第五章：分式与分式方程

5.1认识分式

一般地，用表示两个整式，可以表示成的形式，如果中含有字母，那么称为分式，其中称为分式的分子，称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.

例1，    下列各式中哪些是整式？哪些是分式？

分式的基本性质    分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变.

这一性质可以用式子表示为：.

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

例2，  化简下列分式

在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式.

5.2分式的乘除法

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘.

这一法则可以用式子表示为：.

   例3，  计算

5.3分式的加减法

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

这一法则可以用式子表示为：.

例4，计算

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母.

异分母分式的加减法法则是：

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.

这一法则可以用式子表示为：

例5，计算

5.4分式方程

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就好了，如果使原方程中分式的分母的值等于零，则舍去此根.

例7，  解方程

 

第二篇：数学：3.4 分式方程(2) 同步练习集(北师大版八年级下)

3．4    分式方程（2）

一、目标导航

1．可化为一元一次方程的分式方程的解法.

2．用分式方程来解决现实情境中的问题.

二、基础过关

1．已知方程的解与方程的解相同，则a等于（　　）

A．３　　B．－３　C．２　　D．－２

2．已知，用x的代数式表示y，应是（　）

A．　　　B．　　　C．　　　D．

3．当k＝　　　　　时，关于x的方程会产生增根．

4．甲、乙两班同学参加“绿化祖国”植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等．则乙班每小时种

树       棵．

5．若方程出现增根，则增根为（　　　）

A．１　　B．2　　　C．0　　D．2或0

6．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．解答方案：

设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：

(1)李明原计划读完这本书需用      天；

(2)改变计划时，已读了     页,还剩           页；

(3)读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需        天；

(4)根据问题中的相等关系，列出相应方程                        ；

(5)李明原计划平均每天读书       页．(用数字作答)

7．若关于x的分式方程无解，则m的值为        ．

三、能力提升

8．解方程

(1)          (2)

9．已知的解为负数，试求m的取值范围．

10．A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．

11．某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格．

四、聚沙成塔

用如图的长方形和正方形纸板分别作侧面和底面，做成如图的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在需要生产竖式纸盒与横式纸盒的个数比是5：3．为使长方形和正方形纸板恰好都能用完，进料时长方形和正方形纸板的张数比应是多少?

                    

3．4分式方程(２)

1．B；2．C；3．3；4．22；5．D；6．⑴，⑵5x，(200-5x)，⑶，⑷；⑸20；7．；8．⑴x=4，⑵x=7；9．且；10．解：设公共汽车的速度为x千米／时，则小汽车速度为3x千米/时，根据题意得解得x=20，经检验x=20是所列方程的解，所以3x=60，答：公共汽车的速度为20千米/时，小汽车的速度为60千米/时；11．解：设去年居民用水价格为x元，则今年价格为1.25x元，根据题意得，，解得x=1.8，经检验x=1.8是所列方程的解，所以1.25x=2.25．答：今年居民用水价格为2.25元．四．解：设需要竖式纸盒5x个，则需要横式3x个，根据题意得，∶=29x∶11x=29∶11．答：长方形和正方形纸板的张数比应是29∶11．

3．4    分式方程（2）

一、目标导航

1．可化为一元一次方程的分式方程的解法.

2．用分式方程来解决现实情境中的问题.

二、基础过关

1．已知方程的解与方程的解相同，则a等于（　　）

A．３　　B．－３　C．２　　D．－２

2．已知，用x的代数式表示y，应是（　）

A．　　　B．　　　C．　　　D．

3．当k＝　　　　　时，关于x的方程会产生增根．

4．甲、乙两班同学参加“绿化祖国”植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等．则乙班每小时种

树       棵．

5．若方程出现增根，则增根为（　　　）

A．１　　B．2　　　C．0　　D．2或0

6．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．解答方案：

设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：

(1)李明原计划读完这本书需用      天；

(2)改变计划时，已读了     页,还剩           页；

(3)读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需        天；

(4)根据问题中的相等关系，列出相应方程                        ；

(5)李明原计划平均每天读书       页．(用数字作答)

7．若关于x的分式方程无解，则m的值为        ．

三、能力提升

8．解方程

(1)          (2)

9．已知的解为负数，试求m的取值范围．

10．A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度．

11．某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格．

四、聚沙成塔

用如图的长方形和正方形纸板分别作侧面和底面，做成如图的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在需要生产竖式纸盒与横式纸盒的个数比是5：3．为使长方形和正方形纸板恰好都能用完，进料时长方形和正方形纸板的张数比应是多少?

                    

3．4分式方程(２)

1．B；2．C；3．3；4．22；5．D；6．⑴，⑵5x，(200-5x)，⑶，⑷；⑸20；7．；8．⑴x=4，⑵x=7；9．且；10．解：设公共汽车的速度为x千米／时，则小汽车速度为3x千米/时，根据题意得解得x=20，经检验x=20是所列方程的解，所以3x=60，答：公共汽车的速度为20千米/时，小汽车的速度为60千米/时；11．解：设去年居民用水价格为x元，则今年价格为1.25x元，根据题意得，，解得x=1.8，经检验x=1.8是所列方程的解，所以1.25x=2.25．答：今年居民用水价格为2.25元．四．解：设需要竖式纸盒5x个，则需要横式3x个，根据题意得，∶=29x∶11x=29∶11．答：长方形和正方形纸板的张数比应是29∶11．