数学物理方程小结

                          数学物理方程小结

              第七章  数学物理定解问题

数学物理定解问题包含两个部分:数学物理方程(即泛定方程)和定解条件。

 §7.1数学物理方程的导出

一般方法: 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。(在数学上为忽略高级小量.)第三 然后再把物理量u随时间,空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。

(一)三类典型的数学物理方程

(1)波动方程:      

 此方程 适用于各类波动问题。(特别是微小振动情况.)

(2)输运方程:      

此方程 适用于热传导问题、扩散问题。

(3)Laplace 方程:    

稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。

§7.2定解条件

定解条件包含初始条件与边界条件。

(1)       初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u(x,o)和初始速度ut(x,0)。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u(x,o),而Laplace 方程没有初始条件。

(2)       三类边界条件

第一类边界条件: u( r ,t)|Σ = f         (1)

第二类边界条件: u n|Σ = f            (2)

第三类边界条件: ( u+Hun)|Σ= f        (3)

 其中H为常数.

7.3            二阶线性偏微分方程分类

  判别式

波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.

7.4 达朗贝尔公式

对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为

对半无界问题作延拓处理:

对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.

第八章            分离变量法

8.1            分离变量法

  主要步骤: 

1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.

?2.分离变量 u(x,t) =X(x) T(t) (1)                   

[以后对三维问题也是如此]

?3. 将(1)式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程, (称为本征方程) 而λ为本征值.

?4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)

?5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.

?6.再由初始条件确定系数.

一维波动方程在第一类齐次边界条件下的

一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:

 

一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:


一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:

  对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.

8.2  非齐次边界条件的处理

  常用方法有 1) 线法 :

对边界条件为:  u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .

令     ,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次. ?只有当g,h为常数时,方程才不变.

2) 特解法

? u化为两部分, u=v+w 使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.

?例题      求解下列定解问题

?           Utta2 Uxx  = 0                                                                           

?           U|x=0  =0,  U|x=L= ASinωt

?           U|t=0  = 0 ,  Utt=0 =  0

?( 其中A 、ω为常数,   0xL , 0 t

?解:令 u=v+w ,使w满足波动方程与非齐次边界条件,

?得出   

   

第九章  二阶常微分方程的级数解法
              本征值问题

  

一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分   离变量结果.

1.     拉普拉斯方程在球坐标下的通解:

其中Y   lm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.

在轴对称时(1)式退化为

2.     拉普拉斯方程在柱坐标下:

(5)式其解为m阶Bessel函数,

解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时,

μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.

3)          亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.

在球坐标下:

其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.

在柱坐标下: .

(5)式其解为m阶Bessel函数,

二、常微分方程的级数解法

1. 掌握常点邻域的级数解法.

2. 掌握正则奇点邻域的级数解法.

       3.知道无穷级数退化为多项式的方法.

三. 知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质

?当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville方程共同性质为:

?1)当k(x),k’(x)和q(x)连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:

2)所有本征值λn≥0

3)对应于不同本征值的本征函数带权正交

4)本征函数族构成完备系

第十章      球函数

1.    轴对称的球函数

当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z轴这时物理量u就与φ无关,m=0.

此时球函数Y(θ,φ)就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl (cosθ)

1)   勒让德多项式

1. 勒让德多项式级数形式:

2. 勒让德多项式微分形式:

3.前几项为:

P0(x)= 1, P1(x) =x=cosθ,

?P2(x)=(3x2-1)/2,  ….

?一般勒让德多项式的幂次取决L

?当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0.

?4.勒让德多项式正交关系     (3)                     

?5.勒让德多项式的模                (4)

6.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.                  (5)

?7.在球坐标下Laplace方程:  △u= 0的通解为:

        

轴对称                 

(6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0,

?u有限,     (7)

?而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r→∞,   两个条件确定.

8. 母函数

          (8)

9. 递推公式

二.连带勒让德函数

?在一般情况下,物理量u与φ有关,故球函数Y是连带勒让德函数与周期函数的乘积.

1. 连带勒让德函数

    (1)

2.连带勒让德函数的微分表示

   (2)

从(2)可得当L一定时,m的取值为   m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y(θ,φ)中,cosmφ,sinmφ为不同态,共有2L+1个态.

3.正交关系

4. 球函数Y的两种表示形式.

        第十一章   柱函数

一、    掌握三类柱函数的基本性质

一般我们称Bessel函数Jm(x)为第一类柱函数.

而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数 .

1)对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.

称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数

2)    x®0和x®¥时的行为

3)    递推公式

4)          贝塞尔函数的零点

对m阶贝塞尔方程

          

        

对第一类齐次边界条件 

得出第n个零点

对第二类齐次边界条件

二.贝塞尔函数的正交关系

.

?   对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间

?   [0,ρ0]上带权重ρ正交.

?  

?    

?   2)广义傅里叶- 贝塞尔级数

?  

?   3)Laplace在柱坐标下的通解

?   轴对称m=0,柱内解为

?   在侧面为第一类齐次边界条件时

?  

?   其中系数An,Bn由上下底边界条件确定.

?   在上下底为齐次边界条件时, μ£ 0,R的解为虚宗量贝塞尔函数.记为Im(x)

?   同样可得Laplace方程在柱内解

?   当轴对称时m=0

?   上下底满足第一类齐次边界条件时解为

?  

?   输运方程与波动方程在柱坐标下的解

?    1) 解的形式:    u(r,t)=T(t)v(r)

?   V满足亥姆霍兹方程.

在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件.

  在轴对称情况下m=0

对输运方程柱内的解:

上下底满足第一类齐次边界条件

波动方程在柱内的解:

?   在上下底满足第一类齐次边界条件下

?  

?   二维极坐标下的解:

?   侧面满足第一类齐次边界条件

?     (3)

?   侧面满足第二类齐次边界条件

?  

?     第十二章   积分变换法

?   一、傅里叶变换法

?   1。掌握傅里叶变换法的适用条件,即方程中的一个变量是在   (-∞,∞)范围内时,可用Fourier 变换法.

?   2。能用傅里叶变换法求解一些筒单的偏微分方程。

?   二、Laplace变换法

?   1。掌握Laplace变换法的适用条件,即方程有初值情况,且一个变量 的变化范围在 (0, ∞)

?   2。能用Laplace变换法求解一些筒单的偏微分方程。

?      第十三章  格林函数法

?   1。知道格林函数的定义及物理意义

?   2。知道泊松方程解的积分形式

?   3。能用电像法求解泊松方程的格林函数。

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