数学物理方法教学大纲

课程名称： 数学物理方法

英文名称： Methods of Mathematical Physics

学分/学时： 5/80

先修课程： 高等数学，线性代数，常微分方程，普通物理

一、课程教学目标

本课程是为物理专业与核物理专业所开设的重要专业基础课，也可供电子信息、自动化等专业参考。本课程定位于高等数学和普通物理的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继的专业基础课程和专业课程的学习以及研究有关的数学物理问题做准备。本课程也是今后继续学习近代物理知识的必要基础，为工作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。通过本课程的学习，不仅可以使学生学习到有关的基础知识、基本方法和基本技巧，而且引导学生通过对具体物理过程的具体分析，抓住主要因素，建立数学模型，求解、分析问题，以达到对物理过程的深入了解，同时从纯数学的学习转到将数学物理紧密结合、将数学应用于实际物理问题。本课程教学活动的着力点在于培养学生的理论思维能力，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容及参考学时

1.复数与复变函数（2学时）

复数、复数运算与表示，无穷远点，复变函数，复变函数的极限、连续性。

2. 解析函数（4学时）

复变函数的导数及运算，解析函数，初等函数，多值函数*。

3. 复变积分（4学时）

复数函数的积分，单连通区域的科希定理，复连通区域的科希定理，科希积分公式，高阶导数的积分表达式。

4.无穷级数（2学时）

复数级数，复函数级数，幂级数。

5.解析函数的局域性展开（6学时）

解析函数的泰勒展开，泰勒级数求法举例，解析函数的罗朗展开，罗朗级数求法举例，单值

。函数的孤立奇点，解析延拓*

6. 二阶线性常微分方程的级数解法（4学时）

二阶线性常微分方程的常点与奇点，方程常点邻域的级数解法，Legendre方程的解，方程正则奇点邻域内的级数解法，Bessel方程的解。

7.留数定理及其应用（4学时）

留数定理，有理三角函数的积分，无穷积分，含三角函数的积分，实轴上有奇点的积分，多值函数的回路积分。

8.Γ函数与δ函数 (2学时)

Γ函数的定义与基本性质，Ψ函数，B函数，δ函数

9. Fourier变换与Laplace变换(4学时)

Fourier变换，Fourier变换的基本性质，Fourier变换的反演，δ函数的Fourier积分表示；Laplace变换，Laplace变换的基本性质，Laplace变换的反演，普遍反演公式。

10. 数学物理方程和定解问题 (4学时)

泛定方程、定解条件、定解问题，弦的微小横振动方程，细杆的纵振动方程，热传导方程，

稳定场问题，定解问题的适定性

11. 线性偏微分方程的通解 (2学时)

线性偏微分方程解的叠加性，常系数线性偏微分方程的通解，波动方程解的行波解（达朗贝尔公式）。

12. 分离变量法（6学时）

齐次波动方程的分离变量法，齐次输运方程的分离变量法，矩形区域的稳定场问题，非齐次方程的求解，非齐次边界条件的齐次化，圆形区域的稳定场问题。

13. 正交曲面坐标系（2学时）

正交曲面坐标系，正交曲面坐标系中的Laplace算符，Helmholtz方程在球坐标系下的分离变量，Helmholtz方程在柱坐标系下的分离变量。

14. 球函数（6学时）

Legendre多项式、Legendre多项式的微分表示式与模、Legendre多项式的正交完备性，Legendre多项式的生成函数与递推关系，连带Legendre函数，球面调和函数。

15. 柱函数（4学时）

Bessel方程的本征值问题，Bessel函数，Neumann函数，含Bessel函数的积分，虚宗量Bessel函数，半奇数阶Bessel函 数，球Bessel函数。

16. Sturm-Liouville型本征问题（2学时）

Sturm-Liouville 型方程的本征值问题，分离变量法总结。

17. 积分变换法（2学时）

Laplace变换法，Fourier变换法，小波变换的基本思想*。

18. Green方法（4学时）

Green函数的概念，稳定问题Green函数的一般性质，三维无界空间Helmholtz方程的Green函数，园内Poission方程第一边值问题的Green函数。

