数学选修2-2知识点总结

一、导数

1．函数的平均变化率为

注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式

6、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有：

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数 (3)求方程=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求在上的极值；⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限    （“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1 

性质5 若，则

①推广：

    ②推广:

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

14.归纳推理的思维过程

大致如图：

15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

17.类比推理的思维过程

   

18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M　③结论：S是P。

    其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

26常见的“结论词”与“反义词”

27.反证法的思维方法:正难则反

28.归缪矛盾（1）与已知条件矛盾:（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾．

29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取第一个值时命题成立；(2)假设当n=k (k∈N^*，且k≥n₀)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确　[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，叫实部， 叫虚部，数集叫做复数集。

规定：a=c且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

31．数集的关系：

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

34.求复数的模(绝对值)与复数对应的向量的模叫做复数的模(也叫绝对值)记作。由模的定义可知：

35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则：，则。注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。

②复数的乘法法则：。

③复数的除法法则：其中叫做实数化因子

36.共轭复数:两复数互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

设是1的立方虚根，则，

 

第二篇：高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.4知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案

第一章 计数原理 1.3计数模型（补充）

一、学习任务

掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．

二、知识清单

数字组成模型

染色模型 条件排列模型 计数杂题 分组分配模型

三、知识讲解

1.数字组成模型

描述：与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．

常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．

例题：由 0、1、2、3、4 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？414解：首位不能是 0，有 C14 种，后四位数有 A4 种排列，所以这五个数可以组成 C4A4=96

个无重复的五位数．

用数字 2、3 组成四位数，且数字 2、3 至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．

解：14

因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 2 或 3 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 24?2=14 个．

从 0，2 中选一个数字，从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）

A．24　　　　　　　B．18　　　　　　C．12　　　　　　　D．6

解：B

当选 0 时，先从 1、3、5 中选 2 个数字有 C23 种方法，然后从选中的 2 个数字中选 1 个

21排在末位有 C12 种方法，剩余 1 个数字排在首位，共有 C3C2=6 种方法；

当选 2 时，先从 1、3、5 中选 2 个数字有 C23 种方法，然后从选中的 2 个数字中选 1 个

212排在末位有 C12 种方法，其余 2 个数字全排列，共有 C3C2A2=12 种方法．

依分类加法计数原理知共有 6+12=18 个奇数．

用 0 ， 1 ，

2 ， 3 ， 4 ， 5 这 6 个数字，可以组成______个大于 3000 且小于 5421 的

不重复的四位数．

解：175

分四类：

①千位数字为 3，4 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 2A35=120（个）；2②千位数字为 5 ，百位数字为 0，1，2，3 之一时，共有 A14A4=48（个）；1③千位数字是 5 ，百位数字是 4 ，十位数字是 0，1 之一时，共有 A12A3=6（个）；

④最后还有 5420 也满足条件．

所以，所求四位数共有 120+48+6+1=175（个）．

2.条件排列模型

描述：计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某

人只能或不能排在某些位置的问题等等．

例题：3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．

（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；

（2）全体站成一排，男生必须排在一起；

（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．

6解：（1）先考虑甲的位置，有 A13 种方法，再考虑其余 6 人的位置，有 A6 种方法．故有

6A13A6=2160 种方法；

（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把 3 名男生进行全排列，有 A33 种排法，与 4 名女生

5组成 5 个元素全排列，故有 A33A5=720 种不同的排法；

（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的 5 名同学全排列，有 A55 种排法，然后将甲、乙

52分别插到 6 个空中，有 A26 种排法，故有 A5A6=3600 种不同的排法．

有甲、乙、丙在内的 6 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．

解：144

甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有 A44 种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一

2412个，有 A13 种方法；最后甲、乙两人的排法有 A2 种方法．综上，总共有 A4A3A2=144 种

排法．

6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）

A．144 B．120 C．72

D．24

解：D

“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成 4 个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有 A34=24 种不同坐法．

某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？

5解：法一：6 门课程总的排法是 A66 种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有 A5 种

排法，数学排在最后一节有 A55 种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一

654节，这种情况有 A44 种排法，因此符合条件的排法应是：A6?2A5+A4=504 种．

4法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有 A24?A4 种排法；② 数学

1

?4

3×2×2×2×2=48 种种植方法．但其中有 2×3=6 种是只种两种作物的种植方法，故所求的种植方法有 48?6=

42 种．

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