(2)求通项公式an.

12

n

n?1

得:Sn?1?4?an?1?

1

n?1

于是Sn?1?Sn?(an?an?1)?(

12

n?2

?

12

n?1

)

所以an?1?an?an?1?

2

?an?1?

12

an?

12

.

1

(2)?an?1?

12

an?

12

12

n

两边同乘以2n?1得:2n?1an?1?2nan?2

?a1?1.于是数列?2an?是以

n

由a1?S1?4?a1?

n

1?2

2为首项,2为公差的等差数列,所以

2an?2?2(n?1)?2n?an?

n2

n?1

}的前

三、数列求和

公式法、分组求和、错位相减求和、裂项求和、倒序相加求和、累加累积

1、设已知bn?3?2n?1(n?N*)且Cn?

bn31n(n?1)

1

log

2

bn3

,Tn为数列{

1

log2Cn?1?log2Cn?2

1

n项和,求Tn.

解:Cn?

?2

n?1

, ?

Cn?1?log

2

Cn?2

12

?

log12

2

2?log13

13

n

2

2

n?1

?

1n(n?1)

1n

,

1

1n?1

?

1n

?

1n?1

, ?Tn?(1?

)?(?)?(?

14

)???(?

n?1

)?1?

.

2、求和: . 答案:

3

数列常见题型分析与方法总结

、求数列an?

的前n项和

数列常见题型分析与方法总结

答案:1

4、已知集合A={a|a=2n+9n-4,n∈N且a<2000},求A中元素的个数,以及这些元素的和

提示:210=1024,211=2048 答案:10 ; 2501

12nn

?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2 倒序相加 5、求证:Cn0?3Cn

6、求数列

11?3

12?4

13?5

,…,

1n(n?2)

,…的前n项和S

7、求数5,55,555,…,的前n项和Sn

解: 因为(10n?1)

95

所以 Sn=5+55+555+…59

?(10?1)?(10

2

?1)?????(10

n

?1)

?

n

?5?10(10?1)50550n?n? =?10?n? =?

819819?10?1?

一、选择题 1.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于( )

A.11 B.12 C.13 D.14

2.等差数列{an}中,a1?a4?a7?39,a3?a6?a9?27,则数列{an}前9项

的和S9等于( ) A.66B.99 C.144 D.297 3.等比数列?an?中, a2?9,a5?243,则?an?的前4项和为( )

数列常见题型分析与方法总结

2

A.81 B.120 C.168 D.192 4.2?1与2?1,两数的等比中项是( )

A.1 B.?1 C.?1 D.

12

12

5.已知一等比数列的前三项依次为x,2x?2,3x?3,那么?13 A.2 B.4 C.6 D.8

是此数列的第( )项

6.在公比为整数的等比数列?an?中,如果a1?a4?18,a2?a3?12,那么该数列的前8项之和为( )A.513 B.512 C.510 D.二、填空题

1.等差数列?an?中, a2?9,a5?33,则?an?的公差为______________。 2.数列{an}是等差数列,a4?7,则s7?_________ 3.两个等差数列?an?,?bn?,

a1?a2?...?anb1?b2?...?bn

?7n?2n?3

,则

a5b5

2258

=___________.

4.在等比数列?an?中, 若a3?3,a9?75,则a10=___________.

5.在等比数列?an?中, 若a1,a10是方程3x2?2x?6?0的两根,则a4?a7=___________. 6

数列常见题型分析与方法总结

.计算log3

?___________. n

三、解答题1.成等差数列的四个数的和为26,第二数与第三数之积为40,求这四个数。 2.在等差数列?an?中, a5?0.3,a12?3.1,求a18?a19?a20?a21?a22的值。 3.求和:(a?1)?(a?2)?...?(a?n),(a?0)

4.设等比数列?an?前n项和为Sn,若S3?S6?2S9,求数列的公比q

2

n

《数列》参考答案

一、选择题 1.C an?an?1?an?2

2.B a1?a4?a7?39,a3?a6?a9?27,3a4?39,3a6?27,a4?13,a6?9 S9?3.B

a5a2

92

(a1?a9)3

9

9

(a4?a6)(13?9)? 9922

?27?q,q?3,a1?

a2q

?3,S4?

3(1?3)1?31

4

?120

数列常见题型分析与方法总结

数列常见题型分析与方法总结

2

4.C x?12?1)x?1?,

3

5.B x(3x?3)?(2x?2)2,?x??4 q?

