伯达教育八年级数学上册知识点总结

第十一章 三角形

一、三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

二、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

三、三角形的分类

按边分：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形

按角分：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形

四、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边；推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形； ②当已知两边时，可确定第三边的范围； ③证明线段不等关系。

五、三角形的内角和定理及推论（三角形内角和等于180°）

推论：①直角三角形的两个锐角互余；

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

六、三角形的面积=（底?高）/2

七、多边形知识要点（解决问题时常分割为三角形来解决）

（1） 多边形的定义：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（边数大于或等于3）

（2）多边形的一些要素：（边、顶点、内角、外角）

（3）多边形的分类:（凸多边形、凹多边形）

（4）多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．

（5）正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.

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（6）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. ①从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 ②n边形共有n(n-3)/2条对角线。

（7）多边形的内角和及外角和：①内角和：180(n-2);（n≥3，n是正整数）；

②多边形的外角和等于360°。

八、镶嵌的概念和特征

（1）定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)，这里的多边形可以形状相同也可以形状不同。

（2）实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。

（3）常见的一些正多边形的镶嵌问题：

①用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。

②只用一种正多边形镶嵌地面

③用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面（交接处各角之和能否拼成一个周角）

第十二章 全等三角形

一、全等三角形（“≌”:全等于）

1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等、对应角相等。

②全等三角形的周长相等、面积相等。

③全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定（SSS

二、角的平分线：

1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：

1、要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；

2、表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

3、“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

4、时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角” 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

伯达教育学校 招生热线：186xxxxxxxx 0554—6670882 2 、SAS、ASA、AAS、HL） 4、证明两个三角形全等的基本思路：（找相等的边和角）

5、全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括以下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

第十三章 轴对称

一、轴对称图形

1、把一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是 它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

（1）区别： 轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言，对称轴不是只有一条；轴对称是指两个图形的位置关系, 必须涉及两个图形，只有一条对称轴.

（2）联系：如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.

4、轴对称的性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；

②若两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线

1、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线；

2、线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等；

3、与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

4、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

三、用坐标表示轴对称：

①点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）

②点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）

③点（x, y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）

四、等腰三角形

1、性质:①.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）

③等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

④等腰三角形的底角只能为锐角，但顶角可为钝角（或直角）

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2、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

五、等边三角形

1、性质：等边三角形三条边都相等，三个角都相等，并且每一个角都等于60°

2、判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形；

②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

六、直角三角形

1、性质：①有且只有一个角是90°

②在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③勾股定理：斜边的平方等于两直角边的平方和

七、三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

1、三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形

2、要会区别三角形中线与中位线

3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

⑴定理的作用：位置关系（可以证明两条直线平行）

数量关系（可以证明线段的倍分关系）

⑵常用结论：任一个三角形都有三条中位线，因此有：

①三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；

②三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；

③三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形；

④三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分；

⑤三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

第十四章 整式乘除与因式分解

一、知识点

1、幂运算性质：am?an＝am+n（m、n为正整数）；同底数幂相乘，底数不变，指数相加 （am）n＝ amn （m、n为正整数）；幂的乘方，底数不变，指数相乘 （ab）n =anbn （n为正整数）；积的乘方等于各因式乘方的积

am÷bn＝ am﹣n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

a0＝1 （a≠0）；任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．

a－p＝a1/p （a≠0，p是正整数）

2、整式的乘法与除法：

①单项式?单项式：系数?系数，同字母?同字母，不同字母为积的因式.

②单项式?多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.

③多项式?多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.

④单项式?单项式：系数?系数，同字母?同字母，不同字母作为商的因式.

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⑤多项式?单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.

⑥多项式?多项式：用竖式.

3、计算公式：

①平方差公式：a2?b2??a?b??a?b?； ②完全平方公式：a2?2ab?b2??a?b? ③立方和：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)；④立方差：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

4、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式

注：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三 个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

二、因式分解的常用方法

1、提公因式法

（1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：

①系数一各项系数的最大公约数；

②字母各项含有的相同字母；

③指数——相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；

②若多项式的第一项系数是负的，一般要提出负号，使括号内的第一项的系数为正

2、公式法：①平方差公式；②完全平方公式

3、十字相乘法：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

4、拆项法，添项法 22

第十五章 分式

一、分式的定义

1、形如A，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式 B

2、分式的值

①分式有意义：分母不为0（B≠0）分式无意义：分母为0（B＝0）；

②分式值为0：分子为0且分母不为0

③分式值为正或大于0：分子分母同号；④分式值为负或小于0：分子分母异号

⑤分式值为1：分子分母值相等（A=B）；⑥分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

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二、分式的基本性质

1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；

2、分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任两个，分式值不变。

三、分式的约分

1、定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2、步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

