三角函数的图像与性质(正弦、余弦、正切)
【知识点1】函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象性质
题型1:定义域
例1:求下列函数的定义域
(1); (2) (2)y= (4)y=
题型2:值域
例2:求下列函数值域
(1) (2)y=2sin(2x-),x (3)
(4)函数的最大值以及此时x的取值集合
题型3:周期
例3:求下列函数的周期:
(1)f(x)=2sin2x (2)y=cos() (3)y=tan(2x) (4)y=
例4: 若函数的最小正周期满足,则自然数的值为______.
例5:若在区间上的最大值是,则=________.
例6:使(ω>0)在区间[0,1]至少出现2次最大值,则ω的最小值为【 】
A . B. C.π D.
例7:设函数f(x)=2sin(),若对于任意的x,都有f()成立,则的最小值是
A.4 B.2 C.1 D.
题型4:奇偶性
例8:函数y=sin(x+)(x∈[-,])是【 】
A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数
例9:判断下列函数的奇偶性
(1)y=xsin() (2)y=
例10:已知函数f(x)=xcosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________
题型5:单调性
例11:函数y= sin(2x+)的单调递减区间是【 】
A.(kπ-,kπ](k∈Z) B.(kπ-,kπ+](k∈Z)
C.(kπ-π,kπ+](k∈ D.(kπ+,kπ+π](k∈Z)
例12:.求的单调区间
例13:求下列函数的单调增区间(1); (2) ; (3)
例14:(1)求函数y=2sin(2x-)的单调递减区间。 (2)求函数y=的递增区间。
例15:下列函数中,周期为,且在上为减函数的是【 】
A.y=sin(2x+) B.y=cos(2x+) C.y=sin(x+) D.y=cos(x+)
例16:函数y=的一个单调增区间是【 】
A. B. C. D.
【考点4】三角函数的对称性与特征方程
总结:
1:的对称中心是,, 对称轴为.对于:
①对称中心的特征方程: ②对称轴的特征方程:
③最大值的特征方程: ④最小值的特征方程:
⑤最值的特征方程:
2:的对称中心是,,对称轴为,.对于:
①对称中心的特征方程: ②对称轴的特征方程:
③最大值的特征方程: ④最小值的特征方程:
⑤最值的特征方程:
3:函数的图象是中心对称图形,不是轴对称图形,其对称中心为
对于: 其对称中心的特征方程:
题型6:对称性
例17:求函数y=3sin(2x+)的对称轴和对称中心。
例18:(1)函数的一条对称轴方程为【 】
A. B. C. D.
例19:函数的图象关于【 】
A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线对称
例20:函数是上的偶函数,则的值是【 】
A. B. C. D.
例21:函数f(x)=3sin()对任意的x都有成立,则有【 】
A3或0 B.-3或0 C.0 D.-3或3
例22:函数y=sin(2x-)的一条对称轴为【 】A.x= B.x= C.x= D.x=
例23:函数y=-2sin(2x+),的一条对称轴是x=,求的值。.
例24:函数y=3cos(2x+)的图像关于点对称,则的最小值是【 】
A B. C. D.
例25:函数y与y=2sin(x-)的图像关于直线x=2对称,求y的解析式。
题型7:周期性、奇偶性、单调性、对称性的综合应用
知识点1.周期性:若f(x+T)=F(x),则T是函数f(x)的一个周期。即函数图像每隔T重复出现。
知识点2.对称性:若f(a+x)=f(a-x),或f(x)=f(2a-x),则函数图像关于直线x=a对称。
例26:下列函数中,既是(,π)上的增函数,又是以π为周期的偶函数的是【 】
A.y=|sinx| B.y=sin|x| C.y=|cos2x D.y=cos|2x|
例27:函数f(x)=cos2x+sin(+x)是【 】
A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数
C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数
例28:若函数同时具有下列三个性质:(1)最小正周期为;(2)图象关于直线 对称;(3)在区间上是增函数.则的解析式可以是【 】
A. B. C D.
题型8:函数图像
例29:函数的图象【 】
例30:函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象大致是【 】
例31:函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是【 】
题型9:三角函数交点个数
例32: 【 】
A.5 B.4 C.3 D.2
例33:方程在区间内的解是 .
题型9:三角函数的综合
例34:已知函数
(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期;
(4)求函数的最值及相应的值集合; (5)求函数的单调区间;
(6)若,求的取值范围;(7)求函数的对称轴与对称中心;
(8)若为奇函数,,求;若为偶函数,,求。
三角函数的图象与性质
1.对三角函数的图象和性质的考查中,以图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容,并且往往与三角变换公式相互联系,有时也与平面向量,解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现,如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查,题目难度为中、低档.
1. 三角函数定义、同角关系与诱导公式
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
(2)同角关系:sin2α+cos2α=1,=tan α.
(3)诱导公式:在+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.