19. 变分法初步（4学时）

变分法的基本概念，泛函的极值，用变分法解数学物理定解问题。

20. 数字化模拟与演示（6学时）

数字化模拟在复变函数中的应用，数学物理方程的数字模拟求解，特殊函数的模拟演示。

三、教学安排及方式

课堂教学为主，讨论和计算机实验为辅。辅导以答疑、组织学生讨论和习题课为主要形式，同时指导学生适当地阅读课外参考文献，撰写学期论文。

四、成绩考核

平时考核包括作业、讨论等, 期中进行闭卷测试，课程修完后举行闭卷书面考试。

五、参考教材

吴崇试，《数学物理方法》，第二版，北京大学出版社，2003

梁昆淼，《数学物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998

郭敦仁，《数学物理方法》，第二版，人民教育出版社，1991

胡嗣柱、倪光炯，《数学物理方法》，复旦大学出版社，1989

A．H．古洪诺夫等，《数学物理方法》，人民教育出版社，19xx年新版

四川大学数学系，《高等数学》，第四册，人民教育出版社，1979

说明：

对于本大纲所列内容与学时分配建议，任课教师可以根据实际教学情况适当调整；建议结合讲授内容和进度安排3次习题课。

 

第二篇：《数学物理方法A》教学大纲

《数学物理方法A》教学大纲

（Methods of Mathematical Physics ）

一. 课程编号：040422

二. 课程类型：必修课

学时/学分：48学时/3学分

适用专业： 通信与信息类强化班

先修课程：高等数学，线性代数，普通物理

三. 课程的性质与任务：

数学物理方法是我校通信与信息类强化班的一门必修课程。通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数和数学物理方程的基本理论与方法，培养学生的理论思维能力和分析问题、解决问题的能力。为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

四、教学的主要内容及学时分配

（一）教学的主要内容

复变函数部分：

1.复数与复变函数 复数及其代数运算，复数的几何表示，复数的乘幂与方根，复平面上的点集，复变函数的概念，复变函数的极限和连续性

2.解析函数 解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数

3.复变函数的积分 复变函数积分的概念、存在条件、性质与计算方法，Cauchy基本定理及其推广-复合闭路定理，Cauchy积分公式、解析函数的高阶导数，解析函数与调和函数的关系

4. 级数 复数项级数、幂级数，Taylor级数，Laurent级数

5.留数 孤立奇点及其分类、函数的零点与极点的关系，留数的定义、留数定理、留数的计算规则，留数在定积分计算上的应用

数学物理方程部分：

1、典型方程和定解条件

1）三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的提出；

2）偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。

2、分离变量法（驻波法）

1）分离变量法的基本步骤；

2）非齐次方程齐次边界条件的固有函数法；

3）非齐次边界条件的处理；

4）施特姆-刘维尔方程的固有值问题简介。

3、达郎贝尔法（行波法）

1）一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；

2）非齐次波动方程的齐次化原理。

4、积分变换法

1）傅立叶积分变换的概念及基本性质；

2）应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；

3）拉普拉斯变换的概念和基本性质；

4）拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。

5、特殊函数及其在分离变量法中的应用

1）贝塞尔方程的幂级数解法；

2）贝塞尔函数的递推公式、零点、模值，按贝塞尔函数系展开函数；

3）贝塞尔函数应用举例；

4）勒让德方程的解法；

5）勒让德多项式的形式及傅立叶-勒让德级数；

6）勒让德多项式应用举例。

（二）学时分配（共48学时）

五. 教学基本要求

复变函数部分：

1. 熟练掌握复变函数的各种表示方法及其运算，复变函数的概念，复变函数的极限、连续的概念。

2. 掌握复变函数导数、复变函数解析的概念，熟悉复变函数解析的充要条件，了解调和函数与解析函数的关系，掌握从解析函数的实（虚）部求其虚（实）部的方法，了解初等解析函数（指数函数、三角函数、对数函数、幂函数）的定义及主要性质。

