20XX考研数学：重要知识点总结

　高等数学在考研数学中占有举足轻重的地位，数一、数三有82分，数二有116分，需要用心复习。一些学生反映，教材看了好几遍，习题做了好几本，做题依然无从下手。类似情况的原因是重点把握不到位，做题的方法和技巧掌握不牢固。下面老师给出高等数学的重要知识点总结，希望20XX考研的考生在复习中有所侧重。

　　1.函数、极限与连续

　　重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。

　　2.一元函数微分学

　　重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。

　　3.一元函数积分学

　　重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。

　　4.向量代数与空间解析几何(数一)

　　主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。

　　5.多元函数微分学

　　重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

　　6.多元函数积分学

　　重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。

　　7.无穷级数(数一、数三)

　　重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。

　　8.常微分方程及差分方程

　　重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。

从开学后，到暑假前的这一阶段，一般称之为考研数学的基础阶段。这一阶段经常被很多同学所忽略，但实际上，基础阶段的复习对于最终的复习效果至关重要。相比英语和政治科目，数学其实是我们的拿分项，很多人都可以在数学上得到很高的分数。所以对于多数同学，特别是想考名校的考生，能不能成功过线，关键就在数学上。那么在这一阶段，考生该如何有效高效的提升数学复习水准?怎样能够在数学科目上获得高分呢?

　　很多同学都存在着这样的误区：考研数学就是多做题、刷题、题海战术。见多了题型，自然就能复习好，考出理想的分数。但我想说的是，做题固然重要，但是也不是盲目做题，就可以取得高分。在刚开始复习的时候，我们首先要做的就是按照大纲对基础的要求，准确把握基本概念、公式、定理以及常用结论等内容。数学是一门严谨、富有逻辑的科学，若仅仅靠漫无目的地做题、刷题，那就是无源之水，无本之木。在基础阶段，正确理解这些概念，其实要比做题的效果更好。因为题是一直在变的，可无论怎么变，最终出题都是绕不开这些知识点的。如果对于知识点没有很好的理解，只是机械地做题，那么就很有可能出现“换了个形式，觉得这个题有些眼熟，却不会做了”类似的情况。以“中值定理”为例，拉格拉朗日定理，罗尔定理，柯西中值定理这三大中值定理，既要明白这三者之间的关系，也要知道满足这几个定理所需的条件。有些题目只适合用其中的一种，如果用错的话就会绕好多远，十分麻烦。所以，单纯地记忆方法，不理解本质，很容易闹出张冠李戴的笑话。只有根据大纲，把所有知识点、定理、公式吃透，融会贯通，才能做到以不变应万变。

　　有些同学可能要问，20XX年考研数学大纲还没有出，我们没有复习依据啊。这个其实不必担心，因为数学大纲每年的变动并不是很大。而且根据以往的经验，新增添的内容不一定就会出题，就算出题也是选择或者填空，所以大家可以放心地根据去年的数学大纲进行。我当初就是用的前一年的大纲进行的串联，对于最终的考试也没有太大影响。

　　此外，每年考研的内容和前几年相比，都会有较大的重复率，解题的思路和所用到的知识点会很相像。所以我们不仅要深刻理解这些基础知识，更要学会对考研的试题类型、特点、思路等进行系统的归纳总结。在此基础上，再做一定数量的习题，才能有效提升自己。总之，基础阶段，切忌一上来就猛搞题海战术，踏踏实实地夯实基础，才是最关键的。