2. 三角函数的图象及常用性质
3. 三角函数的两种常见变换
考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题
例1 (1)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐
标系,设秒针针尖位置P(x,y).若初始位置为P0,当秒针
从P0(此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函
数关系为 ( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
(2)已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 ( )
A. B. C. D.
弄清三角函数的概念是解答本题的关键.
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由三角函数的定义可知,初始位置点P0的弧度为,由于秒针每秒转过的弧度为-,针尖位置P到坐标原点的距离为1,故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y=sin.
(2)tan θ===-1,
又sin >0,cos <0,
所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π),所以θ=.
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
(1)已知α∈(-π,0),tan(3π+α)=,则cos的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
答案 B
解析 由tan(3π+α)=,
得tan α=,cos=cos=sin α.
∵α∈(-π,0),∴sin α=-.
(2)如图,以Ox为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P,
已知点P的坐标为.
求的值.
解 由三角函数定义,
得cos α=-,sin α=,
∴原式==
=2cos2α=2×2=.
考点二 三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象及解析式
例2 函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|<)的图象如图所示,为了得到
g(x)=sin ωx的图象,则只要将f(x)的图象 ( )
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
答案 A
解析 由图象可知,=-=,
∴T=π,∴ω==2,再由2×+φ=π,
得φ=,所以f(x)=sin.
故只需将f(x)=sin 2向右平移个单位,
就可得到g(x)=sin 2x.
(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
(1)(2013·四川)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部
分图象如图所示,则ω,φ的值分别是 ( )
A.2,- B.2,-
C.4,- D.4,
答案 A
解析 ∵T=-,T=π,∴ω=2,
又2×+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ-,
又φ∈,∴φ=-,选A.
(2)(2012·浙江)把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
答案 A
解析 利用三角函数的图象与变换求解.
y=cos 2x+1横坐标伸长2倍纵坐标不变
y=cos x+1
y=cos(x+1)+1
y=cos(x+1).
结合选项可知应选A.
(3)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+2,x∈R.
①求函数f(x)的最大值及对应的x的取值集合;
②画出函数y=f(x)在[0,π]上的图象.
解 ①f(x)=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1,
当2x+=2kπ+ (k∈Z)时,f(x)取最大值3,
此时x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
②列表如下:
图象如下:
考点三 三角函数的性质
例3 (2012·北京)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间.
先化简函数解析式,再求函数的性质.
解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z),
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.
因为f(x)=
=2cos x(sin x-cos x)
=sin 2x-cos 2x-1
=sin-1,
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)函数y=sin x的单调递增区间为
(k∈Z).
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+,x≠kπ(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z).
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路
第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;
第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
(1)已知函数f(x)=sin x+cos x,g(x)=sin x-cos x,有下列四个命题:
①将f(x)的图象向右平移个单位可得到g(x)的图象;
②y=f(x)g(x)是偶函数;
③f(x)与g(x)均在区间上单调递增;
④y=的最小正周期为2π.
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 f(x)=sin(x+),
g(x)=sin x-cos x=sin(x-),显然①正确;
函数y=f(x)g(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,
其为偶函数,故②正确;
由0≤x+≤及-≤x-≤0都可得-≤x≤,
所以由图象可判断函数f(x)=sin(x+)和函数g(x)=sin(x-)在[-,]上都为增函数,故③正确;
函数y====-tan(x+),由周期性定义可判断其周期为π,故④不正确.
(2)(2013·安徽)已知函数f(x)=4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
①求ω的值;
②讨论f(x)在区间上的单调性.
解 ①f(x)=4cos ωx·sin
=2sin ωx·cos ωx+2cos2ωx
=(sin 2ωx+cos 2ωx)+
=2sin+.
因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0.
从而有=π,故ω=1.
②由①知,f(x)=2sin+.
若0≤x≤,
则≤2x+≤.
当≤2x+≤,
即0≤x≤时,f(x)单调递增;
当≤2x+≤,
即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在区间上单调递增,
在区间上单调递减.
1.求函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ),或y=Atan(ωx+φ))的单调区间
(1)将ω化为正.
(2)将ωx+φ看成一个整体,由三角函数的单调性求解.
2. 已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式
(1)A=,B=.
(2)由函数的周期T求ω,ω=.
(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3. 函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点.
4. 求三角函数式最值的方法
(1)将三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,进而结合三角函数的性质求解.
(2)将三角函数式化为关于sin x,cos x的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求解.
5. 特别提醒:
进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.
1. 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成函数”.给出下列函数:
①f(x)=sin x-cos x;②f(x)=(sin x+cos x);
③f(x)=sin x+2;④f(x)=sin x.
则其中属于“互为生成函数”的是 ( )
A.①② B.①③ C.③④ D.②④
答案 B
2. 已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-(ω>0),直线x=x1,x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为.