1?qq?q

8

3x?32x?2

?

32

,?13

1

3n?1

??4?(),n?4 22

32

6.C a1(1?q)?18,a1(q?q)?12,

32

?

32

,q?

12

或q?2,

而q?Z,q?2,a1?2,S8?二、填空题 1.8

a5?a25?2

?33?95?2

2(1?2)1?2

?2?2?510

9

?d?8 2. 49 S7?

72

(a1?a7)?7a4?4 9

(a1?a9)

S7?9?2653. ????"9??

912b52b5b1?b9S99?312(b1?b9)2

65

9

a52a5a1?a9

4. ?753

数列常见题型分析与方法总结

数列常见题型分析与方法总结

q6?25,q?a10?a9?q?? 5. ?2 a4a7?a1a1??2 06.1?

12

n

111

n

数列常见题型分析与方法总结

log3

?log3(32?34???32)?log3(3

n

111

??...?

n

242

)

1n

[1?()]

1111 ??2?...?n??1?n

122221?

2

三、解答题

1

1. 解:设四数为a?3d,a?d,a?d,a?3d,则4a?26,a2?d2?40 即a?

132,d?

32或?

32

,当d?

32

时,四数为2,5,8,11当d??

32

时,四数为11,8,5,2

2. 解:a18?a19?a20?a21?a22?5a20,a12?a5?7d?2.8,d?0.4

a20?a12?8d?3.1?3.2?6.3 ∴a18?a19?a

20

?a

21

?a

5?a226?.3?520

?31 .5

?a(1?an)n(n?1)

?(a?1)?

?1?a22n

3. 解:原式=(a?a?...?a)?(1?2?...?n)??2

?n?n(a?1)??22

4. 解:显然q?1,若q?1则S3?S6?9a1,而2S9?18a1,与S3?S6?2S9矛盾

a1(1?q)1?q

3

由S3?S6?2S9?

?

a1(1?q)1?q

6

?

2a1(1?q)1?q

12

9

3

2q?q?q?0,2(q)?q?1?0,得q??

9633233

,或q?1, 而q?1,∴q??

3

42

4


第二篇:-数列常见题型总结 - 3200字

--数列(常见、常考题型总结)

题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列) A)根据基本量求解(方程的思想)

1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,a4?9,a9??6,Sn?63,求n;

2、等差数列?an?中,a4?10且a3,a6,a10成比数列,求数列?an?前20项的和S20. 3、设?an?是公比为正数的等比数列,若a1?1,a5?16,求数列?an?前7项的和.

4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.

B)根据数列的性质求解(整体思想)

1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,a6?100,则S11?; 2、设SSn7n?2a

n、Tn分别是等差数列?an?、?an?的前n项和,T?

n?3,则5b? . n5

3、设Sn是等差数列?aa5n?的前n项和,若

a?5,则S

9?( ) 39S5

4、等差数列{aSn2n

n},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若

T?

1,则anb=( ) n3n?n

5、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,Sn?m,Sm?n(n?m),则Sm?n?6、在正项等比数列?an?中,a1a5?2a3a5?a3a7?25,则a3?a5?_______。

7、已知数列?an?是等差数列,若 a4?a7?a10?17,a4?a5?a6???a12?a13?a14?77且ak?13,则

k?_________。

8、已知Sn为等比数列?an?前n项和,Sn?54,S2n?60,则S3n? . 9、在等差数列?an?中,若S4?1,S8?4,则a17?a18?a19?a20的值为( ) 10、在等比数列中,已知a9?a10?a(a?0),a19?a20?b,则a99?a100?11、已知?an?为等差数列,a15?8,a60?20,则a75?12、等差数列?an?中,已知S4S?1

,求S8. 83S16

题型二:求数列通项公式: A) 给出前几项,求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,

21,?,

3,-33,333,-3333,33333??

B)给出前n项和求通项公式

1、⑴Sn?2n2?3n; ⑵Sn?3n?1. 2、设数列?a2

n-1

n

n?满足a1?3a2?3a3?…+3an?

