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《三角函数》

【知识网络】

应用 一、任意角的概念与弧度制

1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.

逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角

2、同终边的角可表示为??????k?360???k?Z?

?x轴上角：????k?180??k?Z?

y轴上角：???90?k?180?????k?Z?

3、第一象限角：??0?k?360????90??k?360???k?Z?

第二象限角：??90??k?360????180??k?360???k?Z?

第三象限角：??180??k?360????270??k?360???k?Z?

第四象限角：??270??k?360????360??k?360???k?Z?

4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角

第一象限角：??0?k?360????90??k?360???k?Z?

锐角：??0???90?? 小于90的角：????90?? ??

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5、若?为第二象限角，那么?

2

?2

为第几象限角？

?

4?k??

5?4

?2k??????2k?

?

2

?

?

k?0,

?

4

???

?

2

, k?1,???

23?2

?k? ,

所以

在第一、三象限 2

6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad. 7、角度与弧度的转化：1??8、角度与弧度对应表：

?

?

180

?0.01745 1?

180?

?

?57.30??57?18?

9、弧长与面积计算公式 弧长：l???R；面积：S?

二、任意角的三角函数 1、正弦：sin??

yr

xr

yx

12

l?R?

12

2

??R，注意：这里的?均为弧度制.

；余弦cos??；正切tan??

其中?x,y?为角?终边上任意点坐标，r?

2、三角函数值对应表：

3、三角函数在各象限中的符号

口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）

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sin? tan? cos?

第一象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0,

第二象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0,

第三象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0,

第四象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0,

4、三角函数线

设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P(x,y)， 过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角?的终边或其反向 延长线交于点T.

由四个图看出：

当角?的终边不在坐标轴上时，有向线段OM?x,MP?y，于是有

sin??

tan??yry

x??y1?y?MP， cos???ATxr?x1?x?OM， ?AT． OA

我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。 OMMP

5、同角三角函数基本关系式

sin??cos??1

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22

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tan??sin?

cos??tan??cot??1

2(sin??cos?)?1?2sin?cos?

2(sin??cos?)?1?2sin?cos?

(sin??cos?，sin??cos?，sin??cos?，三式之间可以互相表示)

6、诱导公式

n?

口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是2??中整数n的奇偶性，把?看作锐角)

nn??22n?n??(?1)sin?,n为偶数?(?1)cos?,n为偶数sin(??)????)??；cos(. n?1n?122??22?(?1)cos?,n为奇数?(?1)sin?,n为奇数

①.公式（一）：?与??2k?,?k?Z?

sin(??2k?)?sin?；cos(??2k?)?cos?；tan(??2k?)?tan?

②.公式（二）：?与??

sin??????sin?；cos?????cos?；tan??????tan?

③.公式（三）：?与???

sin???????sin?；cos???????cos?；tan??????tan?

④.公式（四）：?与???

sin??????sin?；cos???????cos?；tan???????tan?

⑤.公式（五）：?与?

2??

??????sin?????cos?；cos??????sin?；

?2??2?

⑥.公式（六）：?与?

2??

??????sin?????cos?；cos?????sin?；

?2??2?

⑦.公式（七）：?与3?

2??

?3???3??sin??????cos?；cos?????sin?；

?2??2?

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⑧.公式（八）：?与

3?2

??

?3???3??sin??????cos?；cos??????sin?；

?2??2?

三、三角函数的图像与性质

1、将函数y?sinx的图象上所有的点，向左（右）平移?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象；再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到

原来的

1

?

的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y?Asin??x???的图象。

倍（纵坐标不变），得到函数y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???

2、函数y?Asin??x????A?0,??0?的性质： ①振幅：A；②周期：T?

2?

?

；③频率：f?

1T

?

?2?

；④相位：?x??；⑤初相：?。

3、周期函数：一般地，对于函数f?x?，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f?x?T??f?x?，那么函数f?x?就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.

k??

?4、⑴y?Asin(?x??) 对称轴：令?x???k?? 对称中心：?x???k?，得x?

k???

?2

??

，得x?

,0)(k?Z)；

?

?

，(

k???

?

⑵y?Acos(?x??)对称轴：令?x???k?，得x?

?

2

k???

k??

???k??

??；

??

,0)(k?Z)；

对称中心：?x???k??⑶周期公式:

，得x?

?

，(

?2?

①函数y?Asin(?x??)及y?Acos(?x??)的周期T?≠0). ②函数y?

Atan??x???的周期T

?

(A、ω、?为常数，且A

? (A、ω、?为常数，且A≠0).

