实 验 报 告

学生姓名：           学号：             专业：           年级：2009

实验类型：验证 实验指导老师：             实验时间：2010.10.08  

共振法测量固体材料的杨氏模量

一、实验目的

1 学会用动态悬挂法测量材料的杨氏模量．

2 学会用外延法测量，处理实验数据．

3了解换能器的功能，熟悉测试仪器的使用．

4 培养学生综合运用知识和使用常用实验仪器的能力．

二、实验原理

如图所示，一长为L的细棒（长度比横向尺寸大很多），棒的轴线沿x方向．棒在z方向的振动（棒的横振动）满足动力学方程

                                             

式中为棒上距左端处横截面的方向位移，Y为该棒的杨氏模量，单位为N/m²，为材料密度，S为棒的横截面积， S为某一截面的惯量矩。

  由该方程及边界条件，可解出杨氏模量：

                                     

上式中m为棒的质量，f为圆棒的基频频率．

    对于直径为d的圆棒，惯量矩，代入上式得：

                                   

实验中就是以悬挂点位置为横坐标，以相对应的共振频率为纵坐标作出关系曲线，用外延测量法求得曲线最低点（即节点）所对应的频率即为试棒的基频共振频率f₁．再由上式可求得杨氏模量Y。

三、实验仪器

YM-2动态型杨氏模量测试台，FB209型动态杨氏模量测试仪，通用示波器、试样棒（铜、不锈钢）、天平、螺旋测微计等．

四、实验内容

1 测量试样棒的长度L，直径d，质量m，为提高测量精度，要求以上量均测量3－5次．

2 测量试样棒在室温时的共振频率f₁．

(1) 安装试样棒：将试样棒悬挂于两悬线之上，要求试样棒横向水平，悬线与试样棒轴向垂直，两悬线挂点到试样棒的端点距离相同，并处于静止状态．

(2) 连机：将测试台、测试仪器、示波器之间用专用导线连接．

(3) 开机：分别打开示波器、测试仪的电源开关，调整示波器处于正常工作状态．适当选取输出衰减大小，调节频率旋钮显示当前输出频率．

(4) 鉴频：待试样棒稳定后，调节“频率调节”粗、细旋钮，寻找试样棒的共振频率f₁．

(5) 外延法测共振频率f₁：因f₁值随悬线位置不同而略有变化。按照上述方法，依次将两悬线支架同时从距两端20mm处开始，每次向内移动5mm，直至50mm处（35mm处不测），分别测出相应的共振频率f₁．（自行设计数据记录表格）

(6) 以悬挂点位置x为横坐标，以相对应的共振频率为纵坐标作出关系曲线，求曲线最低点（即节点）所对应的频率（即是试棒的基频共振频率f₁）．

五、数据分析

1 测量试样棒的长度L

A类不确定度为

B类不确定度为

长度L的不确定度为

2 测量试样棒的直径d

A类不确定度为

B类不确定度为

直径d的不确定度为

3 测量试样棒的质量

m＝37.77（g）

质量m的不确定度即为B类不确定度为

4 外延法测共振频率

实验所得数据如下

由以上数据可得图1（利用外延法）

由图可得共振频率（x=35mm所对应的频率）为

不确定度为                         

5 求杨氏模量

相对不确定度为

六、思考题

1 外延测量法有什么特点？

答：所谓外延测量法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，为了求得这个值，采用作图外推求值的方法．即事先使用已测数据绘制出曲线，再将曲线按原规律延长到待求值范围，在延长线部分求出所要的值。

2 物体的固有频率和共振频率有什么不同？它们之间有何关系?

