实 验 报 告
班级 姓名 学号
日期 室温 气压 成绩 教师 实验名称 弦 振 动 研 究
【实验目的】
1. 了解波在弦上的传播及驻波形成的条件
2. 测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率
3. 测量弦线的线密度
4. 测量弦振动时波的传播速度
【实验仪器】
弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台
【实验原理】
驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波,在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。
当入射波沿着拉紧的弦传播,波动方程为
y?Acos2??ft??
?? 当波到达端点时会反射回来,波动方程为 y?Acos2??ft?x
式中,A为波的振幅;f为频率;?为波长;x为弦线上质点的坐标位置,两拨叠加后的波方程为
y?y1?y2?2Acos2?x
?cos2?ft x这就是驻波的波函数,称为驻波方程。式中,2Acos2??是各点的振幅 ,它只与x有关,
即各点的振幅随着其与原点的距离x的不同而异。上式表明,当形成驻波时,弦线上的各点作振幅为2Acos2?x
?、频率皆为f的简谐振动。 令2Acos2?x
??0,可得波节的位置坐标为
x???2k?1?
令2Acos2??4 k?0,1,2? x
??1,可得波腹的位置坐标为
x??k?
2 k?0,1,2?
相邻两波腹的距离为半个波长,由此可见,只要从实验中测得波节或波腹间的距离,就可以确定波长。
在本试验中,由于弦的两端是固定的,故两端点为波节,所以,只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离(弦长)L等于半波长的整数倍时,才能形成驻波。
n?2L 或 ?? n?0,1,2? 2n
式中,L为弦长;?为驻波波长;n为半波数(波腹数)。 既有 L?
另外,根据波动离乱,假设弦柔性很好,波在弦上的传播速度v取决于线密度和弦的张力T,其关系式为
v?T
?
又根据波速、频率与波长的普遍关系式v?f?,可得
v?f??
可得横波传播速度 T?
v?f
如果已知张力和频率,由式可得线密度 2L n
?n??T??2Lf?
如果已知线密度和频率,可得张力 ??? ?
22?2Lf?T???? ?n?
nT 2L?如果已知线密度和张力,由式可得频率 f?
【实验内容】
一、实验前准备
1. 选择一条弦,将弦的带有铜圆柱的一端固定在张力杆的U型槽中,把带孔的一端套到调
整螺旋杆上圆柱螺母上。
2. 把两块劈尖(支撑板)放在弦下相距为L的两点上(它们决定弦的长度),注意窄的一
端朝标尺,弯脚朝外;放置好驱动线圈和接收线圈,接好导线。
3. 在张力杆上挂上砝码(质量可选),然后旋动调节螺杆,使张力杆水平(这样才能从挂
的物块质量精确地确定弦的张力)。因为杠杆的原理,通过在不同位置悬挂质量已知的物块,从而获得成比例的、已知的张力,该比例是由杠杆的尺寸决定的。
二、实验内容
1. 张力、线密度一定时,测不同弦长时的共振频率,并观察驻波现象和驻波波形。
(1) 放置两个劈尖至合适的间距并记录距离,在张力杠杆上挂上一定质量的砝码记录。
量及放置位置(注意,总质量还应加上挂钩的质量)。旋动调节螺杆,使张力杠杆处于水平状态,把驱动线圈放在离劈尖大约5~10cm处,把接收线圈放在弦的中心位置。提示:为了避免接收传感器和驱动传感器之间的电磁干扰,在实验过程中应保证两者之间的距离至少有10cm。
(2) 将驱动信号的频率调至最小,以便于调节信号幅度。
(3) 慢慢升高驱动信号的频率,观察示波器接收到的波形的改变。注意:频率调节过程
不能太快,因为弦线形成驻波需要一定的能量积累时间,太快则来不及形成驻波。如果不能观察到波形,则调大信号源的输出幅度;如果弦线的振幅太大,造成弦线敲击传感器,则应减小信号源输出幅度;适当调节示波器的通道增益,以观察到合适的波形大小为准。一般一个波腹时,信号源输出为2~3V,即可观察到明显的驻波波形,同时观察弦线,应当有明显的振幅。当弦的振动幅度最大时,示波器接收到的波形振幅最大,这时的频率就是共振频率,记录这一频率。
