三角函数知识点总结

1.任意角的相关概念及其度量：

（1）角的定义： 平面内一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。

（2）角的分类：

1）正角：平面内一条射线绕其端点从初始位置，按逆时针方向旋转到终止位置所形成的角。

2）负角：平面内一条射线绕其端点从初始位置，按顺时针方向旋转到终止位置所形成的角。

3）零角：始边没有转动的角。

（3）象限角：

1）定义：在直角坐标系内，角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，则终边在第几象限，就叫第几象限角。（也叫这个角属于第几象限）

2)集合表示象限角：第一象限角{a|k×360°<a<k×360°+90°，（kÎZ）}；

第二象限角{a|k×360°+90°<a<k×360°+180°，（kÎZ）}；第三象限角{a|k×360°+180°<a<k×360°+270°，（kÎZ）}；

第四象限角{a|k×360°+270°<a<k×360°+360°，（kÎZ）}；

3）注意：当终边落在坐标轴上时，角不属于任何象限。

（4）终边相同的角的表示方法：

       ｛x|x=360°k+α，k∈Z ｝ 。绝对值<360°时 直接观察终边

        绝对值>360°时，正角除以360°看余数。负角处以—360°，看余数。

（5）角的度量:

1)角的度量方法：角度值与弧度制。

   2）角度制：1°：把圆周平均分为360份，一份的圆心角即为1°。

                 公式:  

   3)弧度制：在圆内的弧长等于半径的弧所对的圆心角定义为1弧度的角。

       单位：rad(弧度) （可省略）

       公式：   

   4)弧度制与角度制的换算：（360°=2πrad 180°=πrad）

1°= 

 

 5)常见的角及其弧度：

2.任意角的三角比：

（1）任意角的三角比的定义

设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离

比值叫做的正弦记作：    （α∈R）        

  比值叫做的余弦记作：    （α∈R） 

比值叫做的正切记作：     (α≠kπ+π/2，k∈Z)

比值叫做的余切记作：     (α≠kπ,k∈Z)

比值叫做的正割记作：     (α≠kπ+π/2 ,k∈Z)

 比值叫做的余割记作：    (α≠kπ,k∈Z)

注：终边在x轴上时，余切 余割无意义 ；终边在y轴上时，正切正割无意义。

（2）三角比在各象限内的符号规律：一全正 二正弦 三两切 四余弦。

(3)特殊角的三角比

（4）三角函数线：

1）定义：角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线，统称三角函数线。

2）单位圆中的三角函数线：设角α的终边与单位圆交与P点,与过点A(1,0)的单位圆切线交于T点

(当终边与切线AT不相交时,取终边反向延长线与切线AT的交点),

过P作PM垂直x轴于M,则有向线段MP,OM,AT,分别叫做角α的正弦线

余弦线,正切线, 如图：正弦线为MP、余弦线为OM、正切线为AT。

　　3）注：正弦线,正切线的正向与y轴的正向相同,向上为正,向下为负,余弦线的正向与x轴的正向相同,当角α的终边与y轴重合时,角α的正切线无意义 3.三角恒等式与三角比公式：

（1）同角三角比的关系

1）倒数关系：tanα·cotα=1  sinα·cscα=1  cosα·secα=1

2）商数关系：tanα= cotα=

3)平方关系：sin²α+cos²α=1  1+tan²α=sec²α 1+cot²α=csc²α

 （2）诱导公式：(奇变偶不变 符号看象限)

公式一：   cot（α+2kπ）=cotα

公式二：         cot（-α）=-cotα    

公式三：   cot（π+α）=cotα

公式四：   cot（π-α）=-cotα

公式五：sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα

公式六：sin(π/2+α）=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα

（3）两角和与差的正弦公式 余弦公式

  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ   sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

   cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ   cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

（4）辅助角公式： 

                          （ab≠0）    

（5）倍角公式：    

（6）半角公式： 

 （7）万能置换公式：  

 （8）积化和差公式：

  

  

 （9）和差化积公式：

 

 

4.解斜三角形：（1）求三角形面积公式：

 S_⊿=a==== (R为三角形外接圆半径)

