数学物理方法

一、填空题

1、Г函数为：Г(x)=  ；又称为第二类欧拉积分的为：。

2、B函数（又称为第一类欧拉积分）为：；B函数与Г函数之间的重要关系为：

3、勒让德P_l(x)的母函数：（B卷）

4、贝塞尔J_n(x)的母函数：；其积分形式为：（B卷）

5、球阶函数：

6、

7、S—L方程表现形式：

8、复数

9、

10、复数

11、在可展开为洛朗级数：     

12、函数在z=0处的奇点类型为本性奇点，其留数为：  。

13、已知x为复数，则  0  。

14、函数的傅里叶变换为：    。

15、函数的傅里叶变换为：  。

16、数学物理方程定解问题的适定性是指解的 存在性 ， 唯一性 ， 稳定性 。

17、的模为，主辐角为： -1  。（B卷）

18、若解析函数的虚部且，则解析函数为  。

19、          0      　　      。

20、在的环域上，函数的洛朗级数展开为

21、。

22、 函数在的奇点类型为   可去奇点   ，其留数为 0 。

23、求解本性奇点留数的依据为     洛朗级数展开的负一次项系数 。

24、在这个周期上，。其傅里叶级数展开为

25、 当时，；当时，；当时，。则函数的傅里叶变换为

26、的拉普拉斯变换为。

27、 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为  。

28、。

29、复数，。

30、若解析函数的实部，则虚部 ，若，则实部为。

31、 已知，为任一回路，n为任一整数，α不在l上，则   2πi ( n = -1 且l包含α)或者0 (其它情况)　　。

32、 在的环域上，函数的洛朗级数展开为_  。

33、        0          。

34、 函数在的奇点类型为  本性奇点 ，其留数为    １    。

35、孤立奇点可分为三类，分别为   可去奇点、极点、本性奇点     。

36、的拉普拉斯变换为。

37、 一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为

。

二、判断题

（1）若函数   f(z )在z 点解析，则函数 f (z)  在z 点可导，反之亦然。    （×）

（2）若函数   f(z )在z 点解析，则函数 f (z)  在z 点可导。             （√）

（3）若函数在点可导，则函数在点必解析。                （×)（4）复通区域上的回路积分不一定为零。同样，单通区域上的回路 

积分也可以不为零。                                                （√） 

（5）设z 为复数，则  。                                 （×）

（6）设z为复数，则                                   （×）

（7）数学物理方程的定解条件可以不含边界条件但一定要有初始条件。                                                             （× ）

（8）设z^*为z的共轭复数，则。                                  （√ ）

（9）z为复数，。                                     （×）

（10）若函数f(z)在某区域上解析，则对该区域上的任一分段光滑曲线，都有?。                                                                     （×）

