一、
Mathematical methods for physics
二、 单项选择题(每小题2分)
1.齐次边界条件的本征函数是_______。
A) B)
C) D)
2.描述无源空间静电势满足的方程是________。
A) 波动方程 B)热传导方程
C) Poisson方程 D)Laplace方程
3.半径为R的圆形膜,边缘固定,其定解问题是
其解的形式为,下列哪一个结论是错误的______。
A)
B)圆形膜固有振动模式是和
C)是零阶Bessel函数的第m个零点。
D)满足方程
4.是下列哪一个方程的解_________。
A) B)
C) D)
5.根据整数阶Bessel函数的递推公式,下列结论哪一个是正确的________。
A) B)
C) D)
三、 填空题(每题3分)
1. 定解问题用本征函数发展开求解时,关于T(t)满足的方程是:
2. Legendre多项式的x的值域是______________________。
Bessel函数的x的值域是______________________。
3. 一圆柱体内的定解问题为
1)则定解问题关于ρ满足的方程是:_____________________________;
相应方程的解为___________________________;
2)关于z满足的方程是_______________________________________;
4. 计算积分
5. 计算积分
四、 (10分)长为的弦,两端固定,初始位移为,初始速度为4x,写出此物理问题的定解问题。
五、 (10分)定解问题,若要使边界条件齐次化,,求其辅助函数,并写出相应的定解问题
六、 (10分)利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
七、 (15分)用分离变量法求解定解问题
计算积分
八、 (15分)有一半径为R的薄圆盘,若圆盘的上下面绝热,圆盘边缘的温度分布为,试求圆盘上稳定的温度分布。
九、 (15分)设有一半径为R的球壳,其球壳的电位分布,写出球外的电位满足的定解问题,并求球外的电位分布
参考公式
(1) 柱坐标中Laplace算符的表达式
(2) Legendre多项式
(3) Legendre多项式的递推公式
(4) Legendre多项式的正交关系
(5) 整数阶Bessel函数
(6) Bessel函数的递推关系
数理方法概论试题及参考答案
一、简答题(每小题5分,共20分)
1. 写出高斯定理
2. 在斯托克斯定理
中, 是式中那个量的边界线?
3. 定解问题包含那两部分?
在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题.
4. 边界条件有那几类?
1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.
2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.
3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.
4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.
二、证明题(每小题20分,共40分)
1. 证明
证:
2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间上正交.
证明:设本征函数和分别满足勒让德方程
前一式乘以,后一式乘以,然后相减得
从到积分得
当时即有:
三、计算题(每小题20分,共40分)
1. 研究矩形波(见图1)
的频谱.
解:根据
及
这里可以求得:
当
当
因此得到该函数的展开式为:
需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有项而没有.如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有项而没有项.
2. 求
()
满足自然周期条件
[]
的解.
解:方程的系数在指定的展开中心,单值函数和是有限的,它们必然是有限的,它们必然在为解析的.因此,点是方程的常点.可设
从而
把以上的级数代入微分方程.至于都是只有常数项的泰勒级数,无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下
令上表各个幂次合并后的系数分别为零,得一系列方程
............... ...............
最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从项的系数可以推算出项的系数,因而叫做系数的递推公式.
按照递推公式具体进行系数的递推.
这样,我们得到方程的解
还需要确定这个级数的收敛半径.其实,上面两个[ ]正是和,其收敛半径为无穷大.于是
既然是任意常数,当然还是任意常数,将写成,写成,则有
这个常微分方程和它的解实际早已知道,这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件
则,.所以有解
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