　　当然，只看题却不动手做题也是复习过程中的大忌。这也是很多考生存在的问题，总以为看会了，知道了方法，自己就会做了，可是真正做起来的时候才发现根本不是那么回事。所以，基础知识固然重要，动手做题同样不可偏废。大家在复习时，一定要亲自动手。通过动手练习，我们还能规范答题模式，提高解题和运算的熟练程度。正式考试时三个小时那么大的题量，本身就是对计算能力和熟练程度的考察，而且现在的阅卷都是分步给分的，怎么作答有效果，这些都要通过自己不断的摸索去体会。很多同学可能基础比较差，甚至高数等科目挂过科，所以对于数学的复习没有什么信心。但是我想告诉大家的是，基础的薄弱，完全可以在这几个月的基础复习之中弥补回来，只要你的方法正确，时间分配的比较合理!这里推荐大家几本基础阶段的教材，北京理工大学出版的《高等数学辅导(同济六版·上下册合订本)》这本书就很不错，完全配套教材，配有课后习题的具体解析，还有考研真题用来提升能力，很适合基础阶段的复习。此外，《线性代数辅导(同济五版)》、《概率论与数理统计辅导(浙大四版)》与上面都是一系列参考书，都很有用。暑假之前，把这三个科目的同步辅导吃透，再适当做一些历年真题，暑期强化更进一步，就得心应手了。

千里之行，始于足下。寒假在即，开学后就是16年考研的同学们发力的时候了。希望大家调整心态，不要放过这宝贵的几个月时间，努力打好基础。为强化和冲刺阶段的腾飞做好准备!

　近两年的考题开始重视学科之间的联系了，像今年概率大题中高数和概率的结合(利用级数求和算期望)，以及数一的考生比较头疼的高数中解析几何与线代线性方程组之间的联系问题!能把这些综合性稍强的题目做对做好，需要扎实的基本功!这就要求大家首先不能偏科，我们在讲到数学三个科目复习的时候往往顺口就是“高数、线代、概率”的顺序，这并不代表线代、概率不重要或者概率最不重要，相反，任何一门偏科的话数学整体的分数肯定不会高的!但是每个人肯定都有自己的喜好，不喜欢的相对就学的不好，这很正常，但是为了考上研究生，即使是正常的事情我们也要找到对策，然后解决这个问题。建议大家在复习的时候可以先选择自己不擅长的科目，拿出一整段的时间来攻克这个难点，因为人的心理是越到最后越容易紧张，前期把最难的攻克，对于减轻日后复习的压力是很有帮助的。

 

第二篇：考研数学知识点总结

考研数学考点与题型归类分析总结

1高数部分

1.1      高数第一章《函数、极限、连续》

求极限题最常用的解题方向：

1.利用等价无穷小；

 

2.利用洛必达法则    型和型直接用洛必达法则

                                、、型先转化为型或型，再使用洛比达法则；

3.利用重要极限，包括、、；

4.夹逼定理。

1.2      高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》

第三章《不定积分》提醒：不定积分中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。

第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：

对于型定积分，若f(x)是奇函数则有=0；

                                               若f(x)为偶函数则有=2；

对于型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常用方法。

所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质 、。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。

1.3      高数第五章《中值定理的证明技巧》

用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式AE、(AB)C、(CDE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。

为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。

正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(AB) M，因为其中涉及了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(AB) C，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。反方向入手证明时也会遇到同样的问题。

通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。

so，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。

“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(CDE) F再倒推想到 (AB) C、 AE就可以证明了。

如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：

面对这一部分的题目时，如果把欲证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处——so要“牢记定理的结论部分”。

综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。

1.4      高数第六章《常微分方程》

历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。

解题套路：“辨明类型→套用对应方法求解”

先讨论一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型的方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为f(x)dx=f(y)dy的形式，再积分得到答案。

所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。

对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于型方程，就是先把当作未知函数Z，则 原方程就化为  的一阶方程形式，积分即得；再对、依次做上述处理即可求解；

 叫不显含y的二阶方程，解法是通过变量替换 、 (p为x的函数)将原方程化为一阶方程；叫不显含x的二阶方程，变量替换也是令（但此中的p为y的函数），则，也可化为一阶形式。

所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换”，“求解贝努利方程就用变量替换”一样，在这里也要记住“求解不显含y的二阶方程就用变量替换、 ”、“求解不显含x的二阶方程就用变量替换、”。

大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆：

可以说本章难就难在记忆量大上。

1.5      高数第七章《一元微积分的应用》

本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分单独分离到方程的一端形成“＝∽”的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。