(1)求f(x)的表达式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间[0,]上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
解 (1)f(x)=sin 2ωx+×-
=sin 2ωx+cos 2ωx=sin(2ωx+),
由题意知,最小正周期T=2×=,
T===,所以ω=2,
∴f(x)=sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,
得到y=sin(4x-)的图象,
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,
纵坐标不变,得到y=sin(2x-)的图象.
所以g(x)=sin(2x-).
令2x-=t,∵0≤x≤,∴-≤t≤.
g(x)+k=0在区间[0,]上有且只有一个实数解,
即函数g(t)=sin t与y=-k在区间[-,]上有且只有一个交点.
如图,
由正弦函数的图象可知-≤-k<或-k=1.
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一、选择题
1. 点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 记α=∠POQ,由三角函数的定义可知,
Q点的坐标(x,y)满足x=cos α=cos =-,
y=sin α=sin =.
2. 已知α为第二象限角,sin α+cos α=,则cos 2α等于 ( )
A.- B.- C. D.
答案 A
解析 因为sin α+cos α=,
两边平方得1+2sin αcos α=,所以sin 2α=-.
由于sin α+cos α=sin=>0,
且α为第二象限角,
所以2kπ+<α<2kπ+,k∈Z,
所以4kπ+π<2α<4kπ+,k∈Z,
所以cos 2α=-=-=-.
3. 将函数y=cos的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴是 ( )
A.x= B.x=
C.x=π D.x=
答案 D
解析 y=cos横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变
y=cos
y=cos,即y=cos.
因为当x=时,y=cos=1,
所以对称轴可以是x=.
4. 若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象如图所
示,M,N分别是这段图象的最高点与最低点,且·=0,则A·ω
等于 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题中图象知=-,
所以T=π,所以ω=2.
则M,N
由·=0,得=A2,
所以A=,所以A·ω=.
5. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0)的图象关于直线x=对称,且f=0,则ω的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 A
解析 由f=0知是f(x)图象的一个对称中心,又x=是一条对称轴,所以应有,
解得ω≥2,即ω的最小值为2,故选A.
6. (2013·江西)如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t
=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆
被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,
单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为 ( )
答案 B
解析 方法一 (排除法)
当t=0时,y=cos 0=1,否定A、D.
当t=时,l2上方弧长为π.
y=cos π=-.
∴否定C,只能选B.
方法二 (直接法)
由题意知∠AOB=x,OH=1-t,
cos∠AOH=cos ==1-t,
∴y=cos x=2cos2-1
=2(1-t)2-1(0≤t≤1).
∴选B.
二、填空题
7. 已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=________.
答案 -8
解析 因为sin θ==-,
所以y<0,且y2=64,所以y=-8.
8. 函数f(x)=sin πx+cos πx+|sin πx-cos πx|对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值为________.
答案
解析 依题意得,当sin πx-cos πx≥0,
即sin πx≥cos πx时,f(x)=2sin πx;
当sin πx-cos πx<0,
即sin πx<cos πx时,f(x)=2cos πx.
令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值,
结合函数y=f(x)的图象可知,|x2-x1|的最小值是.
9. 已知f(x)=2sin-m在x∈[0,]上有两个不同的零点,则m的取值范围为________.
答案 [1,2)
解析 函数f(x)=2sin-m在x∈[0,]上有两个不同的零
点,等价于方程m=2sin在区间[0,]上有两解.
作出如图的图象,由于右端点的坐标是,由图可知,
m∈[1,2).
10.关于函数f(x)=sin 2x-cos 2x有下列命题:
①y=f(x)的周期为π;②x=是y=f(x)的一条对称轴;③是y=f(x)的一个对称中心;④将y=f(x)的图象向左平移个单位,可得到y=sin 2x的图象,其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上).
答案 ①③
解析 由f(x)=sin 2x-cos 2x=sin,
得T==π,故①对;
f=sin ≠±,故②错;
f=sin 0=0,故③对;
y=f(x)的图象向左平移个单位,
得y=sin=sin,
故④错.故填①③.
三、解答题
11.(2013·山东)设函数f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx
=-×-sin 2ωx
=cos 2ωx-sin 2ωx
=-sin.
依题意知=4×,ω>0,所以ω=1.
(2)由(1)知f(x)=-sin.
当π≤x≤时,≤2x-≤.
所以-≤sin≤1.
所以-1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1.
12.(2012·湖南)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f-f的单调递增区间.
解 (1)由题设图象知,周期T=2=π,
所以ω==2.
因为点在函数图象上,
所以Asin=0,
即sin=0.
又因为0<φ<,所以<+φ<.
从而+φ=π,即φ=.
又点(0,1)在函数图象上,所以Asin =1,解得A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)g(x)=2sin-2sin
=2sin 2x-2sin
=2sin 2x-2
=sin 2x-cos 2x=2sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是,k∈Z.
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