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第六章整式的乘除小结与复习

考点呈现

考点1 幂的运算性质

例1 下列运算正确的是（ ）

A. （-a）6·（-a3）=a18 B.（-b3）5=-3b8

C. （a2b）4=a10b3 D.（ab）12÷（ab）10=a2b2

分析：根据幂的运算性质可知（-a）6·（-a3）= a6·（-a3）=-a6+3=-a9，（-b3）5=（-1）5（b3）5=-b3×5=-b15，（a2b）4=（a2）4b4=a8b4，（ab）12÷（ab）10=（ab）12-10=（ab）2= a2b2，所以选项D正确.

解：选D.

温馨提示：对于幂的各种运算性质，一定要分清指数的变化特征，避免混淆.另外，在计算选项D时，把ab看做一个整体，也就是看做底数，因此，它实际上是进行同底数幂的除法运算.

考点2 零指数幂和负整数指数幂的意义

例2 计算(?1)?2÷（-1）-2013+（1961-π）0×（-9）-1的结果为＿＿＿＿.

分析：解决本题可根据零指数幂的意义a0=1（a≠0）和负整数指数幂的意义a?p?1(a?0,p是正整数），并p

按运算顺序进行计算. a5

111解：原式=25÷（-1）+1×(?)=-25-=?251，故应填?25. 9999温馨提示：解决这类问题应注意零指数幂与负整数指数幂中“底数不为0”的前提条件，同时还要注意符

号处理.

考点3 科学记数法

例3 山西是我国古文明发祥地之一，其总面积与地球总面积的比值约为0.000 314，数据0.000 314用科学记数法可表示为（ ）

A. 0.314×10-4 B. 3.14×10-4 C. 31.4×10-4 D. 3.14×10-5

分析：根据科学记数法表示绝对值小于1的数的意义：把一个绝对值小于1的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，a的整数只有一位，n是负整数.0.000 314=3.14×0.0001=3.14×10-4.

解：选B.

温馨提示：在用科学记数法表示一个绝对值小于1的数时，要注意a的整数位数只有一位，n是负整数，且n的绝对值等于第一个不是0的数字前面所有0的个数.

考点4 整式的乘法

例4 先化简，再求值：（-2x2）2-（x2+1）（4x2-5）-x（x+11），其中x=-2.

分析：根据整式的乘法法则对原式进行化简，再代入求值即可.

解：原式=4x4-（4x4+4x2-5x2-5）-x2-11x=4x4-4x4-4x2+5x2+5-x2-11x=-11x+5.

当x=-2时，原式=-11×（-2）+5=22+5=27.

温馨提示：在解决单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘的运算时，要防止出现漏乘，并且要细心 第 1 页 共 7 页

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处理每项的符号.

考点5 乘法公式

例5 计算：（x+3y）2-2（x+3y）（x-3y）+（x-3y）2的结果为＿＿＿＿.

分析：本题可以利用完全平方公式和平方差公式展开后化简，也可逆用完全平方公式化简.

解：方法1：原式=x2+6xy+9y2-2（x2-9y2）+x2-6xy+9y2

=x2+6xy+9y2-2x2+18y2+x2-6xy+9y2

=36y2.

方法2：原式=[（ x+3y）-（x-3y）]2=（6y）2=36y2.

温馨提示：解这类题时，一是要注意乘法公式的正确使用，确保化简的结果正确；二是注意公式的逆向运用，本题显然逆用公式计算比较简便.

考点6 整式的除法

例6 先化简（4ab3+8a2b2）÷（-4ab）-（2a+b）（2a-b），然后再选取你喜欢的一对a，b的值代入求值. 分析：化简本题时，主要分两部分：对于（4ab3+8a2b2）÷（-4ab）采用多项式除以单项式的方法计算；对于（2a+b）（2a-b）采用平方差公式计算，最后合并同类项即可.在选取a，b的值时，要注意ab≠0，即a，b都不能为0.

解：原式=-b2-2ab-（4a2-b2）= -b2-2ab-4a2+b2=-4a2-2ab.

当a=2，b=1时，原式=-4×22-2×2×1=-16-4=-20.