(4) 再增加输出频率,可以连续找出几个共振频率。注意:接收线圈如果位于波节处,
则示波器上无法测量到波形,所以驱动线圈和接收线圈此时应适当移动位置,以观察到最大的波形幅度。当驻波的频率较高,弦线上形成几个波腹、波节时,弦线的振幅会较小,眼睛不易观察到。这时把接收线圈移向右边劈尖,再逐步向左移动,同时观察示波器(注意波形是如何是如何变化的),找出并记下波腹和波节的个数。
(5) 改变弦长重复步骤3、4;记录相关数据
2. 在弦长和线密度一定时,测量不同张力的共振频率。
(1) 选择一根弦线和合适的砝码质量,放置两个劈尖至一定的间距,例如60cm,调节驱
动频率,使弦线产生稳定的驻波。
(2) 记录相关的线密度、弦长、张力、波腹数等参数。
(3) 改变砝码的质量和挂钩的质量,调节驱动频率,使弦线产生稳定的驻波。记录相关
数据
3. 张力和弦长一定,改变线密度,测量共振频率和弦线的线密度。
(1) 放置两个劈尖至合适的间距,选择一定的张力,调节驱动频率,使弦线产生稳定的
驻波。
(2) 记录相关的弦长和张力等参数。
(3) 换用不同的弦线,改变驱动频率,使弦线产生同样波腹数的稳定驻波,记录相关的
数据。
(4)
【数据记录及处理】
“弦振动实验”实验报告
生医8班 鲍小凡 2008013215
一、实验目的
1、观察弦振动形成的驻波并用实验确定弦振动时共振频率与实验条件的关系。
2、学习用一元线形回归和对数作图法对数据进行处理。
3、学习检查和消除系统误差的方法。
二、实验原理
一根柔软的弦线两端被拉紧时,加以初始打击之后,弦不再受外加激励,将以一定频率进行自由振动,在弦上产生驻波,自由振动的频率称为固有频率。如果对弦外加连学的周期性激励,当外激励频率与弦的固有频率相近的时候,弦上将产生稳定的较大振幅的驻波,说明弦振动系统可以吸收频率相同的外部作用的能量而产生并维持自身的振动,外加激励强迫的振动称为受迫振动。当外激励频率等于固有频率时振幅最大将出现共振,最小的固有频率称为基频。实验还发现,当外激励频率为弦基频的2倍,3倍或者其他整数倍时,弦上将形成不同的驻波,如图1所示,这种能以一系列频率与外部周期激励发生共振的情形,在宏观体系(如机械、桥梁等)和微观体系(如原子、分子)中都存在。弦振动能形成简单而典型的驻波。
弦振动的物理本质是力学的弹性振动,即弦上各质元在弹性力的作用下,沿垂直于弦的方向发生震动,形成驻波。弦振动的驻波可以这样简化分析:看作是两列频率和振幅相同而传播方向相反的行波叠加而成。在弦上,由外激励所产生的振动以波的形式沿弦传播,经固定点反射后相干叠加形成驻波。固定点处的合位移为零,反射波有半波损失,即其相位与入射波相位相差π,在此处形成波节,如图1中的O和L两个端点所示。距波节处入射波与反射波相位相同,此处合位移最大,即振幅最大,形成波腹。相邻的波节或者波腹之间为半波长。两端固定的弦能以其固有频率的整数倍振动。因此弦振动的波长应满足:
式中L为弦长,N为正整数。因波长与频率之积为波的传播速度v,故弦振动的频率为:
由经验知,弦振动的频率不仅与波长有关,还与弦上的张力T和弦的密度ρ有关,这些关系可以用实验的方法研究。用波动方程可最终推出弦振动公式为:
三、实验装置
本实验使用的XY弦音计是代替电子音叉的新仪器。它带有驱动和接收线圈装置,提供数种不同的弦,改变弦的张力,长度和粗细,调整驱动频率,使弦发生振动,用示波器显示驱动波形和传感器接收的波形,观察波动的弦在节点处的效应,进行定量实验以验证弦上波的振动。
四、实验内容
1、定性的观察弦的震动:选用较粗弦,在弦长为60cm下加一定的张力,用信号发生器和电磁起振器对弦进行策动,观察形成一个驻波、两个驻波以及更多驻波的情况,看看他们在频率上有什么关系,然后改变弦长和张力进行观察,看它们对振动频率有何影响,探讨弦振动的共振特征。
2、研究弦线的线密度、弦长、张力、基频与波速的初步关系。
从公式:
可知,弦振动的频率与弦线密度、弦长、张力等诸多因素有关。试分别改变L、T、ρ的值,测量频率与它们的关系。分析有什么不同,为什么?