对于导数应用，有以下一些小知识点：

1.     利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点：

A. 极值的定义是：对于的邻域内异于的任一点都有＞或＜,注意是＞或＜ 而不是≥或≤；  B. 极值点包括图1、图2两种可能，

所以只有在在处可导且在处取极值时才有。

讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零点定理（结论部分为）、罗尔定理（结论部分为）；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。

2.     理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：

A.若函数在 区间I上的，则在I上是凸的；

 若在I上的，则在I上是凹的；

B.若在点处有且，则当时为极大值，当时为极小值。

其中，A是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，是的变化率，是的变化率。可以说明函数是增函数； 可以说明函数的变化率在区间I上是递减的，包括以下两种可能：

 

同样，也只有两种对应图像：

所以，当时，对应或的函数图像，是凸的；

        当时，对应或的函数图像，是凹的。

相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“且”，这从图像上也很容易理解：满足的图像必是凸的，即或，当且时不就一定是的情况吗。

对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。

关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格：

1.6      高数第八章《无穷级数》

本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幂级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。

对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子：

1. 已知级数收敛，判断级数的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式，再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”式的题目是有局限性的——若已知级数收敛，则所要求判敛的级数只能也是收敛的，因为只有“小于收敛级数的级数必收敛”这一条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（）”。

 2． 上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛散性，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减数列满足，判断级数的敛散性。关键步骤是：由得到，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。

幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容，也是每年都有的必考题。在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的意思，花时间来掌握很划算。

另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律是建立在对6个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如下：

1.    （-1，1）

2.     （-1，1）

3.  

4.   

5.    

6.    

这六个公式可以分为两个部分，前3个相互关联，后3个相互关联。

1式是第一部分式子的基础。不就是一个无穷等比数列吗，在时的求和公式正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子2：1式左端是，2式左端是；1式右端是，2式右端也仅仅是变成了交错级数,故可以通过这种比较来记忆式子2；对于3式来说，公式左端的与2式左端的存在着关系“”，故由的展开式可以推导出的展开式为。这三个式子中的，相互之间存在着上述的清晰联系。

后3个式子的，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性。这一部分的基本式是公式4：与之相比，的展开式是，的展开式是。一个可看成是将展开式中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将展开式中的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的搭配：、习惯上说“正余弦”，先正后余；而的展开式对应的是奇数项，的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。

在已知幂级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前3式)的展开式都不带阶乘，其中只有的展开式不是交错级数；第二部分（后3式）的展开式都带阶乘，其中只有的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式4，因为幂级数的变形变不掉阶乘和；若题目给出的幂级数不带阶乘而且是交错级数，则必从2、3两式中选择公式，其它情况也类似。

对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。

对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换求得幂级数的和函数以后代入极限式即可。其中的关键步骤是选择适当的，一般情况下如果、这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的应为的形式，如、，以方便先积分；若题目有、这样的项，则应为的形式，如、，便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。

1.7      高数第十章《多元函数微分学》

复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。

1.8      高数第十章《重积分》

大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）

在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧

2       线性代数部分

2.1      线代这门课的特点

 线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。

所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。“融会”可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于——当看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从而大大提高解题效率、增加得分胜算。

出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题，比如在历年真题中出现频率很高的性质“齐次方程组是否有零解对应于A的列向量组是否线性相关；非齐次方程组Ax=b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示”。

再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行列式的内容，题眼就在于性质“方阵A可逆ó|A|=0óA的列向量组线性无关ór(A)=n”，依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。

2.2      线代第一章《行列式》、第二章《矩阵》

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。第一章行列式的核心内容是求行列式       具体行列式的计算       低阶       n阶

                                                             应用行列式按行\列展开定理      化为上下三角行列式求解

                                                             行列式的定义、、行列式的性质

                          抽象行列式的计算       考点不在求行列式，而在于、、等的相关性质

第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的内容都不多，没有什么深度。由历年考研真题可见，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定条件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等。

所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致，一些做题时用到的性质和方法结合具体的题目就题论题才有最佳的效果：

