一、插入排序(Insertion Sort)
1. 基本思想:
每次将一个待排序的数据元素,插入到前面已经排好序的数列中的适当位置,使数列依然有序;直到待排序数据元素全部插入完为止。
2. 排序过程:
【示例】:
[初始关键字] [49] 38 65 97 76 13 27 49
J=2(38) [38 49] 65 97 76 13 27 49
J=3(65) [38 49 65] 97 76 13 27 49
J=4(97) [38 49 65 97] 76 13 27 49
J=5(76) [38 49 65 76 97] 13 27 49
J=6(13) [13 38 49 65 76 97] 27 49
J=7(27) [13 27 38 49 65 76 97] 49
J=8(49) [13 27 38 49 49 65 76 97]
?
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?
?
? Procedure InsertSort(Var R : FileType); //对R[1..N]按递增序进行插入排序, R[0]是监视哨// Begin for I := 2 To N Do //依次插入R[2],...,R[n]// begin R[0] := R; J := I - 1; While R[0] < R[J] Do //查找R的插入位置// begin
?? R[J+1] := R[J]; //将大于R的元素后移//
?? J := J - 1
?? end
?? R[J + 1] := R[0] ; //插入R //
?? end
?? End; //InsertSort //
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二、选择排序
1. 基本思想:
每一趟从待排序的数据元素中选出最小(或最大)的一个元素,顺序放在已排好序的数列的最后,直到全部待排序的数据元素排完。
2. 排序过程:
【示例】:
初始关键字 [49 38 65 97 76 13 27 49]
第一趟排序后 13 [38 65 97 76 49 27 49]
第二趟排序后 13 27 [65 97 76 49 38 49]
第三趟排序后 13 27 38 [97 76 49 65 49]
第四趟排序后 13 27 38 49 [49 97 65 76]
第五趟排序后 13 27 38 49 49 [97 97 76]
第六趟排序后 13 27 38 49 49 76 [76 97]
第七趟排序后 13 27 38 49 49 76 76 [ 97]
最后排序结果 13 27 38 49 49 76 76 97
??
?? Procedure SelectSort(Var R : FileType); //对R[1..N]进行直接选择排序 //
?? Begin
?? for I := 1 To N - 1 Do //做N - 1趟选择排序//
?? begin
?? K := I;
?? For J := I + 1 To N Do //在当前无序区R[I..N]中选最小的元素R[K]//
?? begin
?? If R[J] < R[K] Then K := J
?? end;
?? If K <> I Then //交换R和R[K] //
?? begin Temp := R; R := R[K]; R[K] := Temp; end;
?? end
?? End; //SelectSort //
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三、冒泡排序(BubbleSort)
1. 基本思想:
两两比较待排序数据元素的大小,发现两个数据元素的次序相反时即进行交换,直到没有反序的数据元素为止。
2. 排序过程:
设想被排序的数组R[1..N]垂直竖立,将每个数据元素看作有重量的气泡,根据轻气泡不能在重气泡之下的原则,从下往上扫描数组R,凡扫描到违反本原则的轻气泡,就使其向上"漂浮",如此反复进行,直至最后任何两个气泡都是轻者在上,重者在下为止。
【示例】:
49 13 13 13 13 13 13 13
38 49 27 27 27 27 27 27
65 38 49 38 38 38 38 38
97 65 38 49 49 49 49 49
76 97 65 49 49 49 49 49
13 76 97 65 65 65 65 65
27 27 76 97 76 76 76 76
49 49 49 76 97 97 97 97
??
