三角函数图象性质(2)
------正、余弦型函数的定义域、值域
一、三维目标
(一)知识与技能:
要求学生能掌握正、余弦函数的定义域、值域并能求出正、余弦型函数的定义域、值域。
(二)过程与方法:通过本节例题的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力;通过做题
训练,提高学生的思维能力和解决问题的实际应用能力。
(三) 情感、态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培
养学生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
二、教学重、难点:如何解决与正、余弦函数相关的函数的定义域、值域的求法。
三、教学过程:
(一)基础练习:已知函数
(1) 若求的范围;(2)若求函数的值域。
(二)例题讲解
(1)求三角型函数的定义域
例1求函数的定义域。
解:略。
变式:(1)求函数的定义域;(2)求函数的定义域。
例2(2008四川卷)若,则的取值范围是:( )
(A) (B) (C) (D)
解:∵ ∴ ,即
又∵ ∴,∴ ,即 故选C。
变式:求函数取最大值时的取值范围。
练习:(20##年湖北理)已知函数,若,则x的取值范围为( )
A. B.
C. D.
(2)求三角型函数的值域
例3(20##年北京理)已知函数。
(Ⅰ)求的最小正周期: (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值。
解:(Ⅰ)因为
所以的最小正周期为
(Ⅱ)因为
于是,当时,取得最大值2;
当取得最小值—1.
练习:(2009江西卷理)若函数,,则的最大值为( )
A.1 B. C. D.
例4(20##年四川卷)求函数的最大值与最小值。
解:
由于函数在中的最大值为
最小值为
故当时取得最大值,当时取得最小值
变式1:函数的值域;
变式2:函数且的值域。
四、小结:
1、求函数定义域的主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx的分母不为零。
2、三角型复合函数的常见几种形式:
(1)三角外复合型函数
(2)三角内复合型函数
等。
五、作业:
1.(20##年北京卷)函数的定义域。
2.(20##年海南卷)的最小值和最大值是( )
A -3,1 B -2,2 C -3, D -2,
3.(2010湖南文数)16.已知函数
求函数的最大值及取最大值时x的集合。
4.(2010湖北文数)16.已经函数
(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出?
(Ⅱ)求函数的最小值,并求使用取得最小值的的集合。
六、教后反思:
1.三角函数的定义域问题:
三角函数也是函数。函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。而求定义域一般有两种形式:
1)已知函数解析式求函数的定义域
如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。
2)复合函数求定义域
求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
2.三角函数的值域问题:应鼓励有能力的学生再进一步的归类探索。
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