温馨提示：在进行多项式除以单项式时，要特别注意多项式每项的符号与除式的符号.本题是开放性试题，答案并不唯一，在选取a，b的值时，一定要注意a，b的取值范围.

考点7 定义新运算型

例7 先规定一种新运算“§”，a§b=a2+ab+（b-1）2，根据这个新运算，可得（2x-1）§（x+3）= ＿＿＿＿. 分析：根据规定的新运算a§b=a2+ab+（b-1）2，把它转化成我们熟悉的四则运算（2x-1）2+（2x-1）（x+3）+（x+3-1）2，然后进行计算即可.

解：（2x-1）§（x+3）=（2x-1）2+（2x-1）（x+3）+（x+3-1）2=4x2-4x+1+2x2+6x-x-3+x2+4x+4=7x2+5x+2. 温馨提示：解决这类问题其关键是根据规定的新运算法则把待求式转化为我们学过的运算.

误区点拨

易错点1 混淆幂的运算性质

例1 下列计算：①x3·x9=x27；②（-2m2n）3=-2m6n；③（a-b）9÷（a-b）3=（a-b）3.其中正确的个数为（ ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

错解：选D.

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剖析：①是幂的乘法运算，应是底数不变，指数相加，即x3·x9=x12，而错解是把指数运算弄成指数相乘了；②是积的乘方运算，应该是（-2m2n）3=（-2）3m6n3=-8 m6n3，而错解是忘记把2和n分别乘方了；③幂的除法运算，应是底数不变，指数相减，即（a-b）9÷（a-b）3=（a-b）6，错解却弄成指数相除了，以上错误的原因是对幂的运算性质混淆不清造成的.

正解：A.

易错点2 进行整式的乘法运算时出现漏乘

例2 计算：⑴ab（b+b2）-b2（ab-a+1）= ＿＿＿＿＿.

⑵（a-b）（a+5b）的结果为＿＿＿＿＿.

错解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2=2ab2；

⑵原式=a2-5b2.

剖析：⑴单项式与多项式相乘时，要注意单项式和多项式的每一项都要相乘，错解中，单项式-b2与多项式ab-a+1相乘时，只是-b2与ab、-a分别相乘，却漏掉了-b2与1相乘；⑵同样多项式与多项式相乘时，要求是先用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，而错解中只是两个多项式的首项与首项相乘，末项与末项相乘，即a与a相乘，-b与5b相乘，漏掉了a与5b相乘和-b与a相乘.以上两个小题出现错误的原因是由于漏乘造成错误.

正解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2-b2=2ab2-b2.

⑵原式=a2-ab+5ab-5b2= a2+4ab-5b2.

易错点3 乘法公式的结构掌握不牢

例3计算：⑴（2x+3y）（3y-2x）= ＿＿＿＿＿.

⑵（4x-5y）2=＿＿＿＿＿.

错解：⑴原式=（2x）2-（3y）2=4x2-9y2.

⑵错解1：（4x-5y）2=（4x）2-4x·5y+（5y）2=16x2-20xy+25y2.

错解2：（4x-5y）2=（4x）2-（5y）2=16x2-25y2.

剖析：⑴平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，本题出现错误的原因是没能很好地把握平方差公式的结构特征，顺序颠倒； ⑵完全平方公式是（a-b）2=a2-2ab+b2，错解1把中间项的2漏掉了，错解2干脆把中间项都漏掉了，错误的原因是未能把握完全平方公式的特征.

正解：⑴原式=（3y+2x）（3y-2x）= （3y）2-（2x）2=9y2-4x2.

⑵（4x-5y）2=（4x）2-2·4x·5y+（5y）2=16x2-40xy+25y2.

易错点4 科学记数法的意义理解不清

例4 传说西游记中的孙悟空一个筋斗就是十万八千里（1里=500米），那么它的百亿分之一是（ ） 第 3 页 共 7 页

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A. 5.4×10-6米 B.0.54×10-7米 C.54×10-5米 D. 5.4×10-3米

错解：选B或C.

剖析：把绝对值小于1的数写成a×10n的形式的要求是a是一个只有整数位数一位的数，即：1≤|a|＜10，而选项B中的|a|＜1，选项C中的|a|＞10，都不符合科学记数法a×10-n中a的要求，错解的原因是对科学记数法的意义没能正确理解.

