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实验5-2 简谐振动的研究
自然界中存在着各种各样的振动现象,其中最简单的振动是简谐振动。一切复杂的振动都可以看作是由多个简谐振动合成的,因此简谐振动是最基本最重要的振动形式。本实验将对弹簧振子的简谐振动规律和有效质量作初步研究。
【实验目的】
1.观察简谐振动现象,测定简谐振动的周期。 2.测定弹簧的劲度系数和有效质量。 3.测量简谐振动的能量,验证机械能守恒。 【实验器材】
气轨、滑块、天平、MUJ-5B型计时计数测速仪、平板档光片1个,“凹”形挡光片1个、完全相同的弹簧2个、等质量骑码10个。 【实验原理】
1. 振子的简谐振动
本实验中所用的弹簧振子是这样的:两个劲度系数同为k1的弹簧,系住一个装有平板档光片的质量为m的滑块,弹簧的另外两端固定。系统在光滑水平的气轨上作振动,如图5-2-1所示。
当m处于平衡位置时,每个弹簧的伸长量为x0,如果忽略阻尼和弹簧的自身质量,当m
距平衡位置x时,m只受弹性回复力-k1(x+x0)和-k1(x-x0)的作用,根据牛顿第二定律得
?k1(x?x0)?k1(x?x0)?m
dxdt
22
令 k?2k1 (5-2-1) 则有 ?kx?m该方程的解为
x?Acos(?t??0) (5-2-2)
dxdt
22
即物体系作简谐振动。其中
79
??是振动系统的固有圆频率。
(5-2-3)
由于弹簧总是有一定质量的,在深入研究弹簧振子的简谐振动时,必须考虑弹簧自身的质量。由于弹簧各部分的振动情况不同,因此不能简单地把弹簧自身的质量附加在振子(滑块)的质量上。可以证明,一个质量为ms的弹簧与质量为m的振子组成的振动系统,其振动规律与振子质量为(m+m0)的理想弹簧振子的振动规律相同。其振动周期为
T?2?
(5-2-4)
其中m0?cms,称为弹簧的有效质量,c为一常数。对绕制均匀圆筒状的弹簧,c的理论值为1/3,即弹簧的自身质量是其有效质量的3倍。在本实验中,k?2k1,m0?2m01,
ms?2ms1。m01和ms1分别为一个弹簧的有效质量和一个弹簧的自身质量。
本实验通过改变滑块(振子)质量m测出相应的振动周期T,求出k和m0 ,从而求得一个弹簧的劲度系数k1和有效质量m01。
2.简谐振动的运动学特征
把式(5-2-2)两端对时间求一阶导数,有 v?
dxdt
???Asin(?t??0) (5-2-5)
由式(5-2-2)和(5-2-5)式消去t ,有
v??(A?x) (5-2-6) 由上式可见,当x?0时,v的数值最大,即
vmax??A (5-2-7) 利用式(5-2-3)、式(5-2-4)和式(5-2-7)可求出k k?(m?m0)
3.振动的能量
本实验中,任何时刻系统的振动动能为 Ek?
12
(m?m0)v (5-2-9)
2
2222
vmA
2
ax
2
(5-2-8)
系统的弹性势能为两个弹簧的弹性势能之和(以平衡位置处为零势能点),即
(x?0x) Ep??k1
2?2
?1
2
1
?12?
kx?10?2??
(k1
?x
12
)x0
2
21
?k?0x??
21
12x? kx5-2-10)( 2
由式(5-2-3)、(5-2-9)及(5-2-10)得系统的总机械能 E?Ek?Ep?
12
(m?m0)v?
2
12
kx?
2
12
kA (5-2-11)
2
其中k、A均不随时间变化,说明简谐振动的机械能守恒。本实验通过测定在不同位置x处滑块的运动速度v,从而求得Ek及Ep,观测它们之间的相互转换并验证机械能守恒。
【实验内容】
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一、测量弹簧的劲度系数和有效质量。 1.准备工作
(1)用酒精棉球擦拭气轨表面(在供气时)以及滑块内表面,用薄的小纸条检查气孔是否有堵塞。
(2)记下不带挡光片的滑块的净质量(由实验室给出),并用天平称量平板挡光片以及两个弹簧的质量。将平板挡光片固定在滑块上,其总质量即为滑块质量m,两根弹簧质量的一半即为ms1。
(3)将滑块放在气轨中央,静态调节气轨水平(参阅实验5-1),打开气源,挂接上两个弹簧。
2.测定弹簧振子的振动周期
(1)将MUJ-5B型计时计数测速仪的“功能”选为“T周期”( MUJ-5B型计时计数测速仪的使用参阅实验5-1)。
(2)使滑块离开平衡位置一定距离(10cm左右)自由释放,待振动稳定时,测出它振动20个周期所需的时间t,重复5次,求出振动周期的平均值T。
(3)在滑块上加2个骑码,即使滑块的质量增加10.00g ,按照上述方法测量其振动周期。然后依次增加2个骑码,共加5次,测出各次的振动周期,填入表5-2-1。
二、测量简谐振动的能量,验证机械能守恒。
1.称量“凹”形挡光片的质量,将“凹”形挡光片固定在滑块上,其总质量即为滑块质量m。
2.按MUJ-5B计时计数测速仪的“转换”键输入“凹”形挡光片两前沿之间的距离?x。 3.令弹簧振子的振幅A?10.00cm,当滑块位于极大位置处(即x?10.00cm)时,速度为零,弹簧振子的总能量E0?