2.3      线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》

线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立， 可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。

向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组的系数矩阵是m行n列的，其有两种形式，一种是矩阵形式；其中是系数矩阵,,；另一种是向量形式，其中  。向量就这样被引入了。

先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组可以直接看出是一定有解的，因为当式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0向量可由任何向量线性表示”，即当中的时一定存在一组数使等式成立，至少在全为0时可以满足。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的只能全为0才能使等式成立，而第三章向量部分中判断向量组是否线性相关\无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设为一组向量，如果存在一组不为零的数使得等式成立，则称向量组线性相关；如果等式当且仅当时成立，则称向量组线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关。

假如线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的，那同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组组成的矩阵有说明向量组的极大线性无关组中有n个向量，即线性无关，也即等式只有0解。所以，经过“秩→线性相关\无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，由就可以判定齐次方程组只有0解。当时，按照齐次线性方程组解的判定法则，此时有非零解，且有n-r个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组的系数矩阵是m行n列的，则方程个数小于未知量个数时有m<n；因为矩阵的秩等于行秩也等于列秩，所以必有，根据齐次方程组解的判定定理有非零解。

对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系：非齐次方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量线性表示。线性表示的定义为：对于向量组若存在一组数使等式成立，则称向量可由向量组线性表示。而使上述等式成立的就是非齐次方程组的解，故齐次方程组有性质“齐次线性方程组是否由非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性向关”，非齐次方程组也由对应性质“非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量线性表示”。当非齐次线性方程组与对应齐次线性方程组满足时，根据线性方程组解的判定法则，齐次方程组有零解，非齐次方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示方法唯一”。

以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。

线代部分的题目难就难在考点的跨度大，而我们如果仅仅掌握零散知识点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转向。

矩阵→线性方程组→向量

                解→线性相关/无关→秩

三个双重定义：

1.     秩的定义 

  a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数

  b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数

2.线性相关\无关的定义：

a.     对于一组向量，若存在不全为零的数使得成立，则相量组线性相关，否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当全为0时才成立。

b.    向量组线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余n-1个向量线性表出；

                          线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。

2.     线性方程组的两种形式：

a.     矩阵形式：

b.    向量形式：

两条性质：

1.对于方阵有：方阵可逆ó存在方阵使得óó的行\列向量组均线性无关óó可由克拉默法则判断有唯一解，而仅有零解。

对一般矩阵则有：ó的列向量组线性无关ó仅有零解，有唯一解。

2.齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组是否有解对应于是否可以由的列向量组线性表出。

以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁：

行列式                                线性相关                      线性方程组

     

  秩

    另外，线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用要求掌握的一些定理推论推导出来”的性质和结论，所以有必要扩大一些知识面，说不定在考试时就会有意外收获：

1.           一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。如果向量组可由向量组线性表示，则有。

等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；

任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。

2.           常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系；、、这样的单位向量组；不同特征值对应的特征向量。

3.           关于秩的一些结论：

；

；

；

；

；

若有、满足，则；

若是可逆矩阵则有；同样若可逆则有。

非齐次线性方程组有唯一解则对应齐次方程组仅有零解，若有无穷多解则有非零解；若有两个不同的解则有非零解；

若是矩阵而则一定有解，而且当时是唯一解，当时是无穷多解，而若则没有解或有唯一解。

2.4      线代第五章《特征值和特征向量》

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点，历年考研真题都有相关题目，而且最有可能是综合性的大题。

特征值和特征向量之所以会得到如此青睐，大概是因为解决相关题目要用到线代中的大量内容——即有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”；着重考察这样的知识点，在保证了考察面广的同时又有较大的出题灵活性。本章知识要点如下：

1.特征值和特征向量的定义及计算方法。

记牢一系列公式如、、和。

历年真题中常用到下列性质：若阶矩阵有个特征值    ，则有；       若矩阵有特征值，则、、、、、分别有特征值、、、、、，且对应特征向量等于所对应的特征向量，而若、分别为矩阵、的特征值，则不一定为的特征值。