（11）是二阶线性齐次偏微分方程。      （×）

三、证明题

1、解析函数的实部和虚部都是调和函数，且其梯度向量相互正交。

2、用傅里叶变换方法解泊松方程

解：设真空中静电势满足

上述方程即     ①

令，并记，

对方程①进行傅里叶变换的

利用变换公式有，故由卷积定理得

3、用格林函数法解泊松方程（B卷）

解：其格林函数满足的方程为

采用球坐标，并将坐标原点放在源点上的距离，，则

当时，方程化为齐次的，即，则得，取，不失一般性，得

考虑的情况，则，

而

所以，即，所以

四、解答题

1、解析函数有几个基本的性质

解：①解析函数求积分为0（柯西定理）

②几何性质为保角变换

③实部和虚部都是调和函数

④

2、奇点分为几类？如何判别？ 

解：在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 

判别方法：洛朗级数展开法 

A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 

1）如果展开式中没有负幂项，则Zo为可去奇点； 

2）如果展开式中有无穷多负幂项，则Zo为本性奇点； 

3）如果展开式中只有有限项负幂项，则 为极点，如果负幂项的最高项为 ，则 为m阶奇点。

3、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？

解：数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。

4、写出δ(x）挑选性的表达式

解：δ函数   δ函数的性质，即挑选性的表达式为：

5、泰勒定理与洛朗定理

解：①泰勒定理：

设在区域内解析，则在该区域内任意一点z=b的领域（含于内），可展开为幂级数：称为泰勒级数。其中系数称为泰勒系数，且此展开是唯一的。

②洛朗定理

在环域内解析的函数必可展开成洛朗级数，其中称为洛朗展开系数，为圆周，且此展开是唯一的。

6、傅里叶变换公式

解：

7、Г函数与B函数

解：Г函数为：Г(x)=  ；又称为第二类欧拉积分的为：。

B函数（又称为第一类欧拉积分）为：。

8、三坐标下的拉普拉斯方程表示方式

解：①柱坐标下

②极坐标下

③球坐标下

9、格林两大公式

解：格林第一公式：

格林第二公式：

 

五、计算题

1、用留数定理计算

解：若n则由柯西定理有；

若，则为其奇点，于是

若，则，为其阶奇点，

于是

2、应用泰勒级数求积分正弦    

解：

或者等于

3、将在复平面中以z=0为中心进行洛朗展开。（B卷）

解：在复平面中仅有z=1和z=2两个奇点

（1）

（2）

（3）

4、利用傅里叶变换求无界杆的热传导问题

解：对上两式一x为变量分别进行傅里叶变换，并记

则有     

解得

由傅里叶逆变换得

而

（注：）

所以

5、利用格林函数法求二维泊松方程的基本解

6、在匀强电场E₀中，放一接地的导电球，球的半径等于a，求球外电场。（B卷）

7、将任意的二阶常微分方程

写成施—刘型方程（P311—P312）

六、论述题

1、施-刘本征值的特点

解：①如果存在一阶极点，则存在无限多本征值

②所有本征值λm0

③本征函数带权重正交归一

④本征函数族具有完备性

2、各种解数理方程的方法优缺点，适用条件

解：①行波法：用于解无边限条件的行波问题

②分离变量法：适用范围广，可解各种定解问题

③积分变换法：可以减少自变量的个数，简化运算

④格林函数法：以统一的方式处理各类数学物理方程，内容十分丰富，应用极其广泛

⑤变分法：求近似程度，满足要求的近似解，有重要的现实意义

附录：

一、用电像法求得的几个特殊区域的格林函数

二、欧拉方程公式（P223）

三、拉格朗日乘子法（P224）

四、

五、P54页的几个基本泰勒展开

六、 

 

第二篇：数学物理方法期末考试大题

一、拉普拉斯变换（8分）

1、求积分I?t??

二、齐次方程的分离变数法（15分）

1、 求解细杆导热问题，杆长l，b为常数，两端保持为零度，初始温度分布 ??0costx 22x?a

u|t?0?bx?l?x?2

2、 长为l的杆，一端固定，另一端受力F0而伸长，求解杆在放手后的振动。

3、 求解薄膜的恒定表面浓度扩散问题，薄膜厚度为l，杂质从两面进入薄膜。由于薄膜周

围气氛中含有充分的杂质，薄膜表面上的杂质浓度得以保持为恒定的N0，对于较大的t把所得答案简化。

4、 均匀的薄板占据区域0?x?a，0?y?b。边界上的温度

u|x?0?0，u|x?a?0，u|y?0?u0，limu?0

y??

求解板的稳定温度分布。

三、非齐次方程的分离变数法（15分）

1、 长为l的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力f0sin?2?x?cos?t，初始位移为??sin?????，初始速度为零，求解杆的纵振动。 2

2、 求解热传导问题

?ut?a2uxx?Asin?t??ux|x?0?0,u|x?l?0 ?u|??x???t?0

3、 两端固定弦在点x0受谐变力?f?t???f0sin?t作用而振动，求解振动情况。[提示：

外加力的线密度可表示为?f?x,t???f0sin?t??x?x0?]

4、 求解细杆导热问题。杆长l，初始温度均匀为u0，两端分别保持温度u1和u2。

四、球函数（12分）

1、一空心圆球区域，内半径为r1，外半径为r2，内球面上有恒定电势u0，外球面上电势保持为u1cos2?，u0、u1均为常数，试求内外球面之间空心圆球区域的电势分布。