12kA。
2
4.将光电门放在平衡位置处,测出滑块通过平衡位置(即x?0.00cm)时的速度vmax,反复测量5次,将测量数据填入表5-2-2中。
5.将光电门移至x?2.50cm处,保持弹簧振子的振幅不变,测出滑块通过该处的速度,测量5次。用同样的办法测出滑块通过x?5.00cm和7.50cm时的速度。将测量数据填入表5-2-2中。 【数据处理】
1.计算一个弹簧的劲度系数k1和有效质量m01。
表5-2-1 利用振动周期与质量的关系测k和m0的数据表
m?_____g,ms1?_____g
计算k和m0的方法如下:
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由式(5-2-4)可得 T?4?(m?m0)/k,因此可以用逐差法处理数据,求出平均值
k,除以2就是一个弹簧的劲度系数k1。将k代入式(5-2-4)求出平均值0,除以2就是
22
一个弹簧的有效质量m01,与一个弹簧的自身质量ms1比较一下,看比值是不是1/3。
2.利用式(5-2-8)计算k值并与前面的结果比较。
表5-2-2 测量简谐振动能量的数据表
3.验证机械能守恒。
将表5-2-2中求得的填入表5-2-3,然后按表格要求进行数据处理。研究实验结果得出结论。
表5-2-3 验证机械能守恒的数据表
【注意事项】
1.测量振动周期,挡光片用平板形。 2.测量滑块速度,挡光片用“凹”形。
3.测量简谐振动的能量验证机械能守恒时,各次实验要严格保持振幅不变。 4.气垫导轨的相关注意事项请参阅实验5-1。 【思考题】
1. 本实验通过计算求得弹簧的劲度系数k和有效质量m0,能用作图法求出k和m0
吗?
2.如果两个弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1?k2,这样的振动是否是简谐振动?在这种情况下,测量k和m0的方法是否要改变?
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简谐振动的研究
实验任务:调节气垫导轨的水平状态,组成简谐振动系统,设定电脑计数;的周期档;测定振动周期的随质量的变化,震动周期与振幅关系的相关数;用作图法处理实验数据测出弹簧的等效精度系数
实验仪器:气垫导轨(L-QG-T-500/5.8)电脑通用技术器(MUJ-2B)气(DC-3型)物理天平
实验原理:简谐振动的一般方程表达式为:
为初相位,A为振幅,A由初始条件决定,ω为振动的固有频率,由系统本身决定,振动系统的振动周期T仅取决于振动系统本身的特性,与初始条件无关
弹簧振子的简谐振动:
弹簧系统的振动周期:t=nT
显然,当K和Δm为常量时,与呈线性关系,通过多次改变之值,测出各相应的周期T值,实验数据处理后可以求出K,Δm
简谐振动的等效原理,等效劲度系数:
简谐振动的机械能:
实验步骤:
1、 称量滑行器质量和配重的质量,给各片编号待用
2、 采用静态调法调节气垫导轨的水平,然后装有挡光条的滑行器与两弹簧连接在气垫导轨上
3、 一次在滑行器上加固重片若干在同一振幅下,测出弹簧震动50次所用的时间,每次加重测两组数据,将数据填入表一中,算出相应的振动周期和周期的平均数
4、 一次改变滑行器的振幅
实验数据处理:
表一:弹簧振动周期与有效质量关系记录表
备注:
数据处理采用作图法处理:
以M为横坐标、为纵坐标建立坐标系。依据表一的数据描点,过中值点M(,)连线。计算直线的斜率b、直线的截距a,在更具公式算出k和
有图可知其斜率b=0.0080 a=0.0684
由此可得K=0.0080
表二:测定不同振幅时周期变化记录表
比较表二的各周期的数据可知,简谐振动的周期与振幅无关。
表2中各周期值的微小差异,随着振幅的增加而增大。气垫导轨动动过程中阻尼因素的存在、渐增是其主要原因。
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