?? Procedure BubbleSort(Var R : FileType) //从下往上扫描的起泡排序//
?? Begin
?? For I := 1 To N-1 Do //做N-1趟排序//
?? begin
?? NoSwap := True; //置未排序的标志//
?? For J := N - 1 DownTo 1 Do //从底部往上扫描//
?? begin
?? If R[J+1]< R[J] Then //交换元素//
?? begin
?? Temp := R[J+1]; R[J+1 := R[J]; R[J] := Temp;
?? NoSwap := False
?? end;
?? end;
?? If NoSwap Then Return//本趟排序中未发生交换,则终止算法//
?? end
?? End; //BubbleSort//
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四、快速排序(Quick Sort)
1. 基本思想:
在当前无序区R[1..H]中任取一个数据元素作为比较的"基准"(不妨记为X),用此基准将当前无序区划分为左右两个较小的无序区:R[1..I-1]和R[I+1..H],且左边的无序子区中数据元素均小于等于基准元素,右边的无序子区中数据元素均大于等于基准元素,而基准X则位于最终排序的位置上,即R[1..I-1]≤X.Key≤R[I+1..H](1≤I≤H),当R[1..I-1]和R[I+1..H]均非空时,分别对它们进行上述的划分过程,直至所有无序子区中的数据元素均已排序为止。
2. 排序过程:
【示例】:
初始关键字 [49 38 65 97 76 13 27 49]
第一次交换后
[27 38 65 97 76 13 49 49]
第二次交换后
[27 38 49 97 76 13 65 49]
J向左扫描,位置不变,第三次交换后
[27 38 13 97 76 49 65 49]
I向右扫描,位置不变,第四次交换后
[27 38 13 49 76 97 65 49]
J向左扫描
[27 38 13 49 76 97 65 49]
(一次划分过程)
初始关键字
[49 38 65 97 76 13 27 49]
一趟排序之后
[27 38 13] 49 [76 97 65 49]
二趟排序之后
[13] 27 [38] 49 [49 65]76 [97]
三趟排序之后 13 27 38 49 49 [65]76 97
最后的排序结果 13 27 38 49 49 65 76 97
各趟排序之后的状态
??
?? Procedure Parttion(Var R : FileType; L, H : Integer; Var I : Integer);
?? //对无序区R[1,H]做划分,I给以出本次划分后已被定位的基准元素的位置 // ?? Begin
?? I := 1; J := H; X := R ;//初始化,X为基准//
?? Repeat
?? While (R[J] >= X) And (I < J) Do
?? begin
?? J := J - 1 //从右向左扫描,查找第1个小于 X的元素//
?? If I < J Then //已找到R[J] 〈X//
?? begin
?? R := R[J]; //相当于交换R和R[J]//
?? I := I + 1
?? end;
?? While (R <= X) And (I < J) Do
?? I := I + 1 //从左向右扫描,查找第1个大于 X的元素/// ?? end;
?? If I < J Then //已找到R > X //
?? begin R[J] := R; //相当于交换R和R[J]//
?? J := J - 1
?? end
?? Until I = J;
?? R := X //基准X已被最终定位//
?? End; //Parttion //
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??
?? Procedure QuickSort(Var R :FileType; S,T: Integer); //对R[S..T]快速排序//
?? Begin
?? If S < T Then //当R[S..T]为空或只有一个元素是无需排序//
?? begin
?? Partion(R, S, T, I); //对R[S..T]做划分//
?? QuickSort(R, S, I-1);//递归处理左区间R[S,I-1]//
?? QuickSort(R, I+1,T);//递归处理右区间R[I+1..T] //
?? end;
?? End; //QuickSort//
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五、堆排序(Heap Sort)
1. 基本思想:
堆排序是一树形选择排序,在排序过程中,将R[1..N]看成是一颗完全二叉树的顺序存储结构,利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系来选择最小的元素。
2. 堆的定义: N个元素的序列K1,K2,K3,...,Kn.称为堆,当且仅当该序列满足特性: Ki≤K2i Ki ≤K2i+1(1≤ I≤ [N/2])
堆实质上是满足如下性质的完全二叉树:树中任一非叶子结点的关键字均大于等于其孩子结点的关键字。例如序列10,15,56,25,30,70就是一个堆,它对应的完全二叉树如上图所示。这种堆中根结点(称为堆顶)的关键字最小,我们把它称为小根堆。反之,若完全二叉树中任一非叶子结点的关键字均大于等于其孩子的关键字,则称之为大根堆。
3. 排序过程:
堆排序正是利用小根堆(或大根堆)来选取当前无序区中关键字小(或最大)的记录实现排序的。我们不妨利用大根堆来排序。每一趟排序的基本操作是:将当前无序区调整为一个大根堆,选取关键字最大的堆顶记录,将它和无序区中的最后一个记录交换。这样,正好和直接选择排序相反,有序区是在原记录区的尾部形成并逐步向前扩大到整个记录区。
【示例】:对关键字序列42,13,91,23,24,16,05,88建堆
??
