初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:一般地,形如是常数,)的函数,叫做二次函数。        这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.

是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.

二、二次函数的基本形式

二次函数的基本形式的性质:

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

三、二次函数图象的平移

  1. 平移步骤:

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标

⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

 

  2. 平移规律

    在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.

   方法二:

沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成

(或

沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或

四、二次函数的比较

从解析式上看,是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中

五、二次函数图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.

六、二次函数的性质

  1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为

时,的增大而减小;当时,的增大而增大;当时,有最小值

  2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,的增大而增大;当时,的增大而减小;当时,有最大值

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:为常数,);

2. 顶点式:为常数,);

3. 两根式:是抛物线与轴两交点的横坐标).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

  1. 二次项系数

二次函数中,作为二次项系数,显然决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数

   在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.

的符号的判定:对称轴轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”

  3. 常数项   决定了抛物线与轴交点的位置.

 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

九、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数:

① 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离. ② 当时,图象与轴只有一个交点; ③ 当时,图象与轴没有交点. 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有 时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有

2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

⑶ 根据图象的位置判断二次函数的符号,或由二次函数中的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

二次函数考查重点与常见题型

1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:

已知以为自变量的二次函数的图像经过原点, 则的值是         

2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:

如图,如果函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大致是(     )

        y               y             y               y

 

        1                                   1

        0    x        -1  o   x            0    x            0  1  x

     A               B             C               D

3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:

已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式。

4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:

已知抛物线(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-

(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

    5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 (1)二次函数的图像如图1,则点在(  )

         A.第一象限    B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

    (2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是(  )

A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

           

                             (1)                         (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O;③4a+c<O;④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为(  )

  A 1个  B. 2个  C. 3个  D.4个

答案:D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为(  )

    A(2,-3)    B.(2,1)    C(2,3)    D.(3,2)

答案:C

例4、已知抛物线y=x2+x-

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.

【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.

函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数的顶点坐标是(   )

A.(2,-11)          B.(-2,7)        C.(2,11)        D. (2,-3)

2. 把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是(   )

A.     B.    C.    D.

3.函数在同一直角坐标系中图象可能是图中的(   )

4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是(    )

 A.1个       B.2个       C. 3个           D. 4个

5.已知二次函数的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是(   )

A.-1.3          B.-2.3         C.-0.3         D.-3.3 

6. 已知二次函数的图象如图所示,则点在(  )

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

7.方程的正根的个数为(   )

A.0个             B.1个            C.2个.          3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A.                       B.  

C.       D.

二、填空题

9.二次函数的对称轴是,则_______。

10.已知抛物线y=-2(x+3)²+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.

11.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当<0时,函数值随自变量的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是               (只写一个即可)。

12.抛物线的顶点为C,已知直线过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为        

13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=           ,c=        

14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是      (π取3.14).    

三、解答题:

15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后,其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式 (0<t≤2),其中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升,

(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?

(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.

17.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)点P为抛物线上的一个动点,求使5 :4的点P的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元).

(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;

(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);

(3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?

(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.

练习试题答案

一,选择题、

1.A  2.C  3.A  4.B   5.D   6.B   7.C   8.C  

二、填空题、

 9.  10.<-3  11.如等(答案不唯一)                         12.1    13.-8  7   14.15

三、解答题

15.(1)设抛物线的解析式为,由题意可得

解得   所以

(2)或-5   (2)

16.(1)由已知得,,解得时不合题意,舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米.(2)由题意得,,可知顶点的横坐标,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升.

17.(1)直线与坐标轴的交点A(3,0),B(0,-3).则解得

所以此抛物线解析式为.(2)抛物线的顶点D(1,-4),与轴的另一个交点C(-1,0).设P,则.化简得

>0时,  ∴P(4,5)或P(-2,5)

<0时,,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为(4,5)或(-2,5).

18.(1)=60(吨).(2),化简得: .(3)

红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元.

(4)我认为,小静说的不对.  理由:方法一:当月利润最大时,x为210元,而对于月销售额来说,

 当x为160元时,月销售额W最大.∴当x为210元时,月销售额W不是最大.∴小静说的不对.

方法二:当月利润最大时,x为210元,此时,月销售额为17325元; 而当x为200元时,月销售额为18000元.∵17325<18000, ∴当月利润最大时,月销售额W不是最大.∴小静说的不对.

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