2.相似矩阵及其性质。定义式为，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

矩阵与矩阵等价（）的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵可通过初等变换化为矩阵，并有；

当中的、互逆时就变成了矩阵相似（）的定义式，即有，此时满足、、，并且、有相同的特征值。

矩阵合同的定义是，其中为可逆矩阵。

由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若与合同或相似则与必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。

3.矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件。

充要条件:阶矩阵A有n个线性无关的特征向量óA的任意k重特征根对应有k个线性无关的特征向量；

充分条件:1是A有n个互不相同的特征值；充分条件2是A为实对称矩阵。

4.实对称矩阵极其相似对角化。

n阶实对称矩阵A必可正交、相似于对角阵，即有正交阵P使得而且正交阵P由A对应的几个正交的特征向量组成。

   其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那种前后印证、相互推导的关系：以求方阵的幂作为思路的起点，直接乘来求比较困难，但如果有矩阵P使得A满足（对角阵）的话就简单多了，因为此时，而对角阵的幂就等于代如上式即得。而矩阵相似对角化的定义式正是。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂，引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且

中的 P、也分别是由A的特征向量和特征值决定的。

       求Aⁿ→相似对角化→特征值和特征向量

2.5      线代第六章《二次型》

本章内容较少，大纲要求包括掌握二次型及其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为标准型的方法。

在理年真题中本章知识点出现次数不多，但也考过大题。本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵存在正交矩阵使得可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

       将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比较会有助于理解记忆“化二次型为标准型”的步骤及避免前后混淆，但因为大纲对本章要求不高，所以不必深究。

3       概率部分

3.1      概率这门课的特点

概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。

对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。

记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。

3.2      概率第一章《随机事件和概率》

本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如、、这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。

在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题。

区别互斥、互逆、对立与不相容：事件A与事件B互斥也叫A与B不相容，即，事件A与事件B对立就是A与B互逆，即为A与的关系。

公式组在历年考研真题中频繁用到，很多题利用这三个公式间的相互转化关系很容易求得答案。

当A、B相互独立时，也就是指事件A与事件B的发生互不影响，此时应该有、所以由（2）式即可得出（3）式。

3.3      第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》、第四章《大数定律和中心极限定理》

对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当大一部分难度是被解题所用的繁杂公式“分走”了。所以对于概率部分的复习，有两个步骤即可：首先是牢记公式，然后是把题做熟,在练习过程中透彻理解概念公式和性质定理。

对于第二章的大表格也可以利用各部分之间的联系来对照复习，比如说二维分布的性质基本上与一维分布的性质一一对应（类似于二重积分和定积分性质之间的关系），二维边缘分布的内容与一维分布本质上也是相通的，离散型和连续型分布的各知识点也可互相对比、区别记忆。也就是“一维和二维相联系、离散和连续相对比、随机变量分布和随机变量函数的分布相区别”。

同时对于重要分布如二项、泊松、正态、均匀、指数分布必需记得非常牢，因为考试时会直接拿这些分布做题干来考察各章知识点，万一出现“由于题干中的分布函数不会写或写错而导致整道大题知道怎么做也没法做”的情况将是非常可惜的。

本章的一维连续分布和二维离散分布在历年真题中出现频率最高，最常考分布是均匀、指数和正态分布。对于一维连续型分布的性质可借助图像理解因为分布函数，所以分别可用图中的阴影部分表示，容易看出多条性质，包括、等；而且在具体做题时用图像辅助理解也很有效，比如频繁在真题中出现的正态分布，作图辅助解题的效果更为明显。

第三章《随机变量的数字特征》也用表格说话的，同样需要认真记好。本章在历年真题中最常出现的题目考察点是几个重点公式，尤其是式子，大\小题都可能利用这一式子的左端或右端出题而以另一端设置答案。还有数学期望与方差的定义及性质也是考察重点，可由下表对比记忆：

若X、Y相互独立则同时具有以下4条性质：

1. 2.3. 4.