5、三角函数的图像与性质表格

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6. 五点法作y?Asin(?x??)的简图，设t??x??，取0、

?2

、?、

3?2

、2?来求相

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应x的值以及对应的y值再描点作图。

7. y?Asin(?x??) 的的图像

8. 函数的变换：

（1）函数的平移变换

①y?f(x)?y?f(x?a)(a?0) 将y?f(x)图像沿x轴向左（右）平移a个单位 （左加右减）

②y?f(x)?y?f(x)?b(b?0) 将y?f(x)图像沿y轴向上（下）平移b个单位 （上加下减）

（2）函数的伸缩变换：

①y?f(x)?y?f(wx)(w?0) 将y?f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1

w倍（w?1缩短， 0?w?1伸长）

②y?f(x)?y?Af(x)(A?0) 将y?f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（A?1伸长，0?A?1缩短）

（3）函数的对称变换：

① y?f(x)?y?f(?x)) 将y?f(x)图像绕y轴翻折180°（整体翻折）

（对三角函数来说：图像关于x轴对称）

② y?f(x)?y??f(x)将y?f(x)图像绕x轴翻折180°（整体翻折）

（对三角函数来说：图像关于y轴对称）

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③y?f(x)?y?f(x) 将y?f(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折） ④y?f(x)?y?f(x)保留y?f(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）

四、三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

(1）sin(???)?sin?cos??sin?cos?

(2）sin(???)?sin?cos??sin?cos?

(3）cos(???)?cos?cos??sin?sin?

(4）cos(???)?cos?cos??sin?sin?

tan??tan?

1?tan?tan?

tan??tan?

1?tan?tan?(5）tan(???)??? ? tanta?n?t?a?n?????1t?antan ??(6）tan(???)? ? tan??tan??tan??????1?tan?tan??

(7) asin??

bcos?=

限决定

,sin??

1?tan?

1?tan????)(其中,辅助角?所在象限由点(a,b)所在的象cos??1?tan?1?tan?tan??ba ，该法也叫合一变形). (8)

?tan(?4??) ?tan(?4??)

2. 二倍角公式

（1）sin2a?2sinacosa

（2）cos2a?cosa?sina?1?2sina?2cosa?1

tan2a?2tana

1?tana22222 （3）

3. 降幂公式：

cosa?21?cos2a

22 （2） sina?1?cos2a

2（1）

4. 升幂公式

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（1）1?cos??2cos2（3）1?sin??(sin（5）sin??2sin

?

2

?

2

（2）1?cos??2sin?

2

2

2

?

2

?

2

?cos

22

) （4）1?sin??cos?

cos

?

2

5. 半角公式（符号的选择由

a2a2

1?cosa

2?cosa1?cosa

?2

所在的象限确定）

a2

1?cosa

2

sin??，

（2）

?

sina1?cosa

?

cos?? ，

（1）

tan

??

1?cosasina

（3）

6. 万能公式:

2tan

?

2

1?tan

2

??

, 2

（1）sin??

1?tan2tan

?

2

, （2）cos??

1?tan

2

?

2

（3）tan??

1?tan

?

2

.

7.三角变换：

三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。

（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、

删除角的恒等变形

（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式： asin??bcos??

a?bsin(???)其中cos??

2

2

aa?b

2

2

,sin??

ba?b

2

2

，比

y?sinx?3cosx??(3)(

2

22

1?(3)

2

sinx?

2

3?(3)

2

cosx)

如：

?2(

12sinx?

32

cosx)?2(sinxcos

?

3

?cosxsin

?

3

)?2sin(x?

12

?

3

)

（3）注意“凑角”运用： ?????????， ??????????，

?

???????????????

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例如：已知?、??(

3?4

,?),sin(???)??

35

，sin(??

?

4

)?

1213

，则cos(??

?

4

)??

（4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“sin2??cos2?”

（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：

?cosa常用升幂化为有理式。

（6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。 （7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。 （8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法 （9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。

（10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sina?cosa ，sinacosa sina?cosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。

8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：

①y?asinx?b（或acosx?b)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ②y?asinx?bcosx型：引进辅助角化成y?

a?bsin(x??)再利用有界性

2

2

③y?asin2x?bsinx?c型：配方后求二次函数的最值，应注意x?1的约束 ④y?

asinx?bcsinx?d

型：反解出sinx，化归为sinx?1解决

⑥y?a(sinx?cosx)?bsinx?cosx?c型：常用到换元法：t?sinx?cosx，但须注意t的取值范围：t?

2。

9.三角形中常用的关系：

sinA?sin(B?C)， cosA??cos(B?C)， sinsin2A??sin2(B?C)， cos2A?cos2(B?C)

A2

?cos

B?C2

，

sin15??cos75??

10.

常见数据：

sin75??cos15??3,

，

tan15??2?

3, tan75??2?

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第二篇：必修4三角函数知识点归纳总结