数学选修2-2导数及其应用知识点必记

1．函数的平均变化率为

注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式

6、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数 (3)求方程=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求在上的极值；⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限    （“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1 

性质5 若，则

①推广：

    ②推广:

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

14.归纳推理的思维过程

大致如图：

15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

17.类比推理的思维过程

   

18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M　③结论：S是P。

    其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

26常见的“结论词”与“反义词”

27.反证法的思维方法:正难则反

28.归缪矛盾（1）与已知条件矛盾:（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾．

29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取第一个值时命题成立；(2)假设当n=k (k∈N^*，且k≥n₀)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确　[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，叫实部， 叫虚部，数集叫做复数集。

规定：a=c且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

31．数集的关系：

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

34.求复数的模(绝对值)与复数对应的向量的模叫做复数的模(也叫绝对值)记作。由模的定义可知：

35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则：，则。注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。

②复数的乘法法则：。

③复数的除法法则：其中叫做实数化因子

36.共轭复数:两复数互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

设是1的立方虚根，则，

 

第二篇：高二数学导数及其应用复习讲义有答案

高二数学复习讲义—导数及其应用

知识归纳

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：

（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f’(x)=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f^/（x）（x－x）。

3．几种常见函数的导数:

①  ②   ③;   ④;

⑤⑥;  

⑦;   ⑧.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：‘=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|

5.单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，

如果，则为增函数；

如果，则为减函数；

如果在某区间内恒有，则为常数；

6.极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

7．最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?在(a，b)内的极值；

②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

高考题型

1.导数定义的应用

例1 (北京高考）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为， _________．

解：由图可知，根据导数的定义

知．

例２(重庆高考)已知函数,其中，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若且，试证：．

解：，易知．故

，

所以解得．

2. 利用导数研究函数的图像

例3 （安徽高考）设＜b,函数的图像可能是

 

解：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C．或当时，当时，选C．

点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.

3.利用导数解决函数的单调性问题

例5（全国高考）已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

解：（1）求导得

当时，，，在上递增；

当，求得两根为，

即在递增，递减， 递增。

（2）因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得．

点评：函数在某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在上递减，所以求解．

【变式1】（ 全国高考）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．

解：，令得或，结合图像知，故．

点评：本题也可转化为恒成立且恒成立来解．

【变式2】（ 浙江高考）已知函数 ．若函数在区间上不单调，求的取值范围．

解：函数在区间不单调，等价于在区间上有实数解，且无重根．

又，由，得。从而

或解得或

所以的取值范围是

点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。

（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题

例6 （江西高考）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于          

A．或         B．或         C．或          D．或

解：设过的直线与相切于点，所以切线方程为

即，又在切线上，则或，

当时，由与相切可得，

当时，由与相切可得，所以选.

点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．

【变式】（ 辽宁高考）设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（    ）

A．       B．     

C．          D．

解：由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，可得曲线在点处切线的斜率范围为，又，设点的横坐标为，则，解得，故选．

5. 利用导数求函数的极值与最值

例7（天津高考）已知函数（），其中．若函数仅在处有极值，求的取值范围．

解：，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须成立，即有．

解不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．

6.利用导数解决实际问题

例8用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

解：设长方体的宽为（m），则长为 (m)，高为.

故长方体的体积为

从而令，解得（舍去）或，因此.

当时，；当时，，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值，从而最大体积，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m

导数及其应用  [基础训练A组]

一、选择题

1．若函数在区间内可导，且则 

的值为（  B  ）

A．     B．     C．     D．

     

2．一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，

那么物体在秒末的瞬时速度是（C ）

A．米/秒         B．米/秒        

C．米/秒         D．米/秒

3．函数的递增区间是（C ）

A．          B． 

C．        D．

  对于任何实数都恒成立

4．,若,则的值等于（D ）

A．       B．       

C．        D．

5．函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（  D ）

A．充分条件    B．必要条件   

C．充要条件    D．必要非充分条件

对于不能推出在取极值，反之成立

6．函数在区间上的最小值为（D ）

A．      B．     C．     D．

 得而端点的函数值，得

二、填空题

1．若，则的值为_______ __________；

2．曲线在点 处的切线倾斜角为_

       

3．函数的导数为_________________；

4．曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；

 

5．函数的单调递增区间是_____________________ 

三、解答题

1．求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。

解：设切点为，函数的导数为

切线的斜率，得，代入到

得，即，。

2．求函数的导数。

解：

         

3．求函数在区间上的最大值与最小值。

解：,              

当得，或，或，                      

∵，，

列表:

又；右端点处；

∴函数在区间上的最大值为，最小值为。

4．已知函数，当时，有极大值；

（1）求的值；（2）求函数的极小值。

解：（1）当时，，

即

（2），令，得