数学物理方程小结
第七章 数学物理定解问题
数学物理定解问题包含两个部分:数学物理方程(即泛定方程)和定解条件。
§7.1数学物理方程的导出
一般方法: 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。(在数学上为忽略高级小量.)第三 然后再把物理量u随时间,空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。
(一)三类典型的数学物理方程
(1)波动方程:
此方程 适用于各类波动问题。(特别是微小振动情况.)
(2)输运方程:
此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
(3)Laplace 方程:
稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。
§7.2定解条件
定解条件包含初始条件与边界条件。
(1) 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u(x,o)和初始速度ut(x,0)。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u(x,o),而Laplace 方程没有初始条件。
(2) 三类边界条件
第一类边界条件: u( r ,t)|Σ = f (1)
第二类边界条件: u n|Σ = f (2)
第三类边界条件: ( u+Hun)|Σ= f (3)
其中H为常数.
7.3 二阶线性偏微分方程分类
判别式
波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.
7.4 达朗贝尔公式
对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为
对半无界问题作延拓处理:
对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.
第八章 分离变量法
8.1 分离变量法
主要步骤:
1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.
?2.分离变量 u(x,t) =X(x) T(t) (1)
[以后对三维问题也是如此]
?3. 将(1)式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程, (称为本征方程) 而λ为本征值.
?4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)
?5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.
?6.再由初始条件确定系数.
一维波动方程在第一类齐次边界条件下的
一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:
一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:
一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:
对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.
8.2 非齐次边界条件的处理
常用方法有 1) 直线法 :
对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .
令 ,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次. ?只有当g,h为常数时,方程才不变.
2) 特解法
?把 u化为两部分,令 u=v+w 使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.
?例题 求解下列定解问题
? Utt-a2 Uxx = 0
? U|x=0 =0, U|x=L= ASinωt
? U|t=0 = 0 , Ut∣t=0 = 0
?( 其中A 、ω为常数, 0<x<L , 0< t )
?解:令 u=v+w ,使w满足波动方程与非齐次边界条件,
?得出
第九章 二阶常微分方程的级数解法
本征值问题
一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分 离变量结果.
1. 拉普拉斯方程在球坐标下的通解:
其中Y lm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.
在轴对称时(1)式退化为
2. 拉普拉斯方程在柱坐标下:
(5)式其解为m阶Bessel函数,
解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时,
μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.
3) 亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.
在球坐标下:
其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.
在柱坐标下: .
(5)式其解为m阶Bessel函数,
二、常微分方程的级数解法
1. 掌握常点邻域的级数解法.
2. 掌握正则奇点邻域的级数解法.
3.知道无穷级数退化为多项式的方法.
三. 知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质
?当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville方程共同性质为:
?1)当k(x),k’(x)和q(x)连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:
2)所有本征值λn≥0
3)对应于不同本征值的本征函数带权正交
4)本征函数族构成完备系
第十章 球函数
1. 轴对称的球函数
当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z轴这时物理量u就与φ无关,m=0.
此时球函数Y(θ,φ)就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl (cosθ)
1) 勒让德多项式
1. 勒让德多项式级数形式:
2. 勒让德多项式微分形式:
3.前几项为:
P0(x)= 1, P1(x) =x=cosθ,
?P2(x)=(3x2-1)/2, ….
?一般勒让德多项式的幂次取决L
?当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0.
?4.勒让德多项式正交关系 (3)
?5.勒让德多项式的模 (4)
6.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时. (5)
?7.在球坐标下Laplace方程: △u= 0的通解为:
轴对称
(6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0,
?u有限, (7)
?而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r→∞, 两个条件确定.
8. 母函数
(8)
9. 递推公式
二.连带勒让德函数
?在一般情况下,物理量u与φ有关,故球函数Y是连带勒让德函数与周期函数的乘积.
1. 连带勒让德函数
(1)
2.连带勒让德函数的微分表示
(2)
从(2)可得当L一定时,m的取值为 m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y(θ,φ)中,cosmφ,sinmφ为不同态,共有2L+1个态.
3.正交关系
4. 球函数Y的两种表示形式.
第十一章 柱函数
一、 掌握三类柱函数的基本性质
一般我们称Bessel函数Jm(x)为第一类柱函数.
而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数 .
1)对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.
称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数
2) x®0和x®¥时的行为
3) 递推公式
4) 贝塞尔函数的零点
对m阶贝塞尔方程
对第一类齐次边界条件
得出第n个零点
对第二类齐次边界条件
二.贝塞尔函数的正交关系
.
? 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间
? [0,ρ0]上带权重ρ正交.
?
?
? 2)广义傅里叶- 贝塞尔级数
?
? 3)Laplace在柱坐标下的通解
? 轴对称m=0,柱内解为
? 在侧面为第一类齐次边界条件时
?
? 其中系数An,Bn由上下底边界条件确定.
? 在上下底为齐次边界条件时, μ£ 0,R的解为虚宗量贝塞尔函数.记为Im(x)
? 同样可得Laplace方程在柱内解
? 当轴对称时m=0
? 上下底满足第一类齐次边界条件时解为
?
? 输运方程与波动方程在柱坐标下的解
? 1) 解的形式: u(r,t)=T(t)v(r)
? V满足亥姆霍兹方程.
在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件.
在轴对称情况下m=0
对输运方程柱内的解:
上下底满足第一类齐次边界条件
波动方程在柱内的解:
? 在上下底满足第一类齐次边界条件下
?
? 二维极坐标下的解:
? 侧面满足第一类齐次边界条件
? (3)
? 侧面满足第二类齐次边界条件
?
? 第十二章 积分变换法
? 一、傅里叶变换法
? 1。掌握傅里叶变换法的适用条件,即方程中的一个变量是在 (-∞,∞)范围内时,可用Fourier 变换法.
? 2。能用傅里叶变换法求解一些筒单的偏微分方程。
? 二、Laplace变换法
? 1。掌握Laplace变换法的适用条件,即方程有初值情况,且一个变量 的变化范围在 (0, ∞)
? 2。能用Laplace变换法求解一些筒单的偏微分方程。
? 第十三章 格林函数法
? 1。知道格林函数的定义及物理意义
? 2。知道泊松方程解的积分形式
? 3。能用电像法求解泊松方程的格林函数。
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