表1:
上表中:ρ3代表三号弦密度,ρ3 = 0.001615 kg/m3;ρ5代表五号弦密度,ρ3 = 0.003275 kg/m3。M = 1kg,g = 9.8 m/s2。
【计算过程示例】
以T = 2Mg,使用3号弦,弦线密度ρ3 = 0.001615 kg/m3,弦长L = 50cm为例。
时,m/s2。
时,m/s2。
相对偏差:
依次可计算出表格中各个数据的值。
【实验结论】
分析实验数据可得出,弦振动的频率与弦线密度、弦长、张力等因素有关。
当弦线密度和弦的张力保持不变时,弦振动的频率随着弦长的增大而减小。
当弦线密度和弦长不变时,弦振动的频率随着张力的增大而增大。
当弦的张力和弦长不变时,弦振动的频率随着弦线密度的增大而减小。
3、确定波的频率f与弦张力T的函数关系,求出未定系统误差T0的值。
设函数关系是,k、p为未知常数,根据实验数据用作图法或线性拟合法求常数k、p。数据表自拟。在测量前考虑T值存在一个未定系统误差T0,即不加砝码已经存在的张力。试用实验方法或者数据分析方法求出T0。
表2:
上表中,选取5号弦,弦长为50或60cm,线密度ρ = 0.003275kg/m3,M = 1kg。
【Excel拟合曲线】(见下页)
如下图1所示,当L = 50cm时,y = 16.579x0.4525,即k=16.579,p=0.4525。当L = 60cm时,y = 13.46x0.46,即k=13.46,p=0.46。
考虑到不加砝码已经存在张力,故存在系统误差T0。由公式可得:
做出该曲线,用直线拟合,如下表3和图2所示。
图1
图3
由图3拟合的直线可知,y = 0.6013x + 1.3288,即b = 0.6013,a = 1.3288。所以可知T0 = 1.3288N。
4、选做:确定弦振动频率(f)与弦线密度(ρ)之间的关系,表格自拟。(略)
五、安装与操作说明(略)
六、思考题
1、为了尽快激发和测定弦振动,激励线圈和探测线圈应如何放置?
答:激励线圈和探测线圈应尽量靠近弦线的中点处放置,因此处为波腹,振动位移最大,最易于激发震动和探测振动。但是也不能太靠近中间,以免弦线振动时碰到激励线圈和探测线圈。
2、如何尽快找出一定条件下弦振动的基频f0?总结一下你在实验中采用的方法。
答:将示波器的显示调整到CH2,即显示弦振动的波形,用手轻轻抬起弦,然后松手,弦振动时观察示波器显示的频率,待稳定后即为弦振动的基频f0的大致数值。然后在f0前后一定的范围内开始逐渐调节信号发生器的频率,寻找f0的准确数值。
3、根据张力杠杆的实际结构,当1kg砝码放在杠杆中点处,试分析弦中的张力为多大?
解:张力杠杆的实际结构如图所示:
由图易得,,所以当1kg砝码位于杠杆中点处的时候,T=29.4N。
七、实验收获
1、预习和听讲的重要性
实验前充分的预习,对实验的原理进行正确的理解,所需计算的参数公式也提前推导出,不占用实验的时间推导公式,可以提高实验的效率。课堂上听讲时注意好易出差错的地方,可以避免走弯路。
2、数据处理能力的培养
此次实验是数据处理较多的一次,通过这次实验进一步熟悉了使用软件处理数据的过程和技能。
最后,感谢助教的悉心指教,耐心认真地解答我们的每一个问题,帮助我们顺利地完成了今天的实验!
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