正解：因为1里=500米，所以108 000里=108 000×500米=54 000 000米，所以，54 000 000米百亿分之一=54 000 000÷10 000 000 000=5.4×107÷1010=5.4×10-3（米），故选A.

易错点5 在整式的乘除混合运算中，运算顺序混乱

例5 计算：x2y2÷x·xy的结果为＿＿＿＿＿.

错解：原式=x2y2÷x2y=y.

剖析：在进行整式的乘除混合运算时，应按照从左到右的顺序进行，即先做除法（x2y2÷x=xy2）再做乘法（xy2·xy=x2y3），错解的原因是违背了这一混合运算的顺序，造成了运算顺序的混乱而出现错误.

正解：原式=xy2·xy=x2y3.

方法点拨

1.逆用幂的运算性质求值

例1 已知am=2，an=4，求a3m-n的值.

分析：a3m-n的指数是3m与n的差，它是同底数幂的除法的结果的形式，于是就有a3m-n=a3m÷an，再逆用幂的乘方法则化成（am）3÷an，代入求出结果.

解：因为am=2，an=4，所以，a3m-n=a3m÷an=（am）3÷an=23÷4=2.

点评：逆用幂的运算法则是解相关问题的技巧性方法.

例2 计算：（-0.125）115×（2115）3+（5)2013?(?23)2012的结果为＿＿＿＿＿. 135

分析：按常规计算比较繁琐，经观察发现，若把（2115）3转化为（23）115，（5)2013化成(5)2012?5，可逆131312

用积的乘方法则计算.

解：原式=（-0.125）115×（23）115+（5)2012?5?(?13)2012 13135

=（-0.125）115×8115+5?(?13?5)2012=（-0.125×8）115+5?(?1)2012 1351313

=（-1）115+5=-1+5=?8. 131313

点评：对于这类特殊问题，逆用幂的运算性质，可简化运算过程.

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3.利用整式的乘法确定积中不含某项字母系数的值

例3 若关于多项式（x-1）（-kx+1）的乘积中不含一次项，则k的值为＿＿＿＿＿.

分析：因题中要求不含x的项，即该项系数的和为0.

解：（x-1）（-kx+1）=-kx2+kx+x-1=-kx2+（k+1）x-1，因为积中不含x的项，所以k+1=0，所以k=-1. 点评：解本题的关键是理解不含某项的意义，即相乘后合并同类项使其系数为0.

4.巧用乘法公式求值

例4 计算：20132-2012×2014-10012的结果为＿＿＿＿＿.

分析：本题是有理数的混合运算，若按混合运算的顺序：先算乘方，再算乘法，最后算减法，会使运算过程很繁琐，注意到若把20132-2012×2014化为20132-（2013-1）（2013+1）， 10012化为（1000+1）2，然后利用乘法公式，可使运算大大的简化.

2解： 20132-2012×2014-10012=20132（-2013-1）（2013+1）（-1000+1）=20132（-20132-12）（-10002+2×1000×1+12）

= =20132-20132+1-10002-2000-1=-1 002 000.

点评：解决这类问题的关键是抓住式子的特点，把它转化为易于利用乘法公式求解的形式.

5.巧用“被除式=除式×商式+余式”求解

例5 已知多项式2x3-4x2-1除以多项式A，得商式为2x，余式为2x-1，则多项式A=＿＿＿＿＿.

分析：由“被除式=除式×商式+余式”可得“除式=（被除式-余式）÷商式，将除式2x3-4x2-1、商式2x、余式2x-1，代入即可求出除式A的值.

解：根据题意得，A=[2x3-4x2-1-（2x-1）]÷2x=（2x3-4x2-1-2x+1）÷2x=（2x3-4x2-2x）÷2x=x2-2x-1.

点评：明确“除式=（被除式-余式）÷商式“是解决本题的关键.

中考链接

1.（20xx年浙江衢州）下列计算正确的是（ ）

A. 2a2+a2=3a4 B.a6÷a2=a3 C.a6·a2=a12 D.（-a6）2=a12

2.（20xx年江苏苏州）若3×9m×27m=311，则m的值为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

3.（20xx年山东泰安）已知一粒米的质量是0.000 021千克，这个数字用科学记数法表示为（ ）

A.21×10-4千克 B.2.1×10-6千克 C. 2.1×10-5千克 D.2.1×10-4千克

4.（20xx年江苏南通）计算：|-2|+（-2）2+（7-π）0-（1）-1. 3

5.（20xx年贵州贵阳）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）2，其中a=-3，b=1. 2

答案：1. D 2. A 3. C 4. 4. 5. -3.

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点拨：1. 选项A是整式的加法，结果为3a2，选项B是同底数幂的除法，其结果为a4；选项C是同底数幂的乘法，其结果为a8；选项D是幂的乘方，结果为a12.

2. 先逆用幂的乘方性质转化为以3为底数的幂相乘，再根据同底数幂的乘法性质计算后，根据指数相等列出方程求解.3×9m×27m=3×32m×33m=31+5m=311，所以1+5m=11，解得m=2.

3. 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.在确定 n的值时，看该数是大于1或等于1还是小于1，当该数大于1或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）.0.000 021第一个有效数字前有5个0，从而0.000 021= 2.1×10-5 ，故选C.

4. 根据绝对值、有理数的乘方、零整数指数幂、负整数指数幂的定义分别进行计算，再把所得的结果相加即可；原式=2+4+1-3=4.

5. 先运用平方差公式、完全平方公式化简式子，然后把a，b的值代入化简后的式子求值.

原式=2b2+a2-b2-（a2-2ab+b2）= 2b2+a2-b2-a2+2ab-b2=2ab，当a=-3，b=1时，原式=-3. 2

跟踪训练

1.计算x·2x7的结果为（ ）

A.2x7 B.2x8 C.7x7 D.7x8

2.下列计算中，正确的是（ ）

A.x+2x=3x2 B.（xy）9=x9y C.（x5）5=x25 D.x30÷x10=x3

3.有下列计算：①（x-2y）2=x2-2y2；②（2x-y）5÷（y-2x）2=（2x-y）3；③（-3x2y3）2 ÷x4y6=-3.

其中，正确的个数为（ ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

4.若（2x-5）（2x+1）=4x2-kx+p，则（k-p）2的值为（ ）

A.9 B.28 C.102 D.169

5.计算x（-x-11）=＿＿＿＿，（-1-4x）（1-4x）=＿＿＿＿.

6.计算：（a-b+1）2=（a-b）2+＿＿＿＿=a2-2ab+＿＿＿＿.

7.用科学记数法表示-0.000 000 000 216=＿＿＿＿.

8.若mx=4，my=1，mz=2，m3x+2y-z=＿＿＿＿.

9.计算下列各题：

⑴（-a2b3）4·ab2÷a7b13； ⑵x2y（5xy-1）-5xy（x2y+x）；

⑶（x+1）（x+9）-（x-4）2； ⑷[（a+3）（a-3）+（a-3）2]÷（-2a）；

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⑸（-0.5）-2-（2013-π）0+|-12|.

10.已知x（x-1）-（x2-y）=-3，求x2+y2-2xy的值.

第六章整式的乘除小结与复习

跟踪训练参考答案

1.B 2.C 3.B 4.D

5.-x2-11x 16x2-1 6. 2（a-b）+1 b2+2a-2b+1 7. -2.16×10-10 8.32

9.解：⑴原式 =a8b12·ab2÷a7b13 =a8+1-7b12+2-13=a2b.

⑵原式=5x3y2-x2y-5x3y2-5x2y=-6x2y.

⑶原式=x2+x+9x+9-（x2-8x+16）= x2+x+9x+9-x2+8x-16=18x-7.

⑷原式=（a2-9+a2-6a+9）÷（-2a）=（2a2-6a）÷（-2a）=-a+3.

⑸原式=4-1+12=15.

10.解：因为x（x-1）-（x2-y）=-3，所以x2-x-x2+y=-3，因而y-x=-3，即y=x-3.

方法1.将y=x-3代入x2+y2-2xy得x2+y2-2xy=x2+（x-3）2-2x（x-3）=x2+x2-6x+9-2x2+6x=9，即 x2+y2-2xy的值为9.

方法2.因为y-x=-3，所以，x2+y2-2xy=（y-x）2=（-3）2=9.