电路分析基础各章节小结

第四章小结:

1.叠加定理:在线性电路中,任一支路电压或电流都是电路中各独立电源单独作用时在该支路上电压或电流的代数和。

应用叠加定理应注意:

(l)叠加定理只适用于线性电路,非线性电路一般不适应。

(2)某独立电源单独作用时,其余独立源置零。置零电压源是短路,置零电流源是开路。电源的内阻以及电路其他部分结构参数应保持不变。

(3)叠加定理只适应于任一支路电压或电流。任一支路的功率或能量是电压或电流的二次函数,不能直接用叠加定理来计算。

(4)受控源为非独立电源,应保留不变。

(5)响应叠加是代数和,应注意响应的参考方向。

2.替代定理:在具有唯一解的 集总参数电路 中,若已知某支路k的电压uk或电流ik,且支路k与其它支路无耦合,那么,该支路可以用一个电压为uk的电压源,或用一个电流为ik的电流源替代。所得电路仍具有唯一解,替代前后电路中各支路的电压和电流保持不变。

应用替代定理应注意:

(l)替代定理适应于任意集总参数电路,但替代前后必须保证电路具有唯一解的条件。

(2)所替代支路与其它支路无耦合。

(3)“替代”与“等效变换”是两个不同的概念。

(4)若支路k是电源,也可以用电阻Rk=uk/ik来替代。

3.等效电源定理

(l)戴维南定理:任一线性有源二端网络N,就其两个输出端而言,总可以用一个独立电压源和一个电阻的串联电路来等效,其中,独立电压源的电压等于该二端网络N输出端的开路电压uOC,串联电阻Ro等于将该二端网络N内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻。

(2)诺顿定理:任一线性有源二端网络N,就其两个输出端而言,总可以用一个独立电流源和一个电阻的并联电路来等效,其中,独立电流源的电流等于该二端网络N输出端的短路电流iSC,并联电阻Ro等于将该二端网络N内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻。

应用戴维南定理和诺顿定理应注意:

①只要求有源二端网络N是线性的,而对该网络所接外电路没有限制,但有源二端网络N与外电路不能有耦合关系。

戴维南定理诺顿定理互为对偶。当时,有源二端网络N既有戴维南等效电路也有诺顿等效电路,有

(3)最大功率传输

有源二端网络N与一个可变负载电阻RL相接,当RLRo时负载获得最大功率,称负载与有源二端网络N匹配,最大功率为

4.特勒根定理

(l)特勒根第一定理:对于n个节点,b条支路的集总参数网络,设支路电压为uk,支路电流为ik,各支路电压和电流取关联参考方向,在任一时刻t,有

特勒根第一定理反映电路功率守恒,又称功率守恒定理。

(2)特勒根第二定理:两个具有相同有向线图的n个节点,b条支路的集总参数网络N和N’,设支路电压分别为,支路电流分别为,各支路电压和电流取关联参考方向,在任一时刻t,有

   和   

特勒根第二定理虽然具有功率的量纲,但并不表示支路的功率,因此特勒根第二定理又称似功率守恒定理。

应用特勒根定理应注意:

①证明特勒根定理成立只用到了KCL和KVL,所以适应于任意集总参数电路。

②定理在实际应用中,注意各支路电压和电流取关联参考方向。

5.互易定理:一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络,在单一激励的情况下,激励响应互换位置,其比值保持不变。

互易定理有三种形式

①一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络,一端口电压源与另一端口响应电流互换位置,其响应电流不变。

②一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络,一端口电流源与另一端口响应电压互换位置,其响应电压不变。

③一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络,一端口电压源与另一端口响应电压,若互换成数值相同的电流源与响应电流,其响应电流在数值上与原响应电压相等。

应用互易定理应注意:

①只能用于一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络,单一激励的情况。

②特勒根定理可以证明互易定理成立,对于互易定理的前两种形式,互易前后激励响应参考方向一致(都相同或都相反);互易定理的第三种形式则不然,参考方向一边相同另一边相反。

第五章小结:

可以用一阶微分方程来描述的电路称为一阶电路。

1.电容元件

线性非时变电容元件:

微分形式VCR:

上式表明电容是一种双向、动态、惯性元件,一般情况下  电容电压不能跳变。

积分形式VCR:

电容 是记忆元件,实际运算中必须已知(初始值),电容是一种储能元件。储存电场能为

2.电感元件   线性非时变电感元件:

微分形式VCR:

上式表明电感是一种双向、动态、惯性元件,一般情况下电感电流不能跳变。

积分形式VCR:

电感 是 记忆元件,实际运算中必须已知(初始值),电感是一种储能元件。储存磁场能为。3.换路和换路定则

换路:电路的结构或元件参数突然改变称为换路。若设时刻换路,则换路前一瞬间记为,换路后一瞬间记为

换路定则:若换路瞬间电容电流为有限值,即换路不形成构成的全电容回路,则有 ,或 ;对偶地,若换路瞬间电感电压为有限值,即换路后不形成构成的全电感割集,则有 ,或

4.初始值计算

初始值:电路变量在时刻的值。初始值计算步骤:

(1)求换路前的初始状态。若换路前为直流激励且开关动作已经很久,可将C看成开路,L看成短路。得到时刻的等效图,这是一个时刻特殊的电阻电路,简称图。求解电容两端的电压,流过电感的电流

(2)在不形成全电容回路,不形成全电感割集的情况下,换路定则成立,即

(3)作时刻的等效图,根据替代定理,电容用电压为的电压源替代;电感用电流为的电流源替代,从而得到时刻时的另一个特殊的电阻电路,简称图。计算需求电压或电流的值即为初始值。

5.一阶电路的零输入响应

激励为零,仅由动态元件初始储能引起的响应称为零输入响应。

一阶电路的零输入响应的一般公式:

式中,为一阶电路任意需求的零输入响应。为仅由动态元件初始储能引起的响应的初始值。为时间常数;含电容的一阶电路,含电感的一阶电路。上述R为动态元件两端看进去的等效电阻。

若此时将动态元件初始储能看成是内电源,显然动态元件初始储能即内电源与零输入响应成正比关系,通常称为零输入线性。

6.一阶电路的零状态响应

动态元件初始状态为零,即,仅由激励引起的响应称为零状态响应。对于电容电压和电感电流的零状态响应可表示为:

式中,分别为电容电压和电感电流的零状态响应。,分别为电容电压和电感电流的稳态值,为时间常数。

    激励与零状态响应之间存在线性关系,通常称为零状态线性。

7.一阶电路的全响应

全响应:由动态元件初始储能和外界激励共同引起的响应。

全响应=零输入响应+零状态响应

      =固有响应(自然响应)+强制响应

      =瞬态响应(暂态响应)+稳态响应

8.一阶电路的三要素法

三要素:响应的初始值;响应的稳态值和时间常数

一阶电路的三要素式公式:

式中,响应的初始值求法见4.;时间常数的求法见5.;响应的稳态值求法:对于换路后的电路,电容用开路替代,电感用短路替代,从而得到时刻的等效图,又是另一个特殊的电阻电路,简称终了图。计算需求电压或电流的稳态值。

    一阶电路的三要素式公式不仅可以计算全响应,也可以计算零输入响应和零状态响应。

当然,一阶电路的零状态响应的也有一般公式:

式中,一阶电路任意需求的零状态响应。为仅由外激励引起响应的初始值。理解是方便的: 时刻初始值由内激励(初始储能)和外激励共同作用的结果,是满足叠加定理的。

9.一阶电路的特殊情况

(1) 动态元件两端看进去的等效电阻R=0或R=∞时,可以应用极限的办法来求取。

(2) 换路后形成全电容回路或全电感割集,换路定则失效。解决的方法:

全电容回路依据电荷守恒,即

全电感割集依据磁链守恒,即

最后可以归结为动态元件的等效电路的方法。

(3)换路后形成全电容割集或全电感回路,换路定则仍然成立,但稳态值的求解仍可应用动态元件的等效电路的方法。

必须指出,即使是一阶电路的特殊情况,一阶电路的三要素式公式仍然成立。

10.阶跃函数和阶跃响应

单位阶跃函数又称切函数。定义为

一阶电路的单位阶跃响应:在单位阶跃信号激励下的零状态响应,记为的计算同样应用三要素式公式即可。阶跃响应表征了一阶电路的特性,应用它可以方便地计算任意波形信号激励下的零状态响应。