== r p（，r为内切圆半径）

（2）正弦定理：=== 2R（R为三角形外接圆半径）

  （3）余弦定理：a=b+c-2bc b=a+c-2ac

 c=a+b-2ab       

基本方法：大角对大角，大边对大边；已知三边，用余弦定理；已知两边一角，用余弦定理；

已知一边两角，相当于一边三角，用正弦定理。

二、 三角函数

1、（1）正弦余弦正切函数的图像与性质

（2）图像的作图方法：1）代数描点法：查表或计算器

       2）几何作法：把圆等分——在x轴上标点——利用正弦线平移——连线

       3）用五点法画正弦，余弦函数及的简图。通常取三个平衡点，一个最高点，一个最低点。

（3）周期函数：如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值都有f(x+T)=f(x)成立，则称T为f(x)的一个周期，函数f(x)为周期函数。所有周期中若存在最小正数，则称其为最小正周期。

注：对于一个函数，若T为其周期，则T的任意整数倍都是f(x)的周期。

（4）函数的图象及性质：（）

A为振幅，周期为T=, 频率为f=, 为初相

1）A决定在y轴方向的伸缩，即横坐标不变，纵坐标变，改变值域。

   A>1时 伸长到原来的A倍 0<A<1时，缩短到原来的A倍.

2）决定在x轴方向的伸缩，即纵坐标不变，横坐标变，改变周期。

   >1时 缩短到原来的倍 。0<<1时，伸长到原来的倍

3）决定x轴方向上的平移。 原则：左加右减。

 3.最简单的三角方程

（1）定义：含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

（2）三角方程的解集：所有适合三角方程的未知数的值所组成的集合。

（3）最简三角方程及其解集

10.几种常见的简单三角方程

    （1）可用换元的一元二次方程，如。

  （2）形如的三角方程。

  （3）函数名称相同，系数相等的三角方程，如

（4）关于、的齐次方程如 

 

第二篇：高一三角函数知识点的梳理总结

1．            高一三角函数知识

2．            一1.1任意角和弧度制

2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3.. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合：

②终边在x轴上的角的集合：  

③终边在y轴上的角的集合：

④终边在坐标轴上的角的集合： 

⑤终边在y=x轴上的角的集合： 

⑥终边在轴上的角的集合：

⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：

⑧若角与角的终边关于y轴对称，则与角的关系：

⑨若角与角的终边在一条直线上，则与角的关系：

⑩角与角的终边互相垂直，则与角的关系：

4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对的弧长为l，则其弧度数的绝对值|,其中r是圆的半径。

5. 弧度与角度互换公式：  1rad＝（）°≈57.30°     1°＝

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

6.. 第一象限的角： 

锐角： ；  小于的角：（包括负角和零角）

7.弧长公式：     扇形面积公式：

§1.2任意角的三角函数

1.       任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么， 

 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。

2..三角函数线

   正弦线：MP;   余弦线：OM;    正切线： AT.

3.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

 

    ＋     　＋     －　　＋　　　　－　　＋

　　－　　　－　　　－　　＋　　　　＋　　－

                         

4.同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：

（2）商数关系：（用于切化弦）

※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换

§1.3三角函数的诱导公式

1.诱导公式（把角写成形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）

Ⅰ）   Ⅱ）  Ⅲ）

Ⅳ）    Ⅴ） Ⅵ）

§1.4三角函数的图像与性质

1.周期函数定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期。（并非所有函数都有最小正周期）

①与的周期是.

②或（）的周期.

③

的周期为2（，如图）

2.三种常用三角函数的主要性质

3、形如的函数：

（1）几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；—相位；―初相；

（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则＝_____（答：）；

（3）函数图象的画法：

①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；    ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数的图象与图象间的关系：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；

③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；

④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。

要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位

例：以变换到为例

向左平移个单位 （左加右减） 

横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）

横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

向左平移个单位 （左加右减）    

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）

注意：在变换中改变的始终是x。

（5）函数性质（潜在换元思想）：求对称中心、对称轴、单调区间的方法（特别注意先）

9.正余弦“三兄妹—”的内存联系――“知一求二”