第二篇：测量刚体的转动惯量

                  

大学物理仿真实验

实验报告

        西安交通大学

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      20##年6月20日

 

测量刚体的转动惯量

实验简介

在研究摆的重心升降问题时，惠更斯发现了物体系的重心与后来欧勒称之为转动惯量的量。转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。本实验将学习测量刚体转动惯量的基本方法。

实验目的

   

1.用实验方法验证刚体转动定律,并求其转动惯量;

2.观察刚体的转动惯量与质量分布的关系

3.学习作图的曲线改直法,并由作图法处理实验数据.

实验原理

1．刚体的转动定律

具有确定转轴的刚体，在外力矩的作用下，将获得角加速度β，其值与外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即有刚体的转动定律：

M = Iβ   (1)

利用转动定律，通过实验的方法，可求得难以用计算方法得到的转动惯量。

2．应用转动定律求转动惯量

如图所示，待测刚体由塔轮，伸杆及杆上的配重物组成。刚体将在砝码的拖动下绕竖直轴转动。设细线不可伸长，砝码受到重力和细线的张力作用，从静止开始以加速度a下落，其运动方程为mg –T=ma，在t时间内下落的高度为h=at²/2。刚体受到张力的力矩为T_r和轴摩擦力力矩M_f。由转动定律可得到刚体的转动运动方程：T_r - M_f = Iβ。绳与塔轮间无相对滑动时有a = rβ，上述四个方程得到：

               m(g - a)r - M_f = 2hI/rt²                  (2)

M_f与张力矩相比可以忽略，砝码质量m比刚体的质量小的多时有a<<g，

所以可得到近似表达式：

               mgr = 2hI/ rt²                          (3)

式中r、h、t可直接测量到，m是试验中任意选定的。因此可根据（3）用实验的方法求得转动惯量I。

3．验证转动定律，求转动惯量

从（3）出发，考虑用以下两种方法：

A．作m – 1/t²图法：伸杆上配重物位置不变，即选定一个刚体，取固定力臂r和砝码下落高度h，（3）式变为：

             M = K₁/ t²                                (4)

式中K₁ = 2hI/ gr²为常量。上式表明：所用砝码的质量与下落时间t的平方成反比。实验中选用一系列的砝码质量，可测得一组m与1/t²的数据，将其在直角坐标系上作图，应是直线。即若所作的图是直线，便验证了转动定律。

从m – 1/t²图中测得斜率K₁，并用已知的h、r、g值，由K₁ = 2hI/ gr²求得刚体的I。

B．作r – 1/t图法：配重物的位置不变，即选定一个刚体，取砝码m和下落高度h为固定值。将式（3）写为：

              r = K₂/ t                                （5）

式中K₂ = (2hI/ mg)^1/2是常量。上式表明r与1/t成正比关系。实验中换用不同的塔轮半径r，测得同一质量的砝码下落时间t，用所得一组数据作r－1/t图，应是直线。即若所作图是直线，便验证了转动定律。

从r－1/t图上测得斜率，并用已知的m、h、g值，由K₂ = (2hI/ mg)^1/2求出刚体的I。

实验仪器

刚体转动仪，滑轮，秒表，砝码

刚体转动仪包括：

A.塔轮，由五个不同半径的圆盘组成。上面绕有挂小砝码的细线，由它对刚体施加外力矩。

B.对称形的细长伸杆，上有圆柱形配重物，调节其在杆上位置即可改变转动惯量。与A和配重物构成一个刚体。

C.底座调节螺钉，用于调节底座水平，使转动轴垂直于水平面。

此外还有转向定滑轮，起始点标志，滑轮高度调节螺钉等部分。

实验内容

1. 调节实验装置：调节转轴垂直于水平面

调节滑轮高度，使拉线与塔轮轴垂直，并与滑轮面共面。选定砝码下落起点到   地面的高度h，并保持不变。

2. 观察刚体质量分布对转动惯量的影响

取塔轮半径为3.00cm，砝码质量为20g，保持高度h不变，将配重物逐次取三种不同的位置，分别测量砝码下落的时间，分析下落时间与转动惯量的关系。本项实验只作定性说明，不作数据计算。

