实验报告  用动态法测定金属的杨氏模量

物理科学与技术学院  13级弘毅班  吴雨桥  2013301020142

【实验原理】

    对于长度L?直径d、两段自由地做微小横振动的均匀细棒，其振动满足方程

                     +=0

式中，ρ为棒的密度，S为棒的截面积，J=dS称为惯量矩（取决于截面的形状），E为杨氏模量，y为棒振动的位移，x为位置坐标，t为时间变量。

   用分离变量法解方程，令y（x，t）=X(t)T(t)代入方程，有

                    =

解得该振动方程的通解为

      y（x，t）=（B₁chKx+B₂shKx+B₃cosKx+B₄sinKx）Acos（ωt+φ）

式中

                  ω =

称为频率公式。频率公式对任意形状的截面、不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K，带入特定截面的惯量矩J，就可以得到具体条件下的计算公式。如果悬线悬挂在试样的节点（处在共振状态的棒中，位移恒为零的位置）附近，则棒的两端均处于自由状态。此时其边界条件为自由端横向作用力F和弯矩M均为零，即

                  F=- =- EJ=0

弯矩

                   M=EJ=0

故有 

  |_x=0=0   |_x=l=0   |_x=0=0   |_x=l=0

将通解代入边界条件，可以得到cosKl*chKl=1，可用数值解法求得本征值K和棒长l应满足Kl=0，4.730，7.853，10.996，14.137，。。。

一般将K₁l=4.730所对应的频率称为基频频率。

试样在做基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面为0.224l和0.776l处。将第一本征值K₁=代入频率表达式，得到自由振动的固有圆频率（基频）

                     ω =

解出杨氏模量

              E=7.8870*

对于直径为d的圆形棒，惯量矩

               J=dS=S(=

代入上式可得

               E=1.6067

式中，l为棒长，d为棒的直径，m为棒的质量，f为试样共振频率。在国际单位制中杨氏模量E的单位为N.

实际上，E还和试样的直径与长度之比d/l的大小有关，所以乘以一个修正因子R，则有

              E=1.6067R

当l?d时，R≈1；当l?d不成立时，圆棒的R可查表

                试样R与d/l的关系

当外力频率达到共振频率ω_r时，另一悬线处会接收到最大振幅，而固有频率与共振频率之间的关系为f_r==，为阻尼系数。对于一般的金属材料，β的最大值只有ω的1%左右，所以可用f_r代替f计算。

实验中，由于细丝对试样的阻尼，所检测的共振频率大小是随悬挂点的位置而变的。理论上，测量试样的基频振动时，悬挂点应在节点处，即悬点距端点0.224l和0.776l处。但是在这种情况下，棒的振动无法被激发，振幅为零，在示波器上只能看到一条直线。欲激发棒的振动，悬点必须离开节点位置，故采用外延法测量试样的基频，即测量节点周围的点的振动频率，利用他们作图延伸至节点位置，从图像上得到试样的基频。（外延法：指所需要的数据在测量范围之外，一般较难测量，为了求得这个值，利用已得的数据绘制出曲线，再将曲线按原规律延长到待求值范围，在延长线部分求得所需的值。此方法只适用于在所研究范围内没有突变的情况。）

【实验仪器】

功率函数信号发生器、换能器(两个)、示波器、温控器、天平、游标卡尺、螺旋测微器、测试架、待测试样等。

本实验的基本问题是测量在一定温度下试样的共振频率f。实验中采用悬挂法。由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在换能器1上。通过换能器把电信号转变成机械振动，再由悬线（或支撑物）把机械振动传给试样，使试样做横向振动。试样另一端的悬线（或支撑物）把机械振动传给换能器2，这时机械振动又转变成电信号。该信号输入示波器中显示。

当信号发生器的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有波形和波形很小。当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，示波器的波形突然增大，这时频率计上读出的频率就是试样在该温度下的共振频率f。将此f值代入，即可计算出该温度下的杨氏模量。

若将试样置于可控温加热炉中，不断改变加热炉的温度，即可测出不同温度下的杨氏模量。

                      【实验内容】

1.测量试样的长度l、直径d和质量m

   用米尺测量试样的长度l；用游标卡尺测量试样的直径d（注意在不同的部位和不同的方向多次测量）；用电子天平称量试样的质量m。为提高测量精度，以上各量至少测量5次，记入表中。

2.测量试样在室温时的共振频率f

(1)室温下铜和不锈钢的杨氏模量分别为1.2*N*和2*N*，估算出共振频率f，以便寻找共振点。

(2)安装试样棒，对称悬挂并保持试样水平，悬丝与试样垂直，选择适当的悬丝长度。

(3)将仪器连接好，并调整仪器到正常状态。

(4)从试样端点开始，两悬点同时向中间移动，每间隔5mm测量一次共振频率f，记录在表中。每次测量时，调节信号发生器的输出频率，使示波器上观察到的共振峰的幅度达到最大值，此时信号发生器的输出频率即为该点的共振频率。

