平面向量

一.向量的基本概念与基本运算

1向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法  向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜ 

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝

｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量为单位向量｜｜＝1

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设，则+==

（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

，但这时必须“首尾相连”．

3向量的减法

① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量

记作,零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；

(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=

②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，

记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）

4实数与向量的积：

①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

5两个向量共线定理：

向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=

6平面向量的基本定理：

如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

7特别注意:

（1）向量的加法与减法是互逆运算

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

二.平面向量的坐标表示

1平面向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

2平面向量的坐标运算：

(1) 若，则

(2) 若，则

(3) 若=(x,y)，则=(x, y)

(4) 若，则

(5) 若，则

若，则

3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

三．平面向量的数量积

1两个向量的数量积：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积） 规定

2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影

3数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系：

5乘法公式成立：

；

6平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：

②对实数的结合律成立：

③分配律成立：

特别注意：（1）结合律不成立：；

（2）消去律不成立不能得到

（3）=0不能得到=或=

7两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量，则·=

8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角

cos==

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=0⁰，当且仅当与反方向时θ=180⁰，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直：如果与的夹角为90⁰则称与垂直，记作⊥

10两个非零向量垂直的充要条件：

⊥·＝O平面向量数量积的性质

题型1.基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.

（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是.

（5）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形.

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.

（7）若与共线， 与共线，则与共线.

（8）若，则.

（9）若，则.

（10）若与不共线，则与都不是零向量.

（11）若，则.

（12）若，则.

题型2.向量的加减运算

1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则         .

2.化简           .

3.已知,,则的最大值和最小值分别为     、     .

4.已知的和向量，且，则      ，      .

5.已知点C在线段AB上，且,则   ，   .

题型3.向量的数乘运算

1.计算：（1）         （2）

2.已知，则            .

题型4.作图法球向量的和

已知向量，如下图，请做出向量和.

      

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在中，是的中点，请用向量表示.

2.在平行四边形中，已知，求.

题型6.向量的坐标运算

1.已知，，则点的坐标是            .

2.已知，，则点的坐标是            .

3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为      .

4.已知，，求，，.

5.已知,向量与相等，求的值.

6.已知，，，则                .

7.已知是坐标原点，，且，求的坐标.

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：

A.   B.   C.   D.

2.已知，能与构成基底的是（     ）

A.   B.   C.   D.

题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标.

2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标.

题型9.求数量积

1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），

（3），（4）.

2.已知，求（1），（2），（3），

（4）.

题型10.求向量的夹角

1.已知，，求与的夹角.

2.已知，求与的夹角.

3.已知，，，求.

题型11.求向量的模

1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）.

2.已知，求（1），（5），（6）.

3.已知，，求.

题型12.求单位向量           【与平行的单位向量：】

1.与平行的单位向量是            .

2.与平行的单位向量是            .

题型13.向量的平行与垂直

1.已知，，当为何值时，（1）？（2）？

2.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？

（2）为何值时，向量与平行？

3.已知是非零向量，，且，求证：.

题型14.三点共线问题

1.已知，，，求证：三点共线.

2.设，求证：三点共线.

3.已知，则一定共线的三点是       .

4.已知，，若点在直线上，求的值.

5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立？

题型15.判断多边形的形状

1.若，，且,则四边形的形状是          .

2.已知，，，，证明四边形是梯形.

3.已知，，，求证：是直角三角形.

4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形.

题型16.平面向量的综合应用

1.已知，，当为何值时，向量与平行？

2.已知，且，，求的坐标.

3.已知同向，，则，求的坐标.

3.已知，，，则         .

4.已知，，，请将用向量表示向量.

5.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；

（2）若与的夹角为锐角，求的范围.

6.已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与的夹角为锐角？

7.已知梯形的顶点坐标分别为，，，且，，求点的坐标.

8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标.

9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度与船的实际速度.

10.已知三个顶点的坐标分别为，，，

（1）若，求的值；（2）若，求的值.

【备用】

1.已知，求和向量的夹角.

2.已知，，且，，求的夹角的余弦.

1.已知，则      .

4.已知两向量，求当垂直时的x的值.

5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围.

变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围.

选择、填空题的特殊方法：

1.代入验证法

例：已知向量，则（    ）

A.   B.  C.  D.

2.排除法

例：已知M是的重心，则下列向量与共线的是（   ）

A.   B.  C.  D.

 

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高中数学必修4知识点总结

第二章  平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．   数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．  零向量：长度为的向量．

单位向量：长度等于个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．

⑷运算性质：①交换律：；

②结合律：；③．

⑸坐标运算：设，，则．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设，，则．

设、两点的坐标分别为，，则．

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

①；

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

⑵运算律：①；②；③．

⑶坐标运算：设，则．

20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．

设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．

21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当

23、平面向量的数量积：

⑴．零向量与任一向量的数量积为．

⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．

⑶运算律：①；②；③．

⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．

若，则，或． 设，，则．

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴；⑵；

⑶；⑷；

⑸   （）；

⑹   （）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴．

⑵

升幂公式

降幂公式，．  

 ⑶．

26、

                                                                                    

                                                 （后两个不用判断符号，更加好用）

27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 形式。，其中．

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；

②；问：         ；          ；

③；④；

⑤；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

    

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：                ；               。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：                 ；                 ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

    如：； ；

；；

；；

                    ；                 ；

              ；

                      =                       ；

                       =                       ；（其中    ；）

                  ；                       ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：                       ；

                                 。 

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