数学物理方法期末考试试题-20xx

一、单项选择题(每小题2分)

1.  齐次边界条件的本征函数是_______。

A)      B)

C)      D)

2.  描述无源空间静电势满足的方程是________。

A) 波动方程           B)热传导方程

C) Poisson方程         D)Laplace方程

3.  半径为R的圆形膜,边缘固定,其定解问题是

其解的形式为,下列哪一个结论是错误的______。

A)

B)圆形膜固有振动模式是

C)是零阶Bessel函数的第m个零点。

D)满足方程

4.  是下列哪一个方程的解_________。

A)        B)

C)        D)

5.  根据整数阶Bessel函数的递推公式,下列结论哪一个是正确的________。

A)        B)

C)        D)

二、填空题(每题3分)

1.  定解问题用本征函数发展开求解时,关于T(t)满足的方程是:

2.  Legendre多项式x的值域是______________________。

Bessel函数x的值域是______________________。

3.  一圆柱体内的定解问题为

1)则定解问题关于ρ满足的方程是:_____________________________;

相应方程的解为___________________________;

2)关于z满足的方程是_______________________________________;

4.  计算积分 

5.  计算积分

三、(10分)长为的弦,两端固定,初始位移为,初始速度为4x,写出此物理问题的定解问题。

四、(10分)定解问题,若要使边界条件齐次化,,求其辅助函数,并写出相应的定解问题

五、(10分)利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题

六、(15分)用分离变量法求解定解问题

计算积分

七、(15分)有一半径为R的薄圆盘,若圆盘的上下面绝热,圆盘边缘的温度分布为,试求圆盘上稳定的温度分布

八、(15分)设有一半径为R的球壳,其球壳的电位分布,写出球外的电位满足的定解问题,并求球外的电位分布

参考公式

(1)       柱坐标中Laplace算符的表达式

(2)       Legendre多项式

(3)       Legendre多项式的递推公式

(4)       Legendre多项式的正交关系

(5)       整数阶Bessel函数

(6)       Bessel函数的递推关系

 

第二篇:数学物理方法§02-2-06

王瑞平:数学物理方法-第二章 第2节

§2-2 解析函数积分性质1——柯西积分定理

在上一章讲述了解析函数的微分性质:C-R条件,实虚部满足调和性等。本节讲述解析函数的积分性质。它们通过柯西积分定理和柯西积分公式反映出来。

柯西定理是关于解析函数在复平面上环路积分的定理。首先 区域的划分:

1、单连通区域:在其中任何一个简单的闭合围线所包围的区域点,都属于该区域。即该区域不存在奇异点,在整个区域上,f(z)为解析函数。

2、复连通区域:区域中存在函数奇异的点或区域的情况。有有限点、线甚至区域不属于。

首先规定积分方向:我们规定沿积分路线正方向为环路积分路线是逆时针时的方向。 这种规定实际指区域是所谓凸区域,它指区域任两点:z1,z2满足连线z1+(1-λ)z2∈B(λ< 1)。无论它对单连通区域;还是复连通区域中去掉的内区域。

一、单连同区域柯西定理:

定理3(单连通区域柯西定理):单连通区域中,解析函数f(z)对任何分段光滑的闭合环路c的积分为0:

f(z)dz=0 [1] c

证明: 由路积分的实数形式:

∫f(z)dz=∫(u(x,y)dx?v(x,y)dy)+i∫(v(x,y)dx+u(x,y)dy) ⑴ lll

f(z)为的解析函数,可微。由二元实变函数Green公式:

??Q?P?Pdx+Qdy=c∫∫Σ???x??y??dxdy ⑵ ??

Σ为c所包围面积。

1

王瑞平:数学物理方法-第二章 第2节

??v?u???u?v????f(z)dz=?+dxdy+i??dxdy=0 ⑶ c∫∫Σ?∫∫???Σ??x?y???x?y?

最后一步利用解析函数的C-R条件。

#

定理3等价表述:在单连通闭区域上,解析函数积分只与起

终点有关,而与路径无关: (L1)∫f(z)dz=(L2)∫f(z)dz [2] P1P1P2P2

证明:加上一个过l1,l2构成的环路积分:

(l1)∫P2

P1=(l1)∫P2P1+[(l2)∫

P1

P2P2P1+(l2)∫P2P1cP1P2]P2P1 =[(l1)∫P2P1+(l2)∫]+(l2)∫=+(l2)∫

=(l2)∫P2

P1

#

二、复连通区域柯西定理

定理4(复连通区域柯西定理):f(z)在复连通区域解析,则: f(z)dz=∑ci=1ncif(z)dz [3]

式中c为区域外境界线环路;ci为内境界线环路;n为包含的非解析区域(内孔)的个数。所有积分沿正方向。

证明:

设区域中有一个“内孔”,此时n=1。则以内孔切割两个区域,由定理3:

又在割线上: 'l1+'=0 ⑴ l2

DC=?CD;BA=?AB ⑵

既有:

c+?=0;?=c1cc1 ⑶

又设n=k-1

数学物理方法02206

时正确:

数学物理方法02206

2

王瑞平:数学物理方法-第二章 第2节

f(z)dz=∑ci=1k?1cif(z)dz ⑷

则当n=k时:不失一般性,设最后一个孔在外侧,则以这个孔分割:

'l1+'lk=0 ⑸

前者为含k-1个孔的区域积分,由⑷式和⑵式,既有:

f(z)dz=∑ci=1kcif(z)dz ⑹

成立。由于内孔个数有限,等式成立。

#

利用Cauchy定理,可以简化解析函数积分。例如对函数:

f(z)=111=? z(z?1)z?1z

z=0,1为奇点。当环路积分不包含奇点时,积分为0;当环路包含一个奇点,只需考虑包含这个奇点的小环路积分;当全部包含两个奇点时,考虑这两个奇点的环路积分就可以了。 例题:计算回路积分:

I=(z?α)ndz (n∈Z) l

解:设B为回路l所包围的区域。

(1)α?时:解析,由柯西定理1:

I=0 [1]

(2)α∈时:做绕α一小圆c,令:z-α=Re。有柯西定理2: iφ

I==(z?α)ndz=(Reiφ)nd(α+Reiφ)lcc

=∫ReiRedφ=iR02πninφiφn+1∫ei(n+1)φdφ

当n≠-1时:

Rn+1

i(n+1)φ I=en+1

当n=-1时: 2π0=0 [2]

I=i∫dφ=i2π [3] 02π

3

王瑞平:数学物理方法-第二章 第2节

总结上述积分:

1

i2π?1dz=lz?α??0(α∈B) (α?B)

1n(z?α)dz=0li2π(n≠?1)

当n≠-1时,(z-α)n的原函数为F(z)= ( z-α)n+1/(n+1),它是单值解析函数;

当n=-1时,(z-α)-1的原函数为F(z)=ln(z-α),逆时针绕α一周,辐角改变量为2π。

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