题型一 三角函数求表达式
1、函数y?sin(?x??)(x?R,??0,0???2?)的部分图象如图,则
A.?? ?26???5?C.??,?? D.??,?? 4444,???4 B.???3,???
2下列函数中,图像的一部分如右图所示的是
?(A)y?sin(x?) (B)y?sin(2x??) 66
?(C)y?cos(4x?) (D)y?cos(2x??) 36
3函数f(x)?2sin(?x??),(??0,?
?
2????
2)的部分图象如图所示,则?,?的值分别是
(A)2,?
4、函数y?Asin(?x??)(??0,??
示,则函数表达式为) ?3 (B)2,??6 (C)4,??6 (D)4,? 3?,x?R)的部分图象如图所2
????x?) (B)y?4sin(x?) 8484
????(C)y??4sin(x?) (D)y?4sin(x?) 8484(A)y??4sin(
5、如图是函数y?Asin(?x??)?k(A>0,?>0,|?|<?)在一个周期内的图象,求这个函数的解析式。
6、 已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R(其中A?0,??0,0???
?
22??
,?2). 的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为M(32
(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)当x?[
7已知函数f(x)?Asin(?x??)(x?R,??0,0???
)的图象与x轴
,],求f(x)的值域.122
??
?
2
的部分图像如图5所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若x????,??,求f(x)的单调递增区间
8设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)图像的一条对称轴是直线x?
(Ⅰ)求?;(Ⅱ)求函数y?f(x)的单调增区间; (Ⅲ)画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像。
?
8
。
题型二 三角函数图像变换
π1. 把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移6
点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数为( )
π1π2x-? B.y=sin?+ A.y=sin?3???26π1π2x+? D.y=sin?- C.y=sin?3???26
2、将函数y?sinx的图像上所有的点向右平行移动?
10个单位长度,再把所得各点的横坐
标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是
(A)y?sin(2x?) (B)y?sin(2x?) 105
1?1?) (C)y?sin(x?) (D)y?sin(x?210220
??3为了得到函数y?sin(2x?)的图像,只需把函数y?sin(2x?)的图像 36??
??个长度单位 (B)向右平移个长度单位 44
??(C)向左平移个长度单位 (D)向右平移个长度单位 22(A)向左平移
4右图是函数y?Asin(?x+?)(x?R)在区间?-??5??为了得到这个?上的图象,66??
函数的图象,只要将y?sinx(x?R)的图象上所有的点
(A)向左平移
来的?个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原31倍,纵坐标不变 2
?(B) 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原3
来的2倍,纵坐标不变
?1个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 62
?(D) 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 6
?(C) 向左平移5 将函数y?sin2x的图象向左平移4个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析
式是( ).
A.y?cos2x B.y?2cos2x C.y?1?sin(2x?
6、已知函数f(x)?sin(?x??4) D.y?2sin2x ?
4)(x?R,??0)的最小正周期为?,为了得到函数
g(x)?cos?x的图象,只要将y?f(x)的图象
??个单位长度 B 向右平移个单位长度 88
??C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度44A 向左平移
7
将函数y?x?sinx?x?R?的图像向左平移m?m?0?个长度单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是( ) A. ?
12 B. ?
6 C. ?
3 D. 5? 6
4?个单位后与原图像重合,则?的38、设??0,函数y?sin(?x?
最小值是
(A)?3)?2的图像向右平移243 (B) (C) (D) 3 332
9 已知函数f(x)?sin(???x)cos?x?cos2?x(??0)的最小正周期为?,
(Ⅰ)求?的值;
(Ⅱ)将函数y?f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的1,纵坐标不变,得到函数2
???y?g(x)的图像,求函数y?g(x)在区间?0,?上的值域 ?16?
课后作业练习
1已知函数f(x)?sinx?cosx
(1)求f(x)的最小正周期 (2)求f(x)的值域
2已知函数f(x)?3sin2x?cos2x
(1)求f(x)的最小正周期和值域 (2)求f(x)的单调递增区间
3已知函数f(x)?sin2x?sin(?