①分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子 分母相同因式的最低次幂

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

五、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

六、分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式

七、分式的四则运算与分式的乘方

1、分式的乘除法法则：

①分式?分式：分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母（a/b）?（c/d）=(ac)/(bd) ②分式÷分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（a/b）÷（c/d）=(ad)/(bc)

2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方（a/b)n=an/bn

3、分式的加减法则：

①同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减（a/c）±（b/c）=(a±b)/c

②异分母分式加减法：通分，化为同分母的分式，然后再加减（a/b）±（c/d）=(ad±bc)/(bd)

八、列分式方程：①审—仔细审题，找出等量关系；

②设—合理设未知数；

③列—根据等量关系列出方程（组）；

④解—解出方程（组）；注意检验；

⑤答—答题。

九、分式方程的解的步骤

①去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母（产生增根的过程）

②解整式方程，得到整式方程的解。

③检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

④如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

⑤产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。

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第二篇：新课标人教版八年级数学第十九章四边形知识点总结

新课标人教版八年级数学知识点总结

第十九章 四边形

一、平行四边形：

㈠.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

㈡.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。

㈢. 平行四边形的面积：

1. 平行四边形的面积=底×高= ah（a是平行四边形的任何一条边长，h必须是边长为a的边与其对边的距离）

2. 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

㈣.平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

提示：（1）平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件；

（2）判定方法可作为 “画平行四边形”的依据；

（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。

㈤ 三角形中的中位线

1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

提示：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。

（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系）；

（2）三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。

3、三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

㈥ 两条平行线间的距离

1、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

2、性质：⑴ 两条平行线间的距离处处相等；

⑵ 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。

二、矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；

⑵ 矩形的四个角都是直角；

⑶ 矩形的对角线平分且相等； （AC=BD）

⑷ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。

提示：⑴ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；

⑵ 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

3、矩形判定方法：

⑴ 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

⑵ 方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。

⑶ 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。

三、菱形

1、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；

⑵ 菱形的四条边都相等；

⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

⑷ 菱形是轴对称图形。

提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，

可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。

3、菱形的判定方法：

⑴ 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑵ 判断方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑶ 判断方法2：四条边相等的四边形是菱形。

4、菱形面积的计算：

菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）

归纳：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。

四、正方形

1、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 警示：⑴ 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；

⑵ 既是矩形又是菱形的四边形是正方形；

⑶ 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。

2、正方形的性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

⑴ 边—— 四条边都相等，邻边垂直、对边平行；

⑵ 角—— 四个角都是直角；

⑶ 对角线—— 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

⑷ 对称性—— 是轴对称图形，有四条对称轴。

⑸ 特殊性质—— 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形

3、正方形的判定：

判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：

⑴ 先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；

⑵ 先证它是菱形，再证它有一个角是直角。

五、梯形

1、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、梯形的分类： 一般梯形

⑴ 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 梯形 直角梯形

特殊梯形 等腰梯形 ⑵ 等腰梯形：两腰相等的梯形。

3、等腰梯形的性质：

⑴ 等腰梯形两腰相等，两底平行；

⑵ 等腰梯形同一底边上的两个角相等；

⑶ 等腰梯形的两条对角线相等。

⑷ 等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴。

4、等腰梯形的判定：

⑴ 两腰相等的梯形是等腰梯形；

⑵ 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

⑶ 对角线相等的梯形是等腰梯形。

提示：等腰梯形的判定思路：先证四边形为梯形（即一组对边平行且不等或另一组对边不平行），再证两腰相等或同一底上的两个角相等。

5、解决梯形问题常用辅助线的作法：

解决梯形问题常用辅助线的作法如下图：

① ② ③ ④ ⑤

①“平移腰”：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形； ②“作高”：使两腰在两个直角三角形中；

③“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中；

④“延长两腰” :构造具有公共角的两个三角形；

⑤“等积变形”:连接梯形一腰的端点和另一腰中点，并延长与底的延长线交于一点，构成三角形。

转化

综上所述，解决梯形问题的基本思想和方法：梯形问题——————→三角形或平行四边形问题，

分割、拼接

这种思路常常通过平移或旋转来实现。

六、重心

1、重心的定义：平面图形中，几何图形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平

衡状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，也叫做重心。

2、几种几何图形的重心：

⑴ 线段的重心就是线段的中点；

⑵ 平行四边形及特殊平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；

⑶ 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；

⑷ 任意多边形都有重心，以多边形的任意两个顶点作为悬挂点，把多边形悬挂时，过这两点铅垂线的交点就是这个多边形的重心。

提示：⑴ 无论几何图形的形状如何，重心都有且只有一个；

⑵ 从物理学角度看，几何图形在悬挂或支撑时，位于重心两边的力矩相同。

3、常见图形重心的性质：

⑴ 线段的重心把线段分为两等份；

⑵ 平行四边形的重心把对角线分为两等份；

⑶ 三角形的重心把中线分为1:2两部分（重心到顶点距离占2份，重心到对边中点距离占1份）。