本章所有的大数定理都是指在独立同分布且存在数学期望的条件下若干随机变量的平均值依概率收敛到均值的期望，即。因为独立同分布，所以有，故有公式右侧，应有，即为辛钦大数定律；若用表示在n重伯努利试验中事件的发生次数则可得到伯努利大数定律。

3.4      概率第五章《数理统计的基本概念》、第六章《参数估计》、第七章《假设检验》

数理统计部分在考研数学试卷中占有概率部分1/3的分值，这一部分考点较少，参数估计最为重要，其次是样本与抽样分布，假设检验部分则很少考到。

对于参数估计部分，需要记清楚据估计和极大似然估计各自的步骤，然后通过足量做题来熟练掌握；对于样本与抽样分布，重要的是分布、t分布和F分布各自的条件和结论公式 ，在历年真题中考察过； 

概率这门课的全称是概率论和数理统计，数理统计是对概率论的实际应用，而概率论则充当了理论基础的角色。数理统计中的统计量如样本均值、样本方差等的概念性质都能在概率论中找到出发点。其实，数理统计就是一个先对随机变量做实际观测得到一系列具体数据，再利用“样本与抽样分布”部分的公式归纳出样本均值、方差等统计量，在此基础上利用参数估计等方法推断出随机变量整体分布和数学特征的过程。 参数估计中的矩估计法就是令总体矩与样本矩相等，建立等式以求出总体矩；极大似然估计中的似然函数就是指样本取观察值的概率，自然应等于，其值越大就说明越有利于使者组样本值出现，故极大似然估计法要求求出使取最大值的作为参数的估计量。

考纲要求的重难点:

1、在微积分部分。主要是:微积分各项基本概念的背景、转换和延伸；基本运算，包括极限运算、导数、偏导数的运算，积分、二重积分的运算，以及数三要求的级数、微分、差分方程的运算，常见的题型，应注意防范的错误；常见经济函数的结构，经济应用的基本题型，优化问题及变形，边际和弹性的概念及相关问题，供求平衡及价格变化模型等；微分中值定理中关于中值存在性的证明一个中值ξ、两个中值ξ，η、和两个不等中值ξ，η；导数的应用，包括函数性质的讨论、等式与不等式的证明、方程有几个解的讨论、最值的讨论等；几何应用，平面图形的面积、旋转体体积以及引出的综合问题。

  2、线性代数部分。主要有:矩阵、矩阵方程的运算，化简和求解，矩阵与行列式相互关系的转换，利用矩阵计算行列式等；向量组线性相关性的判别和证明，常见的形式包括，利用线性方程组的解的状况推断，利用矩阵条件推断，利用方程组解的条件推断，利用向量组之间关系推断，矩阵的秩的计算；线性方程组解的讨论，尤其有关两个线性方程组有公共解、同解、一个方程组的解是另一方程组的解的讨论，矩阵的特征值与特征向量，包括:矩阵定未知常数，矩阵对角化的讨论，求解可逆阵P，使PAP为对角阵，及实对称矩阵性质等；一些特殊矩阵相关的题型，如A，由两个向量构造的方阵A=αβ，初等矩阵，AB=O等。

  3、概率论与数理统计部分。主要是:重要随机事件关系的概念及利用集合运算描述随机事件；随机变量的分布，离散型随机变量概率函数的运算、分布列和联合分布的生成和结构、以及在此基础上的随机变量函数的分布，一元和二元连续型随机变量的密度函数与分布函数的关系、随机变量函数的密度函数的计算，若干独立同分布随机变量之和的分布及概率计算；随机变量的期望、方差、协方差及相关性的讨论、应用；随机事件的概率计算，尤其常见概型、是复合型随机事件的概率，正态分布随机变量的计算等；对于数三，还应有重要统计量的分布矩法和最大似然估计法等。

  在进行实战模拟时，最好举一反三，不只是为做题而做题，注意知识点之间的联系。应掌握一些常用的变量替换、辅助函数的做法，来增强解题的技巧性。对于一些有代表性的题目，不仅要理解更应当牢记解题的突破口和思路。