?? Procedure Sift(Var R :FileType; I, M : Integer);
?? //在数组R[I..M]中调用R,使得以它为完全二叉树构成堆。事先已知其左、右子树(2I+1 <=M时)均是堆//
?? Begin
?? X := R; J := 2*I; //若J <=M, R[J]是R的左孩子//
?? While J <= M Do //若当前被调整结点R有左孩子R[J]//
?? begin
?? If (J < M) And R[J].Key < R[J+1].Key Then
?? J := J + 1 //令J指向关键字较大的右孩子//
?? //J指向R的左、右孩子中关键字较大者//
?? If X.Key < R[J].Key Then //孩子结点关键字较大//
?? begin
?? R := R[J]; //将R[J]换到双亲位置上//
?? I := J ; J := 2*I //继续以R[J]为当前被调整结点往下层调整//
?? end;
?? Else
?? Exit//调整完毕,退出循环//
?? end
?? R := X;//将最初被调整的结点放入正确位置//
??? End;//Sift//
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??? Procedure HeapSort(Var R : FileType); //对R[1..N]进行堆排序//
??? Begin
??? For I := N Div Downto 1 Do //建立初始堆//
??? Sift(R, I , N)
??? For I := N Downto 2 do //进行N-1趟排序//
??? begin
??? T := R[1]; R[1] := R; R := T;//将当前堆顶记录和堆中最后一个记录交换//
??? Sift(R, 1, I-1) //将R[1..I-1]重成堆//
??? end
??? End; //HeapSort//
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六、几种排序算法的比较和选择
1. 选取排序方法需要考虑的因素:
(1) 待排序的元素数目n;
(2) 元素本身信息量的大小;
(3) 关键字的结构及其分布情况;
(4) 语言工具的条件,辅助空间的大小等。
2. 小结:
(1) 若n较小(n <= 50),则可以采用直接插入排序或直接选择排序。由于直接插入排序所需的记录移动操作较直接选择排序多,因而当记录本身信息量较大时,用直接选择排序较好。
(2) 若文件的初始状态已按关键字基本有序,则选用直接插入或冒泡排序为宜。
(3) 若n较大,则应采用时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法:快速排序、堆排序或归并排序。
快速排序是目前基于比较的内部排序法中被认为是最好的方法。
(4) 在基于比较排序方法中,每次比较两个关键字的大小之后,仅仅出现两种可能的转移,因此可以用一棵二叉树来描述比较判定过程,由此可以证明:当文件的n个关键字随机分布时,任何借助于"比较"的排序算法,至少需要O(nlog2n)的时间。
这句话很重要 它告诉我们自己写的算法 是有改进到最优 当然没有必要一直追求最优
(5) 当记录本身信息量较大时,为避免耗费大量时间移动记录,可以用链表作为存储结构。
数据结构排序算法总结I
考研复习到数据结构排序这章了,这章的内容比较经典,都是一些很好的算法,将来很可能会用得到,总结一下,加深一下印象。
文章篇幅有点大,请点击查看更多,下面是跳转链接:
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12
三、选择排序 1)简单选择排序 2)堆排序
五、基数排序
一、插入排序
1)直接插入排序
时间复杂度:平均情况—O(n2) 最坏情况—O(n2) 辅助空间:O(1)
复制到剪贴板折叠C 代码
1. void InsertSort(SqList &L) {
2. // 对顺序表L作直接插入排序。
3. int i,j;
4. for (i=2; i<=L.length; ++i)
5. if (LT(L.r[i].key, L.r[i-1].key)) {
6. // "<"时,需将L.r[i]插入有序子表
7. L.r[0] = L.r[i]; // 复制为哨兵
8. for (j=i-1; LT(L.r[0].key, L.r[j].key); --j)
9. L.r[j+1] = L.r[j]; // 记录后移
10. L.r[j+1] = L.r[0]; // 插入到正确位置
11. }
12. } // InsertSort
2)折半插入排序
时间复杂度:平均情况—O(n2) 稳定性:稳定
复制到剪贴板折叠C 代码
1. void BInsertSort(SqList &L) {
2. // 对顺序表L作折半插入排序。
3. int i,j,high,low,m;
4. for (i=2; i<=L.length; ++i) {
5. L.r[0] = L.r[i]; // 将L.r[i]暂存到L.r[0]
6. low = 1; high = i-1;
7. while (low<=high) { // 在r[low..high]中折半查找有序插入的位置 稳定性:稳定
m = (low+high)/2; // 折半
9. if (LT(L.r[0].key, L.r[m].key)) high = m-1; // 插入点在低半区
10. else low = m+1; // 插入点在高半区
11. }
12. for (j=i-1; j>=high+1; --j) L.r[j+1] = L.r[j]; // 记录后移
13. L.r[high+1] = L.r[0]; // 插入
14. }
15. } // BInsertSort 8.
