数学物理方法总结

第一章  复变函数

复数的代数式:z=x+iy

复数的三角式和指数式:和

欧拉公式:{

柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{ (其中f(z)=u+iv)

函数f(z)=u+iv在点及其领域上处处可导,则称f(z)在点解析.在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数.

解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则 (为常数)是B上的两组正交曲线族.

               2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即

               

例题: 已知某解析函数f(z)的实部,求虚部和这个解析函数.

解答: 由于=2;=-2;则

曲线积分法=2x;=-2y.根据C-R条件有:=2y;=2x.

于是 ;

凑全微分显式法 由上式可知

则易得

则显然

      不定积分法上面已有 =2y;=2x

      则第一式对y积分,x视为参数,有 .

      上式对x求导有 ,而由C-R条件可知 ,

      从而 .故 v=2xy+C.

     

第二章  复变函数的积分

单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域上解析,则沿上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是的边界),有.

复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则

                   .式中l为区域外边界线,诸为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即

                   .

柯西公式

n次求导后的柯西公式

第三章  幂级数展开

幂级数

 

其中,,,,……都是复常数.

比值判别法(达朗贝尔判别法)

1.若有

则 收敛,

绝对收敛.

若极限存在,则可引入记号R,,于是,若,则

绝对收敛.

2.若,则后项与前项的模之比的极限

  ,即说明

  发散.

例题: 求幂级数的收敛圆,z为复变数.

解答: 由题意可得

     

      故  ().

泰勒级数展开设f(z)在以为圆心的圆内解析,则对圆内的任意z点,f(z)可展为幂级数,,其中

,

为圆内包含z且与同心的圆.

       例题: 在的领域上将展开

       解答: 函数的各阶导数,而.

            则在的领域上的泰勒展开

            .

       双边幂级数  

       洛朗级数展开设f(z)在环形区域的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数.其中

                    ,

积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.

       例题1: 在的环域上将展为洛朗级数.

       解答:

       例题2: 在的领域上将展为洛朗级数.

       解答: 由题意得

             则有z-1的-1次项,而

              ()

             故 .

第四章  留数定理

留数定理设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点,,……,解析,在闭区域上除,,……, 外连续,则

         .

         其中,.

推论1: 单极点的留数为.

推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在点解析,是Q(z)的一阶零点().,则

       .

       上式最后一步应用了罗毕达法则.

留数定理的应用

类型一.作自变量代换 .则式子变为

.

       例题: 计算 .

       解答: ,

             Z的单极点为.

             则,

             由于不在圆内.故 .

       类型二.积分区间是;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面及实轴上时,zf(z)一致地.则式子可以变为

              {f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.

       例题: 计算 .

       解答: 的单极点为.

             ,故.

       类型三,,积分区间是;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面或实轴上,F(z)及G(z)一致地.则式子可以变为

              ;

              .

       若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有

       .

       其中,在类型三中f(x)应理解为或.

第五章  Fourier变换

傅里叶级数周期为2l的函数f(x)可以展开为级数

           .

           其中,{, ={.

注: 积分上下限只要满足上-下=2l 即可.

复数形式的傅里叶级数

                     其中 .

傅里叶积分

傅里叶变换式{

复数形式的傅里叶积分 {

傅里叶变换的性质

(1)    导数定理 F[f’(x)]=iwF(w)

(2)    积分定理F[]=

(3)    相似性定理F[f(ax)]=

(4)    延迟定理F[]=

(5)    位移定理F[]=

(6)    卷积定理若F[]=,F[]=,则

             F[*]=.

             其中称为和的卷积.

函数

{.

{.

函数的一些性质

1. 是偶函数.

2. {.

3..

第六章  Laplace变换

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的一些性质

(1)    线性定理若,,则

             .

(2)    导数定理.

(3)    积分定理L[].

(4)    相似性定理.

(5)    位移定理.

(6)    延迟定理.

(7)    卷积定理若,,则

            ,

            其中称为和的卷积.

第七章  数学物理定解问题

(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为或或.

(2) 扩散方程,热传导方程的形式为或.

(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程).

(4) 以上方程中意为,意为.若以上各方程均为有源,则方程为各方程=f(x,y,z,t).

定解条件

初始条件初始”位移” ,

         初始”速度” .

边界条件第一类边界条件

         第二类边界条件

         第三类边界条件

衔接条件

         .(T为张力)

达朗贝尔公式定界问题

达朗贝尔公式.

             其中,.

第八章  分离变数法

泛定方程(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成).

在不同的边界条件下解不同.

边界条件

(1)    { , X(x)的解为 { 其中 n=1,2,3……

(2)    {, X(x)的解为 { 其中 k=0,1,2……

(3)    {, X(x)的解为 { 其中 k=0,1,2……

(4)    {, X(x)的解为 { 其中 n=0,1,2……

T(t)的方程在有n且n=0时的解为 ;

在时的解为

;

在有k的情况下为

.

初始条件将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.

欧拉型常微分方程. 解法为做代换.

第九章  二阶常微分方程级数解法本征值问题

拉普拉斯方程

(1)    球坐标系下.

分解为   其解为 .

和 (球方程,)

球方程又可以分离为  其中有 ,其方程解为 { 其中 m=0,1,2……

和  (连带勒让德方程).

(2)    柱坐标系下.分解为

 其中有 ,其方程解为

{ 其中 m=0,1,2……

和 和 .

当时,Z=C+Dz,{;

当时,,方程R转换为

(,m阶贝塞尔方程).

       当时,,方程R转换为

         (,m阶虚宗量贝塞尔方程).

       亥姆霍兹方程.

       在的领域上l阶勒让德方程的解为 其中

      

      

      

第十章  球函数

高次项的系数  (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为

,则 .则勒让德多项式为 .={.

……

勒让德多项式是正交的

例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=展开为广义傅里叶级数.

解答: =

                 =

      则有 , , , .

      故有=.

例题2: 在半径的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件.

解答: 边界条件与无关,故选择球坐标,则有

     .

     又有自然边界条件 故.则有

     .

     而,则

     .