一、单项选择题(每小题2分)
1. 齐次边界条件的本征函数是_______。
A) B)
C) D)
2. 描述无源空间静电势满足的方程是________。
A) 波动方程 B)热传导方程
C) Poisson方程 D)Laplace方程
3. 半径为R的圆形膜,边缘固定,其定解问题是
其解的形式为,下列哪一个结论是错误的______。
A)
B)圆形膜固有振动模式是和
C)是零阶Bessel函数的第m个零点。
D)满足方程
4. 是下列哪一个方程的解_________。
A) B)
C) D)
5. 根据整数阶Bessel函数的递推公式,下列结论哪一个是正确的________。
A) B)
C) D)
二、填空题(每题3分)
1. 定解问题用本征函数发展开求解时,关于T(t)满足的方程是:
2. Legendre多项式的x的值域是______________________。
Bessel函数的x的值域是______________________。
3. 一圆柱体内的定解问题为
1)则定解问题关于ρ满足的方程是:_____________________________;
相应方程的解为___________________________;
2)关于z满足的方程是_______________________________________;
4. 计算积分
5. 计算积分
三、(10分)长为的弦,两端固定,初始位移为,初始速度为4x,写出此物理问题的定解问题。
四、(10分)定解问题,若要使边界条件齐次化,,求其辅助函数,并写出相应的定解问题
五、(10分)利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
六、(15分)用分离变量法求解定解问题
计算积分
七、(15分)有一半径为R的薄圆盘,若圆盘的上下面绝热,圆盘边缘的温度分布为,试求圆盘上稳定的温度分布。
八、(15分)设有一半径为R的球壳,其球壳的电位分布,写出球外的电位满足的定解问题,并求球外的电位分布
参考公式
(1) 柱坐标中Laplace算符的表达式
(2) Legendre多项式
(3) Legendre多项式的递推公式
(4) Legendre多项式的正交关系
(5) 整数阶Bessel函数
(6) Bessel函数的递推关系
王瑞平:数学物理方法-第二章 第2节
§2-2 解析函数积分性质1——柯西积分定理
在上一章讲述了解析函数的微分性质:C-R条件,实虚部满足调和性等。本节讲述解析函数的积分性质。它们通过柯西积分定理和柯西积分公式反映出来。
柯西定理是关于解析函数在复平面上环路积分的定理。首先 区域的划分:
1、单连通区域:在其中任何一个简单的闭合围线所包围的区域点,都属于该区域。即该区域不存在奇异点,在整个区域上,f(z)为解析函数。
2、复连通区域:区域中存在函数奇异的点或区域的情况。有有限点、线甚至区域不属于。
首先规定积分方向:我们规定沿积分路线正方向为环路积分路线是逆时针时的方向。 这种规定实际指区域是所谓凸区域,它指区域任两点:z1,z2满足连线z1+(1-λ)z2∈B(λ< 1)。无论它对单连通区域;还是复连通区域中去掉的内区域。
一、单连同区域柯西定理:
定理3(单连通区域柯西定理):单连通区域中,解析函数f(z)对任何分段光滑的闭合环路c的积分为0:
f(z)dz=0 [1] c
证明: 由路积分的实数形式:
∫f(z)dz=∫(u(x,y)dx?v(x,y)dy)+i∫(v(x,y)dx+u(x,y)dy) ⑴ lll
f(z)为的解析函数,可微。由二元实变函数Green公式:
??Q?P?Pdx+Qdy=c∫∫Σ???x??y??dxdy ⑵ ??
Σ为c所包围面积。
1
王瑞平:数学物理方法-第二章 第2节
??v?u???u?v????f(z)dz=?+dxdy+i??dxdy=0 ⑶ c∫∫Σ?∫∫???Σ??x?y???x?y?
最后一步利用解析函数的C-R条件。
#
定理3等价表述:在单连通闭区域上,解析函数积分只与起
终点有关,而与路径无关: (L1)∫f(z)dz=(L2)∫f(z)dz [2] P1P1P2P2
证明:加上一个过l1,l2构成的环路积分:
(l1)∫P2
P1=(l1)∫P2P1+[(l2)∫
P1
P2P2P1+(l2)∫P2P1cP1P2]P2P1 =[(l1)∫P2P1+(l2)∫]+(l2)∫=+(l2)∫
=(l2)∫P2
P1
#
二、复连通区域柯西定理
定理4(复连通区域柯西定理):f(z)在复连通区域解析,则: f(z)dz=∑ci=1ncif(z)dz [3]
式中c为区域外境界线环路;ci为内境界线环路;n为包含的非解析区域(内孔)的个数。所有积分沿正方向。
证明:
设区域中有一个“内孔”,此时n=1。则以内孔切割两个区域,由定理3:
又在割线上: 'l1+'=0 ⑴ l2
DC=?CD;BA=?AB ⑵
既有:
c+?=0;?=c1cc1 ⑶
又设n=k-1
时正确:
2
王瑞平:数学物理方法-第二章 第2节
f(z)dz=∑ci=1k?1cif(z)dz ⑷
则当n=k时:不失一般性,设最后一个孔在外侧,则以这个孔分割:
'l1+'lk=0 ⑸
前者为含k-1个孔的区域积分,由⑷式和⑵式,既有:
f(z)dz=∑ci=1kcif(z)dz ⑹
成立。由于内孔个数有限,等式成立。
#
利用Cauchy定理,可以简化解析函数积分。例如对函数:
f(z)=111=? z(z?1)z?1z
z=0,1为奇点。当环路积分不包含奇点时,积分为0;当环路包含一个奇点,只需考虑包含这个奇点的小环路积分;当全部包含两个奇点时,考虑这两个奇点的环路积分就可以了。 例题:计算回路积分:
I=(z?α)ndz (n∈Z) l
解:设B为回路l所包围的区域。
(1)α?时:解析,由柯西定理1:
I=0 [1]
(2)α∈时:做绕α一小圆c,令:z-α=Re。有柯西定理2: iφ
I==(z?α)ndz=(Reiφ)nd(α+Reiφ)lcc
=∫ReiRedφ=iR02πninφiφn+1∫ei(n+1)φdφ
当n≠-1时:
Rn+1
i(n+1)φ I=en+1
当n=-1时: 2π0=0 [2]
I=i∫dφ=i2π [3] 02π
3
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总结上述积分:
1
i2π?1dz=lz?α??0(α∈B) (α?B)
1n(z?α)dz=0li2π(n≠?1)
当n≠-1时,(z-α)n的原函数为F(z)= ( z-α)n+1/(n+1),它是单值解析函数;
当n=-1时,(z-α)-1的原函数为F(z)=ln(z-α),逆时针绕α一周,辐角改变量为2π。
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