3)希尔排序 算法演示
时间复杂度:理想情况—O(nlog2n) 最坏情况—O(n2) 稳定性:不稳定 复制到剪贴板折叠C 代码
void ShellInsert(SqList &L, int dk) {
2. // 对顺序表L作一趟希尔插入排序。本算法对算法10.1作了以下修改:
3. // 1. 前后记录位置的增量是dk,而不是1;
4. // 2. r[0]只是暂存单元,不是哨兵。当j<=0时,插入位置已找到。
5. int i,j;
6. for (i=dk+1; i<=L.length; ++i)
7. if (LT(L.r[i].key, L.r[i-dk].key)) { // 需将L.r[i]插入有序增量子表
8. L.r[0] = L.r[i]; // 暂存在L.r[0]
9. for (j=i-dk; j>0 && LT(L.r[0].key, L.r[j].key); j-=dk)
10. L.r[j+dk] = L.r[j]; // 记录后移,查找插入位置
11. L.r[j+dk] = L.r[0]; // 插入
12. }
13. } // ShellInsert
14.
15.
16. void ShellSort(SqList &L, int dlta[], int t) {
17. // 按增量序列dlta[0..t-1]对顺序表L作希尔排序。
18. for (int k=0; k<t; ++k)
19. ShellInsert(L, dlta[k]); // 一趟增量为dlta[k]的插入排序
20. } // ShellSort 1.
二、交换排序
1)冒泡排序
时间复杂度:平均情况—O(n2) 最坏情况—O(n2) 辅助空间:O(1) 稳定性:稳定 复制到剪贴板折叠C 代码
1.
2.
3.
4.
5.
6. void BubbleSort(SeqList R) { int i,j; Boolean exchange; //交换标志 for(i=1;i<n;i++){ //最多做n-1趟排序 exchange=FALSE; //本趟排序开始前,交换标志应为假 for(j=n-1;j>=i;j--) //对当前无序区R[i..n]自下向上扫描
if(R[j+1].key<R[j].key){//交换记录 7.
8. R[0]=R[j+1]; //R[0]不是哨兵,仅做暂存单元
9. R[j+1]=R[j];
10. R[j]=R[0];
11. exchange=TRUE; //发生了交换,故将交换标志置为真 12. }
13. if(!exchange) //本趟排序未发生交换,提前终止算法
14. return;
15. } //endfor(外循环)
16. } //BubbleSort
2)快速排序
时间复杂度:平均情况—O(nlog2n) 最坏情况—O(n2) 辅助空间:O(log2n) 不稳定
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1. int Partition(SqList &L, int low, int high) {
2. // 交换顺序表L中子序列L.r[low..high]的记录,使枢轴记录到位,
3. // 并返回其所在位置,此时,在它之前(后)的记录均不大(小)于它 4. KeyType pivotkey;
5. RedType temp;
6. pivotkey = L.r[low].key; // 用子表的第一个记录作枢轴记录 7. while (low<high) { // 从表的两端交替地向中间扫描
8. while (low<high && L.r[high].key>=pivotkey) --high;
9. temp=L.r[low];
10. L.r[low]=L.r[high];
11. L.r[high]=temp; // 将比枢轴记录小的记录交换到低端 12. while (low<high && L.r[low].key<=pivotkey) ++low;
13. temp=L.r[low];
14. L.r[low]=L.r[high];
15. L.r[high]=temp; // 将比枢轴记录大的记录交换到高端 16. }
17. return low; // 返回枢轴所在位置
18. } // Partition
19.
