数学物理方法期末考试试题典型汇总

一、      

Mathematical methods for physics  

二、     单项选择题(每小题2分)

1.齐次边界条件的本征函数是_______。

A)      B)

C)      D)

2.描述无源空间静电势满足的方程是________。

A) 波动方程           B)热传导方程

C) Poisson方程         D)Laplace方程

3.半径为R的圆形膜,边缘固定,其定解问题是

其解的形式为,下列哪一个结论是错误的______。

A)

B)圆形膜固有振动模式是

C)是零阶Bessel函数的第m个零点。

D)满足方程

4.是下列哪一个方程的解_________。

A)        B)

C)        D)

5.根据整数阶Bessel函数的递推公式,下列结论哪一个是正确的________。

A)        B)

C)        D)

三、     填空题(每题3分)

1. 定解问题用本征函数发展开求解时,关于T(t)满足的方程是:

2. Legendre多项式x的值域是______________________。

Bessel函数x的值域是______________________。

3. 一圆柱体内的定解问题为

1)则定解问题关于ρ满足的方程是:_____________________________;

相应方程的解为___________________________;

2)关于z满足的方程是_______________________________________;

4. 计算积分 

5. 计算积分

四、     (10分)长为的弦,两端固定,初始位移为,初始速度为4x,写出此物理问题的定解问题。

五、     (10分)定解问题,若要使边界条件齐次化,,求其辅助函数,并写出相应的定解问题

六、     (10分)利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题

七、     (15分)用分离变量法求解定解问题

计算积分

八、     (15分)有一半径为R的薄圆盘,若圆盘的上下面绝热,圆盘边缘的温度分布为,试求圆盘上稳定的温度分布

九、     (15分)设有一半径为R的球壳,其球壳的电位分布,写出球外的电位满足的定解问题,并求球外的电位分布

参考公式

(1)  柱坐标中Laplace算符的表达式

(2)  Legendre多项式

(3)  Legendre多项式的递推公式

(4)  Legendre多项式的正交关系

(5)  整数阶Bessel函数

(6)  Bessel函数的递推关系

 

第二篇:数学物理方法试题(卷)

数理方法概论试题及参考答案

一、简答题(每小题5分,共20分)

1. 写出高斯定理

2. 在斯托克斯定理

中, 是式中那个量的边界线?

3. 定解问题包含那两部分?

在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题.

4. 边界条件有那几类?

1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.

2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.

3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.

4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.

二、证明题(每小题20分,共40分)

1. 证明

证:

2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间上正交.

证明:设本征函数分别满足勒让德方程

前一式乘以,后一式乘以,然后相减得

积分得

时即有:                

三、计算题(每小题20分,共40分)

1. 研究矩形波(见图1)

的频谱.

解:根据

这里可以求得:

当                         

当                         

因此得到该函数的展开式为:

需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有项而没有.如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有项而没有项.

2. 求

           ()

满足自然周期条件

      []

的解.

解:方程的系数在指定的展开中心,单值函数是有限的,它们必然是有限的,它们必然在为解析的.因此,点是方程的常点.可设

从而

把以上的级数代入微分方程.至于都是只有常数项的泰勒级数,无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下

令上表各个幂次合并后的系数分别为零,得一系列方程

           

           

...............             ...............

最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从项的系数可以推算出项的系数,因而叫做系数的递推公式.

按照递推公式具体进行系数的递推.

这样,我们得到方程的解

还需要确定这个级数的收敛半径.其实,上面两个[ ]正是,其收敛半径为无穷大.于是

既然是任意常数,当然还是任意常数,将写成写成,则有

这个常微分方程和它的解实际早已知道,这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件

.所以有解

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