答：固有频率只由系统本身的性质决定。固有频率和共振频率是两个不同的概念，它们之间的关系为：

式中Q为试样的机械品质因数。对于悬挂法测量杨氏模量，Q值的最小值约为50，所以共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，由于两者相差很小，故实验中可用f_共代替f_固。

 

第二篇：振动法测量杨氏模量实验

动态法测量杨氏模量

杨氏模量是描述固体材料弹性形变的一个重要物理量，测量杨氏模量的方法很多，我们学过的有静态拉伸法，其缺点是不能真实地反映材料内部结构的变化，而且不能对脆性材料进行测量，本实验采用动态法。

一、              实验目的

1．  学习用动态法测量杨氏模量的原理和方法。

2．  学会用示波器观察判断样品共振的方法。

二、              实验仪器

LB-YM（动态）弹性模量测定仪、功率函数信号发生器、示波器、激发—接收换能器、悬挂测定支架及支撑测定支架。试样若干、悬丝、游标卡尺、螺旋测微计。

三、              共振法测量杨氏模量的基本理论

任何物体都有其固有的振动频率，这个固有振动频率取决于试样的振动模式、边界条件、弹性模量、密度以及试样的几何尺寸、形状。只要从理论上建立了一定振动模式、边界条件和试样的固有频率及其他参量之间的关系，就可通过测量试样的固有频率、质量和几何尺寸来计算弹性模量。

1．  杆振动的基本方程

一细长杆做微小横（弯曲）振动时，取杆的一端为坐标原点，沿杆的长度方向为x轴建立坐标系，利用牛顿力学和材料力学的基本理论可推出杆的振动方程：

             （1）

式中U(x, t)为杆上任一点x在时刻t的横向位移；E为杨氏模量；I为绕垂直于杆并通过横截面形心的轴的惯量矩；为单位长度质量。

对长度为L，两端自由的杆，边界条件为：

弯矩         

作用力       

即x = 0, L时：     ，         （2）

用分离变量法解微分方程（1）并利用边界条件（2），可推导出杆自由振动的频率方程：

                               （3）

其中k为求解过程中引入的系数，其值满足：

                                （4）

为棒的固有振动角频率。从方程（4）可知，当、E、I一定时，角频率（或频率f ）是待定系数k的函数，k可由方程（3）求得。方程（3）为超越方程，不能用解析法求解，利用数值计算法求得前n个解为：

         

这样，对应k的n个取值，棒的固有振动频率有n个f₁，f₂，f₃，…，f_n。其中f₁为棒振动的基频，f₂、f₃、…分别为棒振动的一次谐波频率、二次谐波频率、…。弹性模量是材料的特性参数，与谐波级次无关，根据这一点可以倒出谐波振动与基频振动之间的频率关系为：

              f₁ : f₂ : f₃ : f₄ = 1 : 2.76 : 5.40 : 8.93

2．  杨氏模量的测量

若取棒振动的基频，由及方程（4）得：

对圆形棒有，则得：

             （5）

式中为棒的质量，单位为g，d为棒的直径，单位为mm，取L的单位亦为mm，计算出的杨氏模量E的单位为N/m²。这样，实验中测得棒的质量、长度、直径及固有频率，即可求得杨氏模量。

四、              实验装置

图　1

实验装置如上图所示，图中：1是功率函数信号发生器，它发出的声频信号经换能器2转换为机械振动信号，该振动通过悬丝（或支撑物）3传入试棒引起试棒4振动，试棒的振动情况通过悬丝（或支撑物）3′传入接收换能器5转变为电信号进入示波器显示。调节信号发生器的输出频率，当信号发生器的输出频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上波形幅度很小。当信号发生器的输出频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，在示波器6上可看到信号波形振幅取最大值。

悬挂式测量装置如图1，两个换能器的位置可调节，悬线采用直径0.05 – 0.15的铜线，粗硬的悬线会引入较大的误差。

五、              实验步骤

本实验测试样品共四根直圆棒。

1  用螺旋测微计测量试样的直径，取不同部位测量三次，取平均值。

2  用游标卡尺测量试样的长度，测量三次，取平均值。

3  用天平测量棒的质量。

4  根据图1连接各仪器，先用支撑式测定支架测出各样品的共振频率。

5  根据方程（5）计算杨氏模量。

六、              数据记录及数据处理：