20. int Partition(SqList &L, int low, int high) {
21. // 交换顺序表L中子序列L.r[low..high]的记录,使枢轴记录到位,
22. // 并返回其所在位置,此时,在它之前(后)的记录均不大(小)于它 23. KeyType pivotkey;
24. L.r[0] = L.r[low]; // 用子表的第一个记录作枢轴记录
25. pivotkey = L.r[low].key; // 枢轴记录关键字
26. while (low<high) { // 从表的两端交替地向中间扫描
27. while (low<high && L.r[high].key>=pivotkey) --high;
28. L.r[low] = L.r[high]; // 将比枢轴记录小的记录移到低端 29. while (low<high && L.r[low].key<=pivotkey) ++low;
30. L.r[high] = L.r[low]; // 将比枢轴记录大的记录移到高端 31. } 稳定性:
32. L.r[low] = L.r[0]; // 枢轴记录到位
33. return low; // 返回枢轴位置
34. } // Partition
35.
36.
37. void QSort(SqList &L, int low, int high) {
38. // 对顺序表L中的子序列L.r[low..high]进行快速排序
39. int pivotloc;
40. if (low < high) { // 长度大于1
41. pivotloc = Partition(L, low, high); // 将L.r[low..high]一分为二
42. QSort(L, low, pivotloc-1); // 对低子表递归排序,pivotloc是枢轴位置
43. QSort(L, pivotloc+1, high); // 对高子表递归排序
44. }
45. } // QSort
46.
47. void QuickSort(SqList &L) { // 算法10.8
48. // 对顺序表L进行快速排序
49. QSort(L, 1, L.length);
50. } // QuickSort
三、选择排序
1)简单选择排序
时间复杂度:平均情况—O(n2) 最坏情况—O(n2) 辅助空间:O(1) 稳定性:不稳定 复制到剪贴板折叠C 代码
void SelectSort(SqList &L) {
2. // 对顺序表L作简单选择排序。
3. int i,j;
4. for (i=1; i<L.length; ++i) { // 选择第i小的记录,并交换到位
5. j = SelectMinKey(L, i); // 在L.r[i..L.length]中选择key最小的记录
6. if (i!=j) { // L.r[i]←→L.r[j]; 与第i个记录交换
7. RedType temp;
8. temp=L.r[i];
9. L.r[i]=L.r[j];
10. L.r[j]=temp;
11. }
12. }
13. } // SelectSort 1.
2)堆排序
时间复杂度:平均情况—O(nlog2n) 最坏情况—O(nlog2n) 辅助空间:O(1) 稳定性:不稳定
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1. void HeapAdjust(HeapType &H, int s, int m) {
2. // 已知H.r[s..m]中记录的关键字除H.r[s].key之外均满足堆的定义, 3. // 本函数调整H.r[s]的关键字,使H.r[s..m]成为一个大顶堆 4. // (对其中记录的关键字而言)
5. int j;
6. RedType rc;
7. rc = H.r[s];
8. for (j=2*s; j<=m; j*=2) { // 沿key较大的孩子结点向下筛选
9. if (j<m && H.r[j].key<H.r[j+1].key) ++j; // j为key较大的记录的下标 10. if (rc.key >= H.r[j].key) break; // rc应插入在位置s上 11. H.r[s] = H.r[j]; s = j;
12. }
13. H.r[s] = rc; // 插入
14. } // HeapAdjust
15.
16. void HeapSort(HeapType &H) {
17. // 对顺序表H进行堆排序。
18. int i;
19. RedType temp;
20. for (i=H.length/2; i>0; --i) // 把H.r[1..H.length]建成大顶堆 21. HeapAdjust ( H, i, H.length );
22. for (i=H.length; i>1; --i) {
23. temp=H.r[i];
24. H.r[i]=H.r[1];
25. H.r[1]=temp; // 将堆顶记录和当前未经排序子序列Hr[1..i]中 26. // 最后一个记录相互交换
27. HeapAdjust(H, 1, i-1); // 将H.r[1..i-1] 重新调整为大顶堆 28. }
29. } // HeapSort
四、归并排序
1)归并排序
时间复杂度:平均情况—O(nlog2n) 最坏情况—O(nlog2n) 辅助空间:O(n) 稳定
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1. void Merge (RedType SR[], RedType TR[], int i, int m, int n) { 2. // 将有序的SR[i..m]和SR[m+1..n]归并为有序的TR[i..n]
3. int j,k;
4. for (j=m+1, k=i; i<=m && j<=n; ++k) {
5. // 将SR中记录由小到大地并入TR
6. if LQ(SR[i].key,SR[j].key) TR[k] = SR[i++];
7. else TR[k] = SR[j++];
8. }
9. if (i<=m) // TR[k..n] = SR[i..m]; 将剩余的SR[i..m]复制到TR 10. while (k<=n && i<=m) TR[k++]=SR[i++];
11. if (j<=n) // 将剩余的SR[j..n]复制到TR 稳定性:
12. while (k<=n &&j <=n) TR[k++]=SR[j++];
13. } // Merge
14.