11.脉冲序列作用下的一阶电路

  这里主要讨论脉冲持续时间T与脉冲间隔时间T相同的方波序列,一阶电路为RC电路。

(1) 当时,由三要素式公式,得

 ,

特别地,当非常小(如)时,。电阻上的响应电压近似等

于激励电压的微分,常称时间常数非常小的RC电路为微分电路。

(2) 当时,由三要素式公式,得

,可以求得,且

特别地,当非常大(如)时,。电容上的响应电压近似

等于激励电压的积分,常称时间常数非常大的RC电路为积分电路。

12.指数函数与正弦函数激励下的一阶电路

任意信号作用下一阶电路的全响应公式:

类似地,三个要素可以确定任意信号作用下一阶电路的全响应:特解、初始值和时间常数

第六章小结:

可以用二阶微分方程来描述的电路称为二阶电路。

1.RLC串联电路的零输入响应

RLC串联电路的二阶微分方程为

零输入响应是当激励US=0时的情况。由齐次微分方程及特征方程,可得特征根为

(1) 当时,特征根为两个不相同的负实数,属于过阻尼情况。

(2) 当时,特征根为两个相同的负实数,属于临界阻尼情况。

(3)当时,特征根为两个具有负实部的共轭复数,属于欠阻尼情况。响应是衰减振荡波形。特殊地,R=0时,特征根的实部为零,响应是等幅振荡

与分析零输入响应类似,RLC串联电路的零状态响应和全响应同样可分为三种情况。

根据对偶原理可得到GCL并联电路的相应的结果。

特别要说明的是,同类动态元件组成的二阶电路不可能出现特征根为共轭复根的情况,

即衰减振荡的过程。

第七章小结:

   1.正弦量

(1) 正弦量的时域表示

    

式中,:振幅,:有效值,且

:角频率,单位rad/s,为频率,为周期;

:初相,要求;():相位。

    (或F), (或fT)和称为正弦量的三要素。

2.正弦量的相量表示

相量法的基础是用相量(复常数)表示正弦量的振幅值(或有效值)和初相。

    振幅相量

或           有效值相量

3.元件VCR的相量表示(电压、电流取关联参考方向)

时域表示                          相量表示

电阻元件                           

电感元件                         

电容元件              或

从元件VCR的相量形式可以清楚地看出:在正弦稳态电路中,电阻上的电压和电流同相;   电感上的电压超前电流90°电容上的滞后电流90°。定义感抗,容抗

由此得到欧姆定律的相量形式:Z为阻抗;Y为导纳。

其中,

4.基尔霍夫定理的相量表示

时域表示                       相量表示

KCL                           或 

KVL                          或 

5.相量分析法

在分析正弦稳态电路时,由于响应的不变,所以正弦量和它的相量之间存在一一对应关系。我们做了如下准备:(1)正弦电压和电流用相量表示;(2)元件VCR用相量表示;(3)基尔霍夫定理用相量表示。可见,相量分析法则是电阻电路分析的推广。从数学意义上说,从一维空间(电阻电路)的计算推广到了二维空间(正弦稳态电路)的计算。

相量分析法的步骤:

(1) 作出与时域电路相对应的相量模型;

(2) 用分析电阻电路的各种定理、公式和方法乃至技巧推广运用到正弦稳态电路中;

(3) 将求得的响应变换成相应时域正弦函数的形式。

   6.正弦稳态电路的功率

若二端网络端口电压、电流为关联参考方向,则此二端网络的

平均功率(有功功率)      (单位:W)

无功功率                (单位:Var)

功率因数           (当,感性时标明“滞后”,反之标“超前”)

视在功率                           (单位:VA)

复功率                  (单位:VA)