3. 测量质量与下落时间关系：

测量的基本内容是：更换不同质量的砝码，测量其下落时间t。

用游标卡尺测量塔轮半径，用钢尺测量高度，砝码质量按已给定数为每个5.0g；用秒表记录下落时间。

将两个配重物放在横杆上固定位置，选用塔轮半径为某一固定值。将拉线平行缠绕在轮上。逐次选用不同质量的砝码，用秒表分别测量砝码从静止状态开始下落到达地面的时间。对每种质量的砝码，测量三次下落时间，取平均值。砝码质量从5g开始，每次增加5g，直到35g止。

数据记录如下：

用所测数据作图，从图中求出直线的斜率，从而计算转动惯量,得I=1.82648e^-3 kg*m^2。

4.测量半径与下落时间关系

测量的基本内容是：对同一质量的砝码，更换不同的塔轮半径，测量不同的下落时间。

将两个配重物选在横杆上固定位置，用固定质量砝码施力，逐次选用不同的塔轮半径，测砝码落地所用时间。对每一塔轮半径，测三次砝码落地之间，取其平均值。注意，在更换半径是要相应的调节滑轮高度，并使绕过滑轮的拉线与塔轮平面共面。

数据记录如下：

由测得的数据作图，从图上求出斜率，并计算转动惯量，得I=1.83519e^-3 kg*m^2。

实验结论

1. 观察刚体质量分布对转动惯量的影响

在砝码的质量和高度不变的情况下，随着重物离转轴的距离越来越近，下落的时间也越来越短。由I= mgr² t² /(2h)知，重物的转动惯量也I越来越小。由此可以得出结论：物体的转动惯量与质量分布有关，质量分布越集中，其转动惯量就越小。

2. 测量质量与下落时间关系

由m – 1/t²图的斜率求出重物的转动惯量为I=1.82648e^-3 kg*m^2。从图中可以看出，大部分点与直线比较吻合，只有第五，六个数据有点偏小。因为该实验是仿真实验，所以应该考虑进去了系统误差和随机误差。因此，这两点的偏差可能是由于砝码加重后，下落时间变短，导致计时产生的随机误差对其影响增大，即相对误差增大，造成了这两点的波动。另外可能是砝码加重后，导致下落的加速度a太大，破坏了a<<g的条件，造成系统误差。

3. 测量半径与下落时间关系

   由r – 1/t图的斜率求出重物的转动惯量为I=1.83519e^-3 kg*m^2。实验测得的数据虽然比较少，但它们几乎都落在同一条直线上，因此在一定程度上已经足以说明问题。该实验的主要误差仍然来自t，但每次实验前的调节平衡也在一定程度上增大了随机误差。

4. 综合分析

从原理上看，作m – 1/t²图法和作r – 1/t图法 本质上都是由公式I= mgr² t² /(2h)变形得到的，它们的主要误差来源都是t。但是 r – 1/t图法 降低了t的方次，因此在一定程度上减小了斜率K的相对误差。并且m – 1/t²图法中，随着m质量的增大，会导致系统误差增大。然而，r – 1/t图法 每次实验前的调节平衡操作又增大了随机误差，也导致实验过程变得有点繁琐。因此，实验原理，计算方法上分析，r – 1/t图法更优。但综合来看，这两个方法各有其优劣，都是求转动惯量I的不错方法。

思考题

1.      由实验数据所作的m-(1/t)2图中，如何解释在m轴上存在截距？

 答：该实验是仿真实验，实际中对实验有影响的因素应该都考虑进去了，由

 m(g - a)r - M_f = 2hI/rt²     

知，轴摩擦力力矩M_f将平衡一部分由砝码产生的张力的力矩。因此，即使静止了，仍有 mgr= M_f    ， 从而导致在m轴上存在截距。