15. void MSort(RedType SR[], RedType TR1[], int s, int t) {
16. // 将SR[s..t]归并排序为TR1[s..t]。
17. int m;
18. RedType TR2[20];
19. if (s==t) TR1[t] = SR[s];
20. else {
21. m=(s+t)/2; // 将SR[s..t]平分为SR[s..m]和SR[m+1..t]
22. MSort(SR,TR2,s,m); // 递归地将SR[s..m]归并为有序的TR2[s..m] 23. MSort(SR,TR2,m+1,t); // 将SR[m+1..t]归并为有序的TR2[m+1..t] 24. Merge(TR2,TR1,s,m,t); // 将TR2[s..m]和TR2[m+1..t]归并到TR1[s..t] 25. }
26. } // MSort
27.
28. void MergeSort(SqList &L) {
29. // 对顺序表L作归并排序。
30. MSort(L.r, L.r, 1, L.length);
31. } // MergeSort
五、基数排序
1)基数排序
时间复杂度:平均情况—O(d(n+rd)) 最坏情况—O(d(n+rd)) 辅助空间:O(rd) 复制到剪贴板折叠C 代码
1. void Distribute(SLList &L, int i, ArrType &f, ArrType &e) {
2. // 静态链表L的r域中记录已按(keys[0],...,keys[i-1])有序,
3. // 本算法按第i个关键字keys[i]建立RADIX个子表,
4. // 使同一子表中记录的keys[i]相同。f[0..RADIX-1]和e[0..RADIX-1]
5. // 分别指向各子表中第一个和最后一个记录。
6. int j, p;
7. for (j=0; j<RADIX; ++j) f[j] = 0; // 各子表初始化为空表
8. for (p=L.r[0].next; p; p=L.r[p].next) {
9. j = L.r[p].keys[i]-'0'; // 将记录中第i个关键字映射到[0..RADIX-1], 10. if (!f[j]) f[j] = p;
11. else L.r[e[j]].next = p;
12. e[j] = p; // 将p所指的结点插入第j个子表中
13. }
14. } // Distribute
15.
16. void Collect(SLList &L, int i, ArrType f, ArrType e) {
17. // 本算法按keys[i]自小至大地将f[0..RADIX-1]所指各子表依次链接成 18. // 一个链表,e[0..RADIX-1]为各子表的尾指针
19. int j,t;
20. for (j=0; !f[j]; j++); // 找第一个非空子表,succ为求后继函数: ++ 稳定性:稳定
21. L.r[0].next = f[j]; // L.r[0].next
22. t = e[j];
23. while (j<RADIX) { 指向第一个非空子表中第一个结点
24. for (j=j+1; j<RADIX && !f[j]; j++); // 找下一个非空子表
25. if (j<RADIX) // 链接两个非空子表
26. { L.r[t].next = f[j]; t = e[j]; }
27. }
28. L.r[t].next = 0; // t指向最后一个非空子表中的最后一个结点 29. } // Collect
30.
31. void RadixSort(SLList &L) {
32. // L是采用静态链表表示的顺序表。
33. // 对L作基数排序,使得L成为按关键字自小到大的有序静态链表, 34. // L.r[0]为头结点。
35. int i;
36. ArrType f, e;
37. for (i=1; i<L.recnum; ++i) L.r[i-1].next = i;
38. L.r[L.recnum].next = 0; // 将L改造为静态链表
39. for (i=0; i<L.keynum; ++i) {
40. // 按最低位优先依次对各关键字进行分配和收集
41. Distribute(L, i, f, e); // 第i趟分配
42. Collect(L, i, f, e); // 第i趟收集
43. print_SLList2(L, i);
44. }
45. } // RadixSort
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