(5)真假共振峰的判别（鉴频）

在寻找共振频率时，调节信号发生器要极其缓慢，到共振频率附近时改用“频率微调”旋钮调节，换能器及整个系统都有自己的共振频率，换能器2的输入伴随有许多次极大值，故测量时一定要找到真的共振峰进行测量。

1）峰宽判别法。真的共振峰的频率范围很窄，细微地改变信号发生器的输出频率，共振峰的幅度就会发生突变：假的共振峰频率范围很宽。

2）幅度判别法。用手将试样托起，如果是干扰信号，则示波器上正弦波幅度不变；如果是共振信号，则共振信号的周期不变，幅度逐渐衰减。

3）声音判别法。发生共振时，拾振器会发生尖锐的啸叫。

3.测杨氏模量

将试样棒放入到加热炉中，升温后测出不同温度下的共振频率。

                     【数据处理】

                        Fe

                      

Cu

共振频率测量Cu

共振频率测量Fe

回归方程f=0.009286x^2-0.6436x+751

所以Cu的共振频率为f1=751Hz

回归方程f=-0.0002x^3+0.023x^2-0.839x+842.7

所以Fe的基频f1=842.7Hz

对于Cu，Ur=0.001674   E_平均=9.875*10¹⁰  Ue= Ur* E_平均=1.653*10⁸  E= E_平均±Ue=9.875*10¹⁰±1.653*10⁸

对于Fe，Ur=0.0068   E_平均=2.02*10¹¹  Ue= Ur* E_平均=1.374*10⁹  E= E_平均±Ue=2.02*10¹¹±1.374*10⁹

【误差分析】

1.系统误差

(1)仪器误差：

1）m、l、d、f的测量因为仪器的精度问题有一定的不确定度。

  2）金属棒上的标定刻度线有一定误差。

  (2)理论误差

1）理论中使用了近似估计

2）理论中用了图像法，必定会产生一定的误差。

 2.随机误差

 1）读数时有一定的误差。

2）温度等对各个物理量的大小有一定的影响

                         【注意事项】

1.试样不可随意乱放，一定要保持清洁。

2.悬挂试样时，悬丝必须将试样捆紧。测量时应尽量避免试样摆动。

3.实验中拿放东西要轻，不可敲击桌面和大声说话，以免对实验造成影响。

 

第二篇：动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量实验报告

实验名称   动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量

一.目的与要求

1.用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。

2.培养综合应用物理仪器的能力。

3.学习用图示法表达实验结果。

二.原理

根据棒的横振动方程：

                 （1）

式中分别表示材料的密度、样品（棒）的截面积、材料的杨氏模量、特定截面的惯量矩。求解方程，得圆形棒的杨氏模量为

                  （2）

式中为棒长，为棒的界面直径，为棒的质量。若是矩形棒，则为

                  （3）

式中为棒长，分别为棒的宽、厚，为棒的质量。

在实验中测出样品棒的固有频率，即可由（2）、（3）式计算出样品的杨氏模量。在国际单位制中扬氏模量的单位为牛顿·米^-2。

本实验装置如图1所示。

图1  动态悬挂法测量扬氏模量实验装置图

将信号发生器输出的等幅正弦波信号，经过放大器加在激振器上，把电信号转变成机械

振动，在由悬线把机械振动传给样棒，使得样棒受迫横振动。样棒另一端的悬线把样棒的振动传给拾振器，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大后送到示波器上显示。

当信号发生器的频率不等于样棒的固有频率时，样棒不发生共振，示波器显示屏上的信号的幅度不大。当信号发生器的信号频率等于样棒的固有频率时，样棒发生共振，示波器上波形幅度突然增大，读出此时的频率为共振频率。由于样棒的固有频率与共振频率相差甚小，可作为样棒的固有频率。

三.仪器

悬挂法杨氏模量测量仪，示波器，低频信号发生器，电子秤，游标卡尺，铜棒和不锈钢圆棒样品。

四.实验内容与步骤

1.测定样棒的长度、直径和质量；

2.在室温下不锈钢和铜的杨氏模量分别约为牛顿·米^-2和牛顿·米^-2，先估算出共振频率，以便寻找共振点。

3.分别测出不锈钢棒和铜棒的固有频率。

4.利用（2）式分别计算出不锈钢棒和铜棒的扬氏模量。

5.利用外延法，测量样品节点处的共振频率。

五.数据处理与分析

1.圆形棒试样的几何尺寸和质量

；； ;

2.两种材料的共振频率

钢棒：；；

 

,u_d=0.001,u_l=0.01cm,u_m=0.1g

 

同理，可以得到铜棒的杨氏模量：

铜棒：；；

所以，

外延法测量节点的共振频率

对表III 的f-作图，外延法求铁棒节点处的共振频率，如图所示。

如图可知，节点处的共振频率为1030.3Hz。

【注意事项】

1、  实验中实测的为样品的共振频率，其与样品的固有频率是不同的概念，应注意区别；

2、  悬挂金属棒时要轻拿轻放，注意不要用力拉扯起振器和拾振器的挂钩；

3、  实验前可先通过估算出铜棒和钢棒的共振频率便于找到两者的共振频率。