    最后指出,正弦稳态电路复功率守恒,依此,可得正弦稳态电路有功功率守恒无功功率守恒,但视在功率守恒

7.最大功率传输

有源二端网络N与一个可变负载阻抗ZL相接,当时负载获得最大功率,称负载与有源二端网络N共轭匹配,负载获得最大功率为

若负载阻抗ZL的阻抗角不能改变,也就是仅阻抗的模可变,此时,当时,负载获得最大功率,称为模匹配。当然上述最大功率的公式不再成立。

8.三相电路

(1)对称三相电路是三相电源的电压的振幅、频率相等,相位彼此相差120°,三相线路和三相负载完全相同的情况。

(2)对称三相电路中的三相电源和三相负载有 星形 和 三角形 两种连接方式。

设对称三相电源是星形连接的,为

  ,  ,

为了方便,有时也可以把它看成是三角形连接的,它们之间的关系为

当对称三相电路中三相负载是星形连接时:

         负载端线电流与相电流相同

   负载端线电压与相电压相差倍,且线电压超前相电压30°

当对称三相电路中三相负载是三角形连接时:

       负载端线电压与相电压相同

    负载端线电流与相电流相差倍,且线电流滞后相电流30°

对称三相电路三相负载的平均功率:

 

 三相四线制电路常采用三个功率表分别测定三相功率。三相三线制电路可只用两个功率表测量三相功率。

9.非正弦周期电路的稳态分析

(1)由傅里叶级数理论,一般的周期信号能够展开成无限多个正弦信号之和。应用叠加定理,非正弦周期信号激励下的稳态响应等于其直流分量和各此谐波分量作用的叠加。

(2)非正弦周期电压或电流的有效值等于其直流分量和各次谐波分量有效值的平方之和的平方根。

第八章小结:

   1.耦合电感的VCR

耦合电感是具有磁耦合的多个线圈的电路模型,以两个线圈为例,由L1L2M三个参数来表征理想化耦合电感。设两线圈电压、电流分别取关联参考方向,则有

其相量形式为

上面两式中,线圈电压、电流取关联参考方向,则自感电压取正,当两个线圈电流产生的磁通相互增强时互感电压取正,否则取负。

   2.耦合电感的同名端

    同名端:最简单的理解是两线圈绕法相同的一对端子称为同名端,或所起作用相同的一对端子称为同名端。进一步的理解为,若两电流分别流入这对端子,使线圈中的磁通相互增强的一对端子,或线圈产生互感电压与自感电压方向相同的一对端子称为同名端。

   3.耦合电感的连接及去耦等效

(1)  耦合电感的串联

  应用耦合电感的VCR,其等效电感为

式中,顺串时取正,反串时取负。

(2)  耦合电感的并联

应用耦合电感的VCR,其等效电感为

式中,同侧并联(顺并)时取负,异侧并联(反并)时取正。

(3)  耦合电感的三端连接

    三端连接的耦合电感可等效为三个无耦合的电感构成的T型电路,设耦合电感同名端连接在一起时,等效为:与此端连接的电感为M,其余两个电感分别为L1ML2M。否则,改变上述三个电感M前的符号。

3.空芯变压器电路

变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来实现传递能量或信号的器件。

一般地,变压器线圈绕在铁芯上,耦合系数接近1,习惯称为铁芯变压器;变压器线圈绕在非铁磁材料的芯子上,线圈的耦合系数比较小,习惯称为空芯变压器。

空芯变压器电路分析依据是耦合电感的VCR。分析方法除了上述耦合电感的三端连接去耦等效方法外,还有

(1)列方程法

含空芯变压器电路最终等效为与电源相接的初级回路和与负载相接的次级回路。列两个回路方程,即可得到结果。这是最基本的分析方法。

(2)反映阻抗法

当初次级之间再无其它耦合(如受控源)时,以列方程法为基础,归结为:第一步:求电源端的输入阻抗,为

式中,为初级回路的阻抗,为次级回路的阻抗,为次级回路对初级回路的反映阻抗或引入阻抗;第二步:初级回路的电流为;第三步:根据空芯变压器电路的受控源等效电路,次级回路的受控电压源电压为,根据同名端判定取正还是取负。次级回路电流为;第四步:求需求支路的电压或电流。

(3)戴维南定理法

其实质仍然是以列方程法为基础,首先求取负载端的戴维南等效电路:

式中,次级开路时初级回路的电流,为初级回路的阻抗,根据空芯变压器电路的受控源等效电路的同名端判定取正还是取负。

式中,为去掉负载后的次级回路的阻抗,为初级回路的阻抗,为初级回路对次级回路的反映阻抗或引入阻抗。

当求负载获最大功率的情况,应用戴维南电路是方便的。

4.含理想变压器电路

(1) 理想变压器的VCR

 当耦合电感满足:①线圈无损耗;②耦合系数k=1;③L1L2M均为无限大,且保持

(匝比)的条件。此元件模型称为理想变压器。理想变压器只有一个参数:匝比n。由于同名端的不同,理想变压器有两个VCR。但可以统一:若假设理想变压器两线圈标同名端处均取为电压正极,且匝比标有n侧的初级电压为nu2,匝比标有1侧的次级电压为u2;流入同名端初级电流为i1;流出同名端次级电流为ni1

    由于理想变压器的VCR是代数关系,因而它是不储能、不耗能的即时元件,是一种无记忆元件。

   (2) 含理想变压器的全耦合变压器的VCR

    当一个实际变压器满足前两个条件为全耦合变压器。等效电路也很简单:即在理想变压器电路初级并接初级电感,或次级并接次级电感。全耦合变压器有两个参数:nL1;或nL2

(3) 含理想变压器电路分析方法

①依据是理想变压器的VCR,利用变压、变流和变阻抗是理想变压器的三个重要特性。

阻抗、电压源和电流源可以在理想变压器的初、次级之间来回搬移,使之简化为无理想变压器的电路来计算。

②列方程法

这是求解含理想变压器电路的一般分析方法。

③戴维南定理法

同样,当求负载获最大功率的情况,应用戴维南电路是方便的。

第九章小结:

   1.电路的频率特性与网络函数

当电路含有动态元件时由于容抗和感抗都是频率的函数,不同频率的正弦信号作用于电路时,即使激励的振幅和初相不变,响应的振幅和初相也将随着频率的改变而改变。电路响应随激励频率变化而变化的特性称为电路的频率特性。

在电路分析中,电路的频率特性用正弦稳态电路的网络函数来描述,定义为

网络函数一般是的复函数,可写成模和幅角的形式

   

式中,的实函数,表征了电路响应与激励的幅值之比(即振幅比或有效值比)随角频率变化的特性,称为电路的幅频特性;表征电路响应与激励的相位差(相移)随角频率变化的特性,称为电路的相频特性。幅频特性和相频特性总称电路的频率特性。

网络函数有六种具体的表现形式。

2.RC电路的频率特性

用RC元件按照各种方式组成的电路能起到不同的选频或滤波的作用。有RC低通、高通、带通、带阻和全通网络。

3.RLC串联谐振和GCL并联谐振

电路中总电压与总电流同相,电路呈现电阻性,称为谐振。RLC串联谐振和GCL并联谐振是对偶电路,具有对偶特性。

(1) RLC串联谐振电路

谐振条件:阻抗虚部为零,即当时电路发生串联谐振。为谐振角频率。

谐振时的特性:

①  阻抗虚部为零,谐振时电流I0为最大。

②     谐振时容抗和感抗均为,称为特性阻抗。

③       定义为品质因数,谐振时外加电压全部加在电阻上,电容和电感相当于短路,即,

④       谐振时电容电压和电感电压大小相等相位相反,是外加电压的Q倍,即;,故串联谐振又称电压谐振。

⑤       为了不过分降低串联谐振的品质因数适用与低内阻的电源连接。

⑥       谐振时频率特性:若取响应为电流,电路的导纳函数为

标称化后,表示为

其幅频特性具有良好的带通特性。Q值愈大,谐振曲线愈尖锐。通频带为

     (单位rad/s)

(2) GCL并联谐振电路

谐振条件:导纳虚部为零,即当时电路发生并联谐振。为谐振角频率。

谐振时的特性:

①导纳虚部为零,谐振时电压U0为最大。

②谐振时容抗和感抗均为,称为特性阻抗。

③定义为品质因数,谐振时外加电流全部流入电阻,电容和电感相当于开路,即,

④谐振时电容电流和电感电流大小相等相位相反,是外加电流的Q倍,即;,故并联谐振又称电流谐振。

⑤为了不过分降低并联谐振的品质因数适用与高内阻的电源连接。

⑥谐振时频率特性:若取响应为压,电路的阻抗函数为

标称化后,表示为

其幅频特性具有良好的带通特性。Q值愈大,谐振曲线愈尖锐。通频带为

     (单位rad/s)

(3) 实际并联谐振电路

实际并联谐振电路由电感线圈和电容并联组成,其中r是线圈的损耗电阻。当电路工作在谐振频率附近,且时,电路可等效为GCL并联谐振电路。此时

  ,  

谐振阻抗Z0(或谐振电阻R0)为

     

(4) 三个电抗元件组成的谐振电路

理论上讲n个独立的动态元件可以有n-1个谐振频率。本书只讨论三个纯电抗元件组成的谐振电路,根据其阻抗的虚部为零和导纳虚部为零,可分别得到一个串联谐振频率和一个并联谐振频率。

4.电源内阻及负载对谐振电路的影响

假设实际并联谐振电路已等效为GCL并联谐振电路,且电源内阻及负载均为纯电阻,加载后电路的品质因数会降低,但电路的谐振频率不变。减少加载影响的方法有很多。如利用变压器减少加载影响;利用电容或电感分接减少加载影响等等。

5.改善谐振特性的方法

 前述单振荡回路不可能兼顾通频带与选择性两方面的要求。本章介绍更接近理想带通特性的两类电路。

(1)耦合振荡回路

耦合振荡回路一般由两个或两个以上单振荡回路通过不同的耦合方式组成,通常称为耦合回路。其中又分为互感耦合串联型回路和电容耦合并联型回路等。它们的通频带可达单谐振回路的3.1倍。

(2)参差调谐电路

将多级单调谐电路级联起来,当各级调谐到不同频率时称为参差调谐电路,本章主要介绍双参差调谐电路。最平特性参差调谐电路的通频带是单谐振回路的倍。

6.LC滤波器概念

前述串并联谐振电路及耦合回路,从广义上说,它们都是一种滤波网络,而滤波器则是一种对选频特性比一般谐振电路要求更高的选频网络。常用结构有梯型和格型之分。最简单的滤波器有影像参数滤波器,其中包括K式滤波器和m式滤波器。近代网络设计中,滤波器的品种就更多。常见的有勃脱瓦兹型(B型)滤波器,契比雪夫型(C型)滤波器和考乌尔(CC型)滤波器等等。

第十章小结:

大规模线性网络分析中为了方便常用矩阵表示。本章定义了关联矩阵A,基本回路矩阵Bf和基本割集矩阵Qf。这时,矩阵形式的KCL为Aib=0,或Qib=0,矩阵形式的KVL为Bfub=0

关联矩阵A,基本回路矩阵Bf和基本割集矩阵Qf关系为:

  ABfT=0       BfAT=0  Qf BfT=0      Bf QfT=0

矩阵形式的节点方程为 AYATUn=AIS-AYUS

矩阵形式的回路方程为 BfZBfTUl=BfUS-BfZIS

矩阵形式的节点方程为 QfYQfTUt=QfIS-QfYUS

 

第十一章小结:

二端口网络有两个端口电压变量和两个端口电流变量,无源线性二端口网络四个变量中任意两个变量可用另两个变量线性表示。共有六种表示方法。本章仅介绍Z参数、Y参数、H参数和A参数四种。各种参数之间一般情况下可以相互转换,特殊情况下,少数二端口网络可能不存在一种或几种参数。二端口网络参数的计算有两种方法:按定义来计算,需要单独计算四次;或直接列网络方程来计算。为了应用方便,二端口网络根据不同参数有相应的等效电路。两个二端口网络级联方式连接时,使用A参数,为AA1A2;并联连接时,使用Y参数,为YY1+Y2;串联连接时,使用Z参数,为ZZ1+Z2

阻抗变换器是使输入端口的输入阻抗与输出端口所接负载阻抗形成一定关系的二端口网络。阻抗变换器可分为广义阻抗变换器和广义阻抗倒置器两种。它们常用运算放大器来实现。

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