3

(n?N*),求数列?an?的通项公式 C)给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式an?1?an?f(n),可利用迭加法或迭代法;

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

例:已知数列?an?中,a1?2,an?an?1?2n?1(n?2),求数列?an?的通项公式; b、已知关系式aanan?1an?2an?1?an?f(n),可利用迭乘法.an?a??a???3?a

2?a1

n?1an?2n?3a2a1

例、已知数列?aann?满足:a?n?1(n?2),a1?2,求求数列?an?的通项公式; n?1n?1

c、构造新数列

1°递推关系形如“an?1?pan?q”,利用待定系数法求解

例、已知数列?an?中,a1?1,an?1?2an?3,求数列?an?的通项公式. 2°递推关系形如“,两边同除pn?1或待定系数法求解

例、a1

?1,an?1?2an

n?3,求数列?an?的通项公式. 3°递推已知数列?an?中,关系形如“an?2?p?an?1?q?an”,利用待定系数法求解 例、已知数列?an?中,a1?1,a2?2,an?2?3an?1?2an,求数列?an?的通项公式. 4°递推关系形如"an?pan?1?qanan?(1p,q?0),两边同除以anan?1

例1、已知数列?an?中,an?an?1?2anan?(1n?2),a1?2,求数列?an?的通项公式. 例2、数列?an?中,a1?2,a2an

n?1?4?a(n?N?),求数列?an?的通项公式.

n

d、给出关于Sn和am的关系

例1、设数列?an?的前n项和为Sn,已知a1?a,an?1?Sn?3n(n?N?),设bn?Sn?3n,求数列?bn?的通项公式.

例2、设S2?1?

n是数列?an?的前n项和,a1?1,Sn?an??

Sn?

2??

(n?2). ⑴求?an?的通项; ⑵设bSn

n?

2n?1

,求数列?bn?的前n项和Tn. 题型三:证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差

例1、已知SSn

n为等差数列?an?的前n项和,bn?

n

(n?N?).求证:数列?bn?是等差数列. 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn(n≥2),a1=1

-1=02

.求证:{1S}是等差数列;

nB)证明数列等比

an

例1、设{an}是等差数列,bn=??1?

?2??

,求证:数列{bn}是等比数列;

例2、设Sn为数列?an?的前n项和,已知ban

n?2??b?1?Sn

⑴证明:当b?2时,?an?1

n?n?2?

是等比数列;⑵求?an?的通项公式

例3、已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*). ⑴证明:数列?an?1?an?是等比数列;⑵求数列?an?的通项公式; ⑶若数列?b1b?1

n?满足4b1?4b2?1...4n?(abn?1)n(n?N*),证明?bn?是等差数列.

题型四:求数列的前n项和 基本方法: A)公式法, B)拆解求和法.

例1、求数列{2n

?2n?3}的前n项和Sn.

例2、求数列11

2131,?,(n?12482n

),?的前n项和Sn. 例3、求和:2×5+3×6+4×7+?+n(n+3) C)裂项相消法,数列的常见拆项有:

1n(n?k)?1k(1n?11

n?k);?n?1

?n?1?n;

例1、求和:S=1+

111

1?2?1?2?3???1?2?3???n

例2、求和:

12?1?13?2?14?3???1n?1?n

. D)倒序相加法,

例、设f(x)?x2

1?x2

,求:

⑴f(1)?f(1)?f(1

)?f(2)?f(3)?f(4);

⑵f(1)?f(1)???f(1)?f(1)?f(2)???f(20xx

)?f(20xx). E)错位相减法,

例、若数列?an?的通项an?(2n?1)?3n,求此数列的前n项和Sn.

F)对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n,求数列{|an|}的前n项和Tn. 题型五:数列单调性最值问题

例1、数列?an?中,an?2n?49,当数列?an?的前n项和Sn取得最小值时,n?例2、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,a1?25,a4?16.当n为何值时,Sn取得最大值; 例3、数列?an?中,an?3n2?28n?1,求an取最小值时n的值. 例4、数列?an?中,an?n?

2

n2?2,求数列?an?的最大项和最小项.

*

例5、设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?a,an?1?Sn?3n,n?N.

(Ⅰ)设bn?Sn?3n,求数列?bn?的通项公式;(Ⅱ)若an?1≥an,n?N,求a的取值范围.

*

例6、已知Sn为数列?an?的前n项和,a1?3,SnSn?1?2an(n?2). ⑴求数列?an?的通项公式;

⑵数列?an?中是否存在正整数k,使得不等式ak?ak?1对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求最小的正整数k,若不存在,说明理由.

例7、非等比数列{an}中,前n项和Sn??(an?1)2, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn?

1

4

1m

(n?N*),Tn?b1?b2???bn,是否存在最大的整数m,使得对任意的n均有Tn?总成立?

n(3?an)32

若存在,求出m;若不存在,请说明理由。

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