3. 掌握复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分，理解Cauchy积分原理，掌握Cauchy积分公式与高阶导数公式，知道解析函数无限次可导的性质。

4. 理解复变项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法，知道幂级数在收敛圆内的一些基本性质，了解Taylor定理，掌握,、、的Maclaurin展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数，了解Laurent定理及孤立奇点的分类，掌握将简单的函数在其孤立奇点附近展开为Laurent级数的间接方法。

5. 理解留数的概念，掌握留数的一些求法，理解留数定理，掌握用留数求围道积分的方法，会用留数求一些实积分。

数学物理方程部分：

1、了解下列基本概念：

1）三类典型方程的建立及其定解问题（初值问题、边值问题和混合问题）的提法，定解条件的物理意义。

2）偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。

3）施特姆-刘维尔固有值理论要点（固有值的存在与分布，固有函数系的正交性，函数按固有函数系展开）。

2、掌握下列基本解法

1）会用分离变量法（驻波法）解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题；会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题；

2）会用行波法（达郎贝尔法）解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义；了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用；

3）会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题；

4）了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用；

3、了解下列特殊函数的基本性质及其应用

1）贝塞尔（Bessel）方程的幂级数解法及整数阶贝塞尔函数的一些性质（递推公式、零点、模值、正交性）。傅立叶-贝塞尔展开式； 2）会用贝塞尔函数解有关的定值问题；

3）勒让德（Legendre）方程的幂级数解法及勒让德多项式的一些性质（递推公式、正交性）。傅立叶-勒让德展开式。

六. 课程内容的重点和难点

重点：留数定理，分离变量法，拉普拉斯变换，付里叶积分变换

难点：罗朗级数，无穷远点的留数，高维波动方程，贝塞尔函数与勒让德多项式及其应用。

七. 作业、辅导与考试

作业与辅导：作业次数或作业量：每学期约布置20—24次作业，每次平均4题左右。每周一次课外辅导。

考核方法：平时考核占总成绩30%，期末考试占70%。

八．教材与参考书

教材：

1. 西安交通大学高等数学教研室.《复变函数》（第四版）.高等教育出版社，1996.

2. 胡学刚等.数学物理方法.机械工业出版社，1997.

参考书目：

1.钟玉泉. 复变函数论（第二版）. 高等教育出版社，1988.

2. 梁昆淼.  数学物理方法（第三版）. 高等教育出版社，1998.

3.郭敦仁等. 数学物理方法（第三版）.  高等教育出版社，1995.

4. 谷超豪、李大潜等. 数学物理方程（第二版）. 高等教育出版社，2002.

5. 姜礼尚等. 数学物理方程讲义（第二版）. 高等教育出版社，1996.

6. 陈恕行等. 数学物理方程.复旦大学出版社，2003.

7. 四川大学编著. 高等数学(IV)（第二版）. 高等教育出版社，1985.

8. 吴方同编著.数学物理方程.武汉大学出版社，2001.

9. 王元明. 工程数学：数学物理方程与特殊函数（第三版）.高等教育出版社，2004.

10. 王元明. 工程数学：数学物理方程与特殊函数学习指南.高等教育出版社，2004.

11. 杨华军.数学物理方法与计算机访真.电子工业出版社，2005.

12.杨奇林. 数学物理方程与特殊函数.清华大学出版社，2004.

13. 戴嘉尊.数学物理方程.东南大学出版社，2002

14．南京工学院编.积分变换.高等教育出版社，1982.

15. Lawrence C Evans. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Provodence, Rhode Island.

九、本课程与后续课程的关系

《数学物理方法》是通讯及相关专业的基础课。

十. 对学生能力培养的要求

学生能够从物理问题中提炼出方程模型，并能用数学方法解决问题

十一. 教学方法和教学媒体的使用

采用启发式、提问式等教学方法，辅以板书和多媒体相结合的教学手段。

十二.学习方法与建议

建议学生采取课前阅读，必要时查阅相关物理文献资料。上课时认真听讲，课后多作练习的学习方法。