2?2x)
(1)求f(x)的最小正周期 (2)求f(x)的最大值及此时x的取值组成的集合
4 已知函数f(x)?sin2x?sin(2x??
3)
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程 (2)求求f(x)的单调递减区间
5 将下列式子利用辅助角公式化成f(x)?Asin(wx??)?B的形式
(1)f(x)?sin2x?2cos2x?1
(2)f(x)?sin2x?2sin2x
(3)f(x)?2sinxcosx?cos2x
(4)f(x)?3sinxcosx?cos2x
(5)f(x)?sinxxxcos?sin2 222
(6)f(x)?2sinxcosx?cos(2x?
(7)f(x)?4cosxsin(x??6) ?
6)
(8)f(x)?sin4x?cos4x?sin2x
6已知函数f(x)?23sinxcosx?2cos2x
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间(2)若x??0,???,求f(x)的值域 ??2?
7已知直线y=2与函数f(x)=2sin2ωx+2ωxcosωx-1(ω>0)的图象的两个相邻交点之间的距离为π.
(1)求f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间;
π(2)将函数f(x)个单位长度得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及4
g(x)取得最大值时x的取值集合.
高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换
一、知识要点:
1.正弦、余弦、正切函数图象和性质
2.利用“五点法”作函数(其中)的简图,是将看着一个整体,先令列表求出对应的的值与的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。
3.研究函数(其中)的单调性、对称轴、对称中心仍然是将看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期
4.图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)复合变换
5.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比较大小,图象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式,已知三角函数值求角。
二.基础练习
1. 函数的最小正周期T= .
2.函数的最小正周期是 若函数的最小正周期是,则a=____.
3.函数为增函数的区间是
4.函数的最小值是
5.将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
6.已知简谐运动的图象经过点,则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c的大小关系为______.
8.给出下列命题:
①存在实数,使成立;
②函数是偶函数;
③直线是函数的图象的一条对称轴;
④若和都是第一象限角,且,则.
⑤的图象关于点对称;
其中结论是正确的序号是 (把你认为是真命题的序号都填上).
三、例题分析:
题型1:三角函数图像变换
例1、 变为了得到函数的图象,可以将函数的图象怎样变换?
式1:将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向左平移个单位,所得图象的解析式是 .
题型2:三角函数图像性质
例2、已知函数 y=log()
⑴求它的定义域和值域; ⑵求它的单调区间;⑶判断它的奇偶性; ;⑷判断它的周期性.
变式1:求函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时的值的集合.;
变式2:函数y=2sinx的单调增区间是
题型3:图像性质的简单应用
例3、已知函数的图象与轴交于点,它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为,,
(1)求函数的解析式;
(2)用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象,并说明它是由函数的图象依次经过哪些变换而得到的。
变式1:如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+)+b.
(Ⅰ)求这段时间的最大温差;
(Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式.
变式2:已知函数是上的偶函数,其图象关于点对称,求和的值。
题型4:三角函数综合应用
例4、求下列函数的定义域
(1) (2) (3) .
例5、求下列函数的值域
(1) (2) (3)
例6 若的最小值为 ,
(1)求的表达式;
(2)求使的的值,并求当取此值时的最大值。
能力检测题
1.(20##年福建).已知函数的最小正周期为,则该函数的图象( )
A.关于点对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于直线对称
2.(20##年江苏卷1).下列函数中,周期为的是( )
A. B. C. D.
3.(07年山东卷文4).要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
4.如果有意义,则的取值范围是
5.(20##年江西卷文2).函数的最小正周期为
6.要得到的图象,只需将函数的图象
7.对于函数,有下列说法:
①最大值为; ②最小正周期为; ③在至少有一个,使得;
④由解得的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是
8.函数的单调增区间为 .
9.已知,且求角x的集合.
10.函数的单调递增区间是 .
11.函数是奇函数,且当时,,则当时, 等于 .
12.如果、、均为锐角,,,,则从小到大的顺序为 .
13. 函数的定义域是
14.(07年浙江卷理2)若函数,(